Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 02

Divided by topic

Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 2 Calcolo combinatorio. Esercizio 1.Lanciate due volte un dado non truccato. Qual e la probabilita di un 6 al primo lancio? Qual e la probabilita che la somma dei due risultati dia un 6? A quanto e pari quest'ultima probabilita se lanciate tre volte il dado? Esercizio 2.Trovate una 24h chiusa con combinazione di 6 cifre. Con quale probabilita riuscirete ad aprirla al primo tentativo? E se la combinazione fosse di 6 lettere scelte fra A, B, C e D? Esercizio 3.Scommetto sui primi 5 classicati di una gara con 40 concorrenti, senza conoscerli. Qual e la probabilita di vincere? E se scommettessi sui nomi dei primi cinque, senza precisarne l'ordine? Esercizio 4(Paradosso dei compleanni).Qual e la probabilitap nche, in un gruppo di npersone selezionate in modo casuale (nate tutte in un anno non bisestile), almeno due di esse compiano gli anni lo stesso giorno? Quanto deve essere grandenanchep n>12 ? Esercizio 5.Tre amici si danno appuntamento nel bar della piazza centrale della citta senza sapere che ci sono quattro bar. Qual e la probabilita che scelgano lo stesso bar? Tre bar dierenti? Esercizio 6.Confrontate la probabilita di ottenere almeno un 6 nel lancio di 6 dadi con la probabilita di ottenere almeno due 6 nel lancio di 12 dadi. Esercizio 7.Una moneta viene lanciata 4 volte. Quali sono le probabilita di ottenere 3 teste e una croce e di ottenere 2 teste e 2 croci? Esercizio 8.Per compilare una colonna di una schedina del Totocalcio occorre scegliere, per ciascuna delle 13 partite in esame, tra la vittoria della squadra di casa (1), il pareggio (X) o la vittoria della squadra in trasferta (2). Si calcoli la probabilita di fare 13 o 12 al Totocalcio giocando per ogni partita una doppia (due possibili risultati per ogni partita). Si suppongano equiprobabili le possibili schedine. Esercizio 9.Giocate 6 numeri al Superenalotto. Saranno estratti 6 numeri senza ripetizione dai primi 90 naturali, seguiti dall'estrazione di un 7 numero jolly, diverso quindi dai precedenti. Qual e la probabilita di fare (a)6 (indovinare i primi 6 numeri estratti)? (b)5+1 (indovinare 5 dei primi 6 numeri estratti e in piu il numero jolly)?(c)6 o 5+1? Quale o quali spazi campionari avete introdotto per rispondere ai punti precedenti? Sono scelte coerenti? 1 Esercizio 10. Si consideri l'estrazione dikoggetti da un'urna contenentenoggetti distinti, numerati da 1 an. 1.Si consideri l'estrazionecon reimmissione, per cuik2N. Viene osservato il risultato ordinato dellekestrazioni. (a)Individuare il piu piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimentoaleatorio. (b*)Dimostrare che i possibili risultati dell'esperimento aleatorio sono equiprobabili se e solo se lekestrazioni sono indipendenti e per ciascuna singola estrazione glinpossibili risultati sono equiprobabili. (c)Calcolare la probabilita di estrarre un dato insieme di oggettifx 1; : : : ; x kg , senza riguardo per l'ordine di estrazione. 2.Si consideri l'estrazionesenza reimmissione, per cui 1kn. Viene osservato il risultato ordinato dellekestrazioni. (a)Individuare il piu piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimentoaleatorio. (b*)Dimostrare che i possibili risultati dell'esperimento aleatorio sono equiprobabili se e solo se il ri-sultato di ciascuna dellekestrazioni, data la sequenza degli oggetti gia estratti, e equiprobabile fra gli oggetti rimanenti. (c)Calcolare la probabilita di estrarre un dato insieme di oggettifx 1; : : : ; x kg , senza riguardo per l'ordine di estrazione. 3.Si consideri l'estrazionesimultanea, per cui 1kn. Viene osservato il risultato dell'estrazione. (a)Individuare il piu piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimentoaleatorio. (b)Calcolare la probabilita di estrarre un dato insieme di oggettifx 1; : : : ; x kg . Esercizio 11.Si calcoli la probabilita di ottenere 2 palline rosse estraendone 4 da un'urna che contiene 3 palline rosse e 7 bianche. Si confrontino i casi di estrazioni con reimmissione, senza reimmissione e simultanea. Esercizio 12.Si estraggono, con o senza reimmissione, 7 palline da un'urna contenente 4 palline bianche e 8 rosse. Qual e la probabilita di estrarne esattamente 3 bianche? Esercizio 13.Da un'urna contenente 5 palline bianche, 7 rosse e 4 blu, vengono estratte senza reimmis- sione 5 palline. Con quale probabilita si ottengono 3 bianche, 1 rossa e 1 blu? Esercizio 14.Si estraggono 2 palline da un'urna contenente 5 palline bianche, 6 nere e 4 rosse. Calcolare la probabilita che siano dello stesso colore. Distinguere il caso di estrazione simultanea o con reimmissione. Esercizio 15.Si consideri l'estrazione dinpalline da un'urna contenenteBpalline bianche eRpalline rosse. Qual e la probabilita di estrarne esattamentekrosse, con 0kn? Si risponda nel caso di estrazione con reimmissione e nel caso di estrazione simultanea. Esercizio 16.A scommette con B che estrarra 4 carte di 4 semi diversi da un mazzo di 40 carte. Qual e la probabilita che A vinca? 2 Esercizio 17. Supponiamo di giocare a poker con un mazzo da 52 carte, identicate dal seme (cuori~, quadri}, ori|, picche) e dal tipo (un numero da 2 a 10 oppure J, Q, K, A). Si calcolino: (a)la probabilita di avere un full, ovvero un sottoinsieme di 5 cartefX 1; X 2; X 3; Y 1; Y 2g costituito dall'unione di un tris (un sottoinsieme di 3 carteX 1; X 2; X 3dello stesso tipo) e di una coppia (un sottoinsieme di 2 carteY 1; Y 2dello stesso tipo); (b)la probabilita di avere una doppia coppia, ovvero un sottoinsieme di 5 cartefX 1; X 2; Y 1; Y 2; Z g costituito dall'unione di due coppiefX 1; X 2g ,fY 1; Y 2g di tipi diversi, piu una quinta cartaZdi tipo diverso dai tipi delle due coppie; (c)la probabilita di avere una scala reale massima, ovvero le 5 carte 10, J, Q, K, A dello stesso seme; (d)la probabilita di avere una scala reale, ovvero una qualsiasi scala di 5 carte dello stesso seme(ricordiamo che con l'asso possiamo fare la scala A, 2, 3, 4, 5 ma anche 10, J, Q, K, A); (e)la probabilita di avere una scala, ovvero una qualsiasi scala di 5 carte non necessariamente dellostesso seme; (f )la probabilita di avere colore, ovvero un sottoinsieme di 5 carte dello stesso seme; (g)la probabilita di avere poker, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 4 carte dello stessotipo; (h)la probabilita di avere un tris, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 3 carte dello stessotipo e le altre due di tipo diverso tra loro e dalle prime tre; (i)la probabilita di avere una coppia, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 2 carte dellostesso tipo e le altre tre di tipo diverso tra loro e dalle prime due. Esercizio 18.Un mazzo di carte da scopone scientico e costituito da 40 carte, identicate dal seme (spade, coppe, bastoni, denari) e dal tipo (asso, 2, 3, 4, 5, 6, 7, fante, cavallo, re). Supponendo di pescare 10 carte dal mazzo, calcolare la probabilita di estrarre: (a)l'asso di bastoni, (b)l'asso di spade e l'asso di coppe, (c)almeno un asso fra l'asso di spade e l'asso di coppe. Esercizio 19.Facendo uso del calcolo combinatorio, dimostrare che (a+b)n =n X k=0 n k ak bn k . Esercizio 20.Dato un insieme nito di cardinalitaj j, dimostrare che il suo insieme delle parti P( ) = 2 ha cardinalita 2j j . 3 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 2 Esercizio 1.0.1667, 0.1389, 0.0463 Esercizio 2.10 6 e 0.00024 Esercizio 3.1:3
10 8 e 1:5
10 6 Esercizio 4.p n= 1  n 1 i=0(365 i)365 n. p n>12 se e solo se n23. Esercizio 5.0.0625 e 0.375 Esercizio 6.0.665 vs 0.619 Esercizio 7.0.25 e 0.375 Esercizio 8.0.0385 Esercizio 9.(a)1 90 6
= 1:6
10 9 (b)6 90 6
= 9:6
10 9 (c)1:12
10 8 Esercizio 10.(1a) =f1; : : : ; ngk , spazio delle disposizioni con ripetizione dinoggetti inkposti (1c)1n k P(fx 1; : : : ; x kg )k !n k, a seconda dell'insieme considerato... (2a) = spazio delle disposizioni dinoggetti inkposti (2c)P(fx 1; : : : ; x kg ) =1 n k (3a) = spazio delle combinazioni dinoggetti di classek (3b)P(fx 1; : : : ; x kg ) =1 n k Esercizio 11.0.2646, 0.3 e 0.3 Esercizio 12.0.2561 o 0.3535 Esercizio 13.0.0641 Esercizio 14.0.2952 e 0.3422 4 Esercizio 15. Con reimmissione: n k  RB +R k BB +R nk . Simultanea (quindinB+R):0 @R k1 A0 @B nk1 A0 @B +R n1 A, per ogni max f0; nBg kminfn; Rg. Esercizio 16.0.1094 Esercizio 17.(a)3744 52 5
= 0:0014; (b)123552 52 5
= 0:0475; (c)4 52 5
= 1:5
10 6 ; (d)40 52 5
= 1:5
10 5 ; (e)10240 52 5
= 0:0039; (f )5148 52 5
= 0:00198; (g)624 52 5
= 0:00024; (h)54912 52 5
= 0:0211; (i)1098240 52 5
= 0:4226. Esercizio 18.0.25, 0.0577, 0.4423 5