Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 11

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Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 11 Legge dei Grandi Numeri. Teorema Centrale del Limite. Esercizio 1.Consideriamo innite prove di Bernoulli indipendenti con probabilita di successo 0< p 0 calcolare lim n!+1P (X 1+


+X n n): Esercizio 7.Data una successione di variabili aleatorie (X n) n2N, denite sul medesimo spazio di pro- babilita, indipendenti, identicamente distribuite e in L2 , conE[X n] = 0 e Var( X n) = 2 >0, si mostri chepn P n k=1X k= non converge in probabilita. 1 Esercizio 8. Data una successione di variabili aleatorie (X n) n2N, denite sul medesimo spazio di pro- babilita, indipendenti, identicamente distribuite e in L2 , conE[X n] = e Var(X n) = 2 , si mostri che: (a)E P n k=1( X k )2n  =2 , per ognin1. (b)P n k=1( X k )2n q.c !2 . (c)P n k=1X k np P n k=1( X k )2L ! N(0;1). Nel casoX nin L4 , con 46 =4 , si mostri anche che: (d)P n k=1( X k )2n  AN 2 ; 4 4n  . Esercizio 9.Si consideri la funzione reale di variabile reale f( x) =12 1 +x
1(1;1)( x); dovee un parametro, anch'esso reale. (a)Determinare i valori diper cuif e una densita continua. (b)Calcolare media e varianza della distribuzione con densitaf . Sia (X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, denite sul medesimo spazio di probabilita, i.i.d. con densitaf . (c)Studiare la convergenza in L2 , in L1 , quasi certa, in probabilita e in legge diT n= 3X n. (d)Studiare asintotica normalita e velocita di convergenza diT n. Esercizio 10.Sia (X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, denite sul medesimo spazio di probabilita, i.i.d. continue con densita continua f( x) =(1x) 1 1(0;1)( x) ove2Re un'opportuna costante. (a)Determinare i possibili valori del parametro. (b)Calcolare media e varianza diX n. Si considerino ora le successioni di variabili aleatorie Tn=1 X nX n; W n= nP n k=1log(1 X k): (c)Studiare convergenza quasi certa, in probabilita e in legge diT ne W n. (d)Studiare asintotica normalita e velocita di convergenza diT ne W n. Esercizio 11.SianoX 1; X 2; : : :i.i.d.  P(), >0. SianoW n= eX n ,Y n=1n P n k=11 fX k=0 ge Z n= E[1 fX 1=0 gj X 1+


+X n]. Supponiamo che tali variabili aleatorie siano tutte denite sul medesimo spazio di probabilita. (a)Studiare la convergenza quasi certa delle successioni (W n) n2N; (Y n) n2N; (Z n) n2N. (b)Studiare asintotica normalita e velocita di convergenza delle successioni (W n) n2N; (Y n) n2N; (Z n) n2N. 2 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 11 Esercizio 1.(a)X nq.c !p, dunque anche in probabilita e in legge. (b)X n(1 X n)q.c !p(1p), dunque anche in probabilita e in legge. (c)S2 nq.c !p(1p), dunque anche in probabilita e in legge. (a)X n AN p ;p (1p)n  , per cuiX nconverge verso pcon velocita di convergenzapn ; (b)Sep6 =12 , alloraX n(1 X n) AN p(1p);p (1p)(12p)2n  , per cuiX n(1 X n) converge versop(1p) con velocita di convergenzapn ; (c)Sep6 =12 , allora S2 n AN p(1p);p (1p)(12p)2n  , per cuiS2 nconverge verso p(1p) con velocita di convergenzapn . Esercizio 2.(Q n k=1Y k)1 =nq.c !e . eX n AN e ;e2 2n
, per cui eX n converge verso e con velocita di convergenzapn . Esercizio 4.(a)P n k=1X k nn L !0, (b)P n k=1X k np n L ! N(0;1), (c)P n k=1X k nnon converge, (d)P n k=1X k np P n k=1X2 kL ! N 0;12
. Esercizio 6*.lim n!+1P (X 1+


+X n n) =8 > < > :0 ;  >1; 1=2; = 1; 1;  0. (b)E[X n] =11+ e Var( X n) =(1+ )2 (2+). (c)T nq.c !eW nq.c !, quindi anche in probabilita e in legge. 3 (d) T n AN  ; (1+)2n (2+) , per cuiT nconverge verso con velocita di convergenzapn . Wn AN  ; 2n  , per cuiW nconverge verso con velocita di convergenzapn . Esercizio 11.(a)(W n) n2N, ( Y n) n2Ne ( Z n) n2Nconvergono q.c. verso e  . Si noti cheZ n= 11n
nX n ,n2N. (b)W n AN e  ; e 2n  ,Y n AN e  ;e  (1e  )n  ,Z n AN e  ; e 2n  . Per cui (W n) n2N, (Y n) n2Ne ( Z n) n2Nconvergono verso e  con velocita di convergenzapn . 4