Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 01

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Probabilit  a 2019/2020 — Esercizi 1 Spazi campionari. Sigma­algebre. Probabilit a. Esercizio 1.Determinare un adeguato spazio campionario per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori. 1.Il lancio di una moneta ripetutonvolte. 2.Il lancio simultaneo dinmonete tutte uguali tra loro. 3.Il lancio di una moneta al minuto, senza mai fermarsi. 4.L'estrazione di una carta da un mazzo di 10 e lancio di una moneta.5.L'estrazione dei cinque numeri vincenti sulla ruota di Milano del Gioco del Lotto, ossiaestrazione casuale di cinque tra i numeri naturali da 1 a 90. 6.L'estrazione, una dopo l'altra, delle prime 20 carte di un mazzo da 40.7.La misurazione della frazione di tempo impiegata per risolvere il cubo di Rubik, rispetto a untempo massimo assegnato e partendo da una congurazione casuale. Esercizio 2.Una moneta viene lanciata due volte. Antonio vince se al primo lancio esce testa mentre Benedetto vince se al secondo lancio esce croce. 1.Determinare il pi u piccolo spazio campionario che descrive tutti i possibili esiti dell'esperimento. 2.Descrivere in termini dei sottoinsiemi dello spazio campionario i seguenti eventi:(a)Antonio vince,(b)Benedetto vince, (c)Antonio non vince, (d)Benedetto non vince,(e)Antonio e Benedetto vincono entrambi,(f)vince Antonio ma non Benedetto, (g)vince Benedetto ma non Antonio, (h)almeno uno dei due vince,(i)nessuno dei due vince,(j)vince soltanto uno dei due, (k)esce testa al primo lancio ed esce croce al primo lancio,(l)esce testa o croce al secondo lancio. Esercizio 3.Sia( ;A)uno spazio probabilizzabile e sianoA,BeCtre eventi appartenenti adA. Esprimere attraverso operazioni insiemistiche i seguenti eventi associati adA,BeC: 1.almeno un evento si verica, 2.al pi u un evento si verica, 3.nessun evento si verica, 4.tutti gli eventi si vericano, 1 5.si verica esattamente un evento, 6.due eventi su tre si vericano. Tradurre in relazioni insiemistiche le seguenti relazioni fra eventi:7.AimplicaB, 8.AeCsi escludono a vicenda, 9.almeno un evento fraBeCsi verica certamente. Si costruisca un esempio (o anche pi u di uno!) di esperimento aleatorio, avendo cura di descrivere gli eventiA,BeCe gli eventi considerati nei punti precedenti. Esercizio 4.Sia( ;A)uno spazio probabilizzabile e sianoA,B,CeDquattro eventi appartenenti adA. Esprimere attraverso operazioni insiemistiche i seguenti eventi associati adA,B,CeD. 1.Esattamente tre eventi su quattro si vericano. 2.Si verica soloC. 3.Si verica soloCoppure si verica soloD. 4.Almeno un evento si verica. Esercizio 5.Si osservano i risultati del lancio di una moneta e di un dado. 1.Determinare uno spazio campionario che descriva tutti gli esiti dell'esperimento. 2.Determinare la­algebra che descrive gli eventi vericabili a ne esperimento. Restringere il nostro interesse alla sola moneta, signica considerare solo alcuni degli eventi descritti dalla­algebra del punto 2. 3.Di quali eventi si tratta? Formano una­algebra? 4.Nel caso tali eventi non formino una­algebra, si descriva la pi  u piccola ­algebra generata da essi. Esercizio 6.Perk=1;2;N, si consideri =f0;1gk lo spazio degli esiti di 1, 2 o innite prove di Bernoulli. In tutti e tre i casi, si consideri l'eventoE= "successo alla prima prova", e si descriva esplicitamente la­algebraA=(E). Esercizio 7.Si consideri =f0;1gN , lo spazio degli esiti di innite prove di Bernoulli. Perk=1;2; : : : si considerino gli eventiEk= successo alla provak, e si consideri la­algebraA=(E kj k=1;2; : : :). Si individuino i seguenti eventi e se ne mostri l'appartenenza adA: (a)solo insuccessi, (b)solo la terza prova d a un successo, (c)nelle prove pari ci sono solo successi, (d)solo successi da una qualche prova in poi, 2 (e)inniti successi, (f)solo un numero nito di successi, (g)solo un successo. Esercizio 8.Si consideri =f1: : : ;6gN , lo spazio degli esiti di inniti lanci di un dado. Per `=1; : : : ;6 ek=1;2; : : :si considerino gli eventi E` k= faccia`al lanciok, e si consideri la­algebraA=(E` kj `=1; : : : ;6; k=1;2; : : :). Si individuino i seguenti eventi e se ne mostri l'appartenenza adA: (a)esce sempre 1 nei priminlanci, (b)esce sempre 5,(c)solo il tredicesimo lancio d a un 3, (d)solo risultati dispari nei lanci dispari e risultati pari nei lanci pari,(e)sempre 3 dal 33­esimo lancio in poi, (f)sempre 3 da un qualche lancio in poi, (g)sempre risultati dispari da un qualche lancio in poi, (h)inniti 6,(i)solo un numero nito di 2, (j)solo un 4. Esercizio 9.Chiara e Marco acquistano assieme uno dei 50 biglietti di una pesca di benecenza. Ci sono 50 premi di cui 7 piacciono a Chiara, 5 a Marco e 1 solo ad entrambi. Uno di questi premi sar a casualmente associato al loro biglietto. 1.Determinare il pi u piccolo spazio campionario che descrive i possibili esiti della pesca di benecenza. 2.Descrivere in termini di sottoinsiemi dello spazio campionario gli eventi:(a)il premio piacer a a Chiara, (b)il premio piacer a a Marco, (c)il premio piacer a a entrambi, (d)il premio piacer a ad almeno uno dei due, (e)a nessuno dei due piacer a il premio, (f)il premio piacer a a uno solo dei due. 3.Dopo aver introdotto un opportuno spazio di probabilit a per descrivere questo esperimento aleatorio, valutare la probabilit a di tali eventi. Esercizio 10.Una ditta riceve richieste di forniture, che possono essere urgenti oppure no, e richiedere la consegna in citt a oppure fuori citt  a. Per una data richiesta  e noto che: (i)la probabilit a che sia una consegna fuori citt  a  e 0 :4, 3 (ii)la probabilit  a che sia una consegna urgente  e 0 :3, (iii)la probabilit a che sia una consegna non urgente in citt  a  e 0 :4. Dopo aver introdotto un opportuno spazio di probabilit a per descrivere questo esperimento aleatorio, calcolare: (a)la probabilit a che sia una consegna urgente fuori citt  a, (b)la probabilit a che sia una consegna urgente in citt  a. Esercizio 11.Dato uno spazio di probabilit  a ( ;A;P), si mostri che: (a)se un eventoA  e quasi certo, ovvero P(A) =1, alloraP(A\B) =P(B)per ogniB2 A; (b)se un eventoAimplica un eventoB, ovveroAB, alloraP(A)P(B). Esercizio 12.Sia( ;A;P)uno spazio di probabilit  a e siano AeBdue eventi appartenenti adA, con probabilit a P(A) =0:4 eP(B) =0:7, rispettivamente. Date le seguenti aermazioni dire quali sono certamente false, quali sono sempre vere, quali possono essere vere o false: 1.P(A[B) =0:4, 2.P(A[B) =0:7, 3.P(A[B)0:7, 4.P(A[B) =1:1, 5.P(A\B) =0:28, 6.P(B\Ac )0:3, 7.P(A\Bc )0:3. Esercizio 13.Si consideri =f0;1gN , lo spazio degli esiti di innite prove di Bernoulli. Per k=1;2; : : :si considerino gli eventi Ek= successo alla provak, e si consideri la­algebraA=(E kj k=1;2; : : :). Per ognin=1;2; : : :si consideri quindi An= \n k=1E k: (a)Si mostri che ogniA n e un evento in A. (b)Si dia l'interpretazione probabilistica degli eventiA n. (c)Si mostri cheA n A n+1per ogni n. (d)Si determini\ nA n, si mostri che appartiene ad Ae se ne dia l'interpretazione probabilistica. Si supponga ora cheP(A n) = 1=2n per ognin. (e)Quanto valeP(\ nA n) ? Esercizio 14.Sia = [0;1]eA: =B [0;1]
la­algebra di Borel. Si considerino, per ognin2N, gli insiemiA n: = [0;1n )  . 4 1.Determinare gli insiemi IeU, deniti come segue: I: =\ n2NA nU : =[ n2NA n: 2.Si supponga cheP(A n) =1n per ogni n. Quanto valgonoP(I)eP(U)? Esercizio 15*.Sia( ;A;P)uno spazio di probabilit  a e sia (A n) n2Nuna successione di eventi. 1.Si mostri che seP(A n) = 0 per ognin2NalloraP(S n2NA n) = 0. 2.Si mostri che seP(A n) = 1 per ognin2NalloraP(T n2NA n) = 1. Esercizio 16*.Dato( ;A;P)spazio di probabilit  a, data A nsuccessione di eventi, si provi che P(lim inf nA n) lim inf nP (A n) lim sup nP (A n) P(lim sup nA n) : Si deduca che seA n! A, ovvero lim inf nA n= lim sup nA n= A, alloraP(A n) !P(A). 5 Risultati Esercizio 1.N.B.: la scelta di non  e unica! 1. =f0;1gn . 2. =f0; : : : ; ng. 3. =f0;1gN . 4. =f1;2;3;4;5;6;7;8;9;10gft; cg. 5.Lo spazio delle combinazioni di 90 elementi di classe 5, ossia =f!f1; : : : ;90g j j!j=5g. 6.Lo spazio delle disposizioni di 40 elementi di classe 20, ossia =f!= (! 1; : : : ; ! 20) j! i2 f1; : : : ;40gper ognii; ! i6 =! jper ogni i6 =jg. 7. = [0;1]. Esercizio 2.1. =f(t; t);(t; c);(c; t);(c; c)g 2.(a)A=f(t; t);(t; c)g (b)B=f(t; c);(c; c)g (c)Ac (d)Bc (e)A\B=f(t; c)g (f)A\Bc (g)Ac \B (h)A[B (i)Ac \Bc =f(c; t)g (j)(A\Bc )[(Ac \B) =f(t; t);(c; c)g (k); (l) Esercizio 3.1.A[B[C 2.(A\Bc \Cc )[(Ac \B\Cc )[(Ac \Bc \C)[(Ac \Bc \Cc ) 3.(Ac \Bc \Cc ) 4.(A\B\C) 5.(A\Bc \Cc )[(Ac \B\Cc )[(Ac \Bc \C) 6.(Ac \B\C)[(A\Bc \C)[(A\B\Cc ) 7.AB 8.A\C=; 9.B[C= 6 Esercizio 4. 1.(A\B\C\Dc )[(A\B\Cc \D)[(A\Bc \C\D)[(Ac \B\C\D) 2.Ac \Bc \C\Dc 3.(Ac \Bc \C\Dc )[(Ac \Bc \Cc \D) 4.A[B[C[D Esercizio 5.1. =ft; cgf1; : : : ;6g 2.A=2 3.Gli eventiT=f(t; k)jk=1; : : : ;6geC=f(c; k)jk=1; : : : ;6g. Non formano una­algebra. 4.(T; C) =fT; C;;; g. Esercizio 6.A=(E) =fE; Ec ;;; g Esercizio 7.(a)\1 k=1Ec k (b)E 3\ ( \ k6 =3Ec k) (c)\1 `=1E 2` (d)lim infE k (e)lim supE k (f)lim infEc k (g)[ ` E`\ ( \ k6 =`Ec k) Esercizio 8.SiaD k= E1 k[ E3 k[ E5 k2 A e siaP k= E2 k[ E4 k[ E6 k= Dc k2 A . (a)T n k=1E1 k2 A , (b)T k1E5 k2 A , (c)E3 13\ T k6 =13( E3 k)c 2 A, (d) T k0D 2k+1 \ T k1P 2k 2 A, (e)T k33E3 k2 A , (f)lim infkE3 k2 A , (g)lim infkD k2 A , (h)lim supkE6 k2 A , (i)lim infk( E2 k)c 2 A, 7 (j) S n E4 n\ T k6 =n( E4 k)c  2 A. Esercizio 9.1. =f1; : : : ;50g 2.(a)C (b)M (c)C\M (d)C[M (e)(C[M)c (f)(C[M)n(C\M) 3.(a)0.14(b)0.1(c)0.02 (d)0.22(e)0.78 (f)0.2 Esercizio 10.(a)0.1 (b)0.2 Esercizio 12.1.F 2.V/F 3.V 4.F 5.V/F 6.V 7.V Esercizio 13.(e)0 Esercizio 14.1.I=f0g,U= [0;1). 2.0 e 1 8