Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 02

Divided by topic

Probabilit  a 2019/2020 — Esercizi 1 Calcolo combinatorio. Esercizio 1.Lanciate due volte un dado non truccato. Qual  e la probabilit  a di un 6 al primo lancio? Qual e la probabilit  a che la somma dei due risultati dia un 6? A quanto  e pari quest'ultima probabilit  a se lanciate tre volte il dado? Esercizio 2.Trovate una ventiquattrore chiusa con combinazione di 6 cifre. Con quale probabilit  a riuscirete ad aprirla al primo tentativo? E se la combinazione fosse di 6 lettere scelte fra A, B, C e D? Esercizio 3.Scommetto sui primi 5 classicati di una gara con 40 concorrenti, senza conoscerli. Qual e la probabilit  a di vincere? E se scommettessi sui nomi dei primi cinque, senza precisarne l'ordine? Esercizio 4(Paradosso dei compleanni).Qual  e la probabilit  a p nche, in un gruppo di npersone selezionate in modo casuale (nate tutte in un anno non bisestile), almeno due di esse compiano gli anni lo stesso giorno? Quanto deve essere grandenanch ´ e p n>12 ? Qual e la probabilit  a q nche, nel gruppo di npersone, ve ne sia almeno una che compie gli anni il vostro stesso giorno (posto che non siate nati il 29 febbraio)? Quanto deve essere grandenanch ´ e qn>12 ? Esercizio 5.Tre amici si danno appuntamento nel bar della piazza centrale della citt  a senza sapere che ci sono quattro bar. Qual e la probabilit  a che scelgano lo stesso bar? Tre bar dierenti? Esercizio 6.Confrontate la probabilit  a di ottenere almeno un 6 nel lancio di 6 dadi con la probabilit  a di ottenere almeno due 6 nel lancio di 12 dadi. Esercizio 7.Una moneta viene lanciata 4 volte. Quali sono le probabilit  a di ottenere 3 teste e una croce e di ottenere 2 teste e 2 croci? Esercizio 8.Per compilare una colonna di una schedina del Totocalcio occorre scegliere, per ciascuna delle 13 partite in esame, tra la vittoria della squadra di casa (1), il pareggio (X) o la vittoria della squadra in trasferta (2). Si calcoli la probabilit a di fare 13 o 12 al Totocalcio giocando per ogni partita una doppia (due possibili risultati per ogni partita). Si suppongano equiprobabili le possibili schedine. Esercizio 9.Giocate 6 numeri al Superenalotto. Saranno estratti 6 numeri senza ripetizione dai primi 90 naturali, seguiti dall'estrazione di un 7 numero jolly, diverso quindi dai precedenti. Qual e la probabilit a di fare (a)6 (indovinare i primi 6 numeri estratti)? (b)5+1 (indovinare 5 dei primi 6 numeri estratti e in pi u il numero jolly)? (c)6 o 5+1? Quale o quali spazi campionari avete introdotto per rispondere ai punti precedenti? Sono scelte coerenti? 1 Esercizio 10. Si consideri l'estrazione dikoggetti da un'urna contenentenoggetti distinti, numerati da 1 an. 1.Si consideri l'estrazionecon reimmissione, per cuik2N. Viene osservato il risultato ordinato dellekestrazioni. (a)Individuare il pi u piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimento aleatorio. (b*)Dimostrare che i possibili risultati dell'esperimento aleatorio sono equiprobabili se e solo selekestrazioni sono indipendenti e per ciascuna singola estrazione glinpossibili risultati sono equiprobabili. (c)Calcolare la probabilit a di estrarre un dato insieme di oggetti fx 1; : : : ; x kg , senza riguardo per l'ordine di estrazione. 2.Si consideri l'estrazionesenza reimmissione, per cui 1kn. Viene osservato il risultato ordinato dellekestrazioni. (a)Individuare il pi u piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimento aleatorio. (b*)Dimostrare che i possibili risultati dell'esperimento aleatorio sono equiprobabili se e solose il risultato di ciascuna dellekestrazioni, data la sequenza degli oggetti gi  a estratti,  e equiprobabile fra gli oggetti rimanenti. (c)Calcolare la probabilit a di estrarre un dato insieme di oggetti fx 1; : : : ; x kg , senza riguardo per l'ordine di estrazione. 3.Si consideri l'estrazionesimultanea, per cui 1kn. Viene osservato il risultato dell'estra­ zione. (a)Individuare il pi u piccolo spazio campionario che permette di descrivere l'esperimento aleatorio. (b)Calcolare la probabilit a di estrarre un dato insieme di oggetti fx 1; : : : ; x kg . Esercizio 11.Si calcoli la probabilit  a di ottenere 2 palline rosse estraendone 4 da un'urna che contiene 3 palline rosse e 7 bianche. Si confrontino i casi di estrazioni con reimmissione, senza reimmissione e simultanea. Esercizio 12.Si estraggono, con o senza reimmissione, 7 palline da un'urna contenente 4 palline bianche e 8 rosse. Qual e la probabilit  a di estrarne esattamente 3 bianche? Esercizio 13.Da un'urna contenente 5 palline bianche, 7 rosse e 4 blu, vengono estratte senza reimmissione 5 palline. Con quale probabilit a si ottengono 3 bianche, 1 rossa e 1 blu? Esercizio 14.Si estraggono 2 palline da un'urna contenente 5 palline bianche, 6 nere e 4 rosse. Calcolare la probabilit a che siano dello stesso colore. Distinguere il caso di estrazione simultanea o con reimmissione. Esercizio 15.Si consideri l'estrazione dinpalline da un'urna contenenteBpalline bianche eR palline rosse. Qual e la probabilit  a di estrarne esattamente krosse, con 0kn? Si risponda nel caso di estrazione con reimmissione e nel caso di estrazione simultanea. 2 Esercizio 16. A scommette con B che estrarr  a 4 carte di 4 semi diversi da un mazzo di 40 carte. Qual e la probabilit  a che A vinca? Esercizio 17.Supponiamo di giocare a poker con un mazzo da 52 carte, identicate dal seme (cuori ~, quadri}, ori|, picche) e dal tipo (un numero da 2 a 10 oppure J, Q, K, A). Si calcolino: (a)la probabilit a di avere un full, ovvero un sottoinsieme di 5 carte fX 1; X 2; X 3; Y 1; Y 2g costituito dall'unione di un tris (un sottoinsieme di 3 carteX 1; X 2; X 3dello stesso tipo) e di una coppia (un sottoinsieme di 2 carteY 1; Y 2dello stesso tipo); (b)la probabilit a di avere una doppia coppia, ovvero un sottoinsieme di 5 carte fX 1; X 2; Y 1; Y 2; Z g costituito dall'unione di due coppiefX 1; X 2g ,fY 1; Y 2g di tipi diversi, pi  u una quinta carta Zdi tipo diverso dai tipi delle due coppie; (c)la probabilit a di avere una scala reale massima, ovvero le 5 carte 10, J, Q, K, A dello stesso seme; (d)la probabilit a di avere una scala reale, ovvero una qualsiasi scala di 5 carte dello stesso seme (ricordiamo che con l'asso possiamo fare la scala A, 2, 3, 4, 5 ma anche 10, J, Q, K, A); (e)la probabilit a di avere una scala, ovvero una qualsiasi scala di 5 carte non necessariamente dello stesso seme; (f)la probabilit a di avere colore, ovvero un sottoinsieme di 5 carte dello stesso seme; (g)la probabilit a di avere poker, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 4 carte dello stesso tipo; (h)la probabilit a di avere un tris, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 3 carte dello stesso tipo e le altre due di tipo diverso tra loro e dalle prime tre; (i)la probabilit a di avere una coppia, ovvero un sottoinsieme di 5 carte in cui ci sono 2 carte dello stesso tipo e le altre tre di tipo diverso tra loro e dalle prime due. Esercizio 18.Un mazzo di carte da scopone scientico  e costituito da 40 carte, identicate dal seme (spade, coppe, bastoni, denari) e dal tipo (asso, 2, 3, 4, 5, 6, 7, fante, cavallo, re). Supponendo di pescare 10 carte dal mazzo, calcolare la probabilit a di estrarre: (a)l'asso di bastoni, (b)l'asso di spade e l'asso di coppe,(c)almeno un asso fra l'asso di spade e l'asso di coppe. Esercizio 19.Facendo uso del calcolo combinatorio, dimostrare che (a+b)n =n X k=0 n k ak bn -k : Esercizio 20.Dato un insieme nito di cardinalit  a j j, dimostrare che il suo insieme delle parti P( ) =2 ha cardinalit a 2j j . 3 Risultati Esercizio 1.0.1667, 0.1389, 0.0463 Esercizio 2.10- 6 e 0.00024 Esercizio 3.1:3
10- 8 e 1:5
10- 6 Esercizio 4.p n= 1-365
364
: : :
(365-n+1)365 n. p n>12 per n23. qn= 1-364 n365 n. q n>12 per n253. Esercizio 5.0.0625 e 0.375 Esercizio 6.0.665 vs 0.619 Esercizio 7.0.25 e 0.375 Esercizio 8.0.0385 Esercizio 9.(a)1 90 6
= 1:6
10- 9 (b)6 90 6
= 9:6
10- 9 (c)1:12
10- 8 Esercizio 10.(1a) =f1; : : : ; ngk , spazio delle disposizioni con ripetizione dinoggetti inkposti (1c)1n k P(fx 1; : : : ; x kg )k !n k, a seconda dell'insieme considerato... (2a) =spazio delle disposizioni dinoggetti inkposti (2c)P(fx 1; : : : ; x kg ) =1 n k (3a) =spazio delle combinazioni dinoggetti di classek (3b)P(fx 1; : : : ; x kg ) =1 n k Esercizio 11.0.2646, 0.3 e 0.3 Esercizio 12.0.2561 o 0.3535 Esercizio 13.0.0641 Esercizio 14.0.2952 e 0.3422 4 Esercizio 15. "Con reimmissione: n k  RB +R k BB +R n-k . "Simultanea (quindinB+R):0 @R k1 A0 @B n-k1 A0 @B +R n1 A, per ogni max f0; n-Bgkminfn; Rg. Esercizio 16.0.1094 Esercizio 17.(a)3744 52 5
= 0:0014; (b)123552 52 5
= 0:0475; (c)4 52 5
= 1:5
10- 6 ; (d)40 52 5
= 1:5
10- 5 ; (e)10240 52 5
= 0:0039; (f)5148 52 5
= 0:00198; (g)624 52 5
= 0:00024; (h)54912 52 5
= 0:0211; (i)1098240 52 5
= 0:4226. Esercizio 18.0.25, 0.0577, 0.4423 5