Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 05

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Probabilit  a 2020/2021 — Esercizi 5 Variabili aleatorie continue. Esercizio 1.Si consideri lo spazio di probabilit  a ( ;A;P) = R;B;m 0;1
, dovem 0;1= m( B\(0;1]), 8B2 B, edm  e la misura di Lebesgue sui boreliani. Si considerino inoltre le funzioni X; Y; Z: = R!Rdenite sull'intervallo(0;1)nel modo seguente: X(!) =1! ; Y (!) =1p ! ; Z (!) =log!; per ogni!2(0;1). Per quanto riguarda il valore diX; Y; ZsuRn(0;1), si sa solamente cheX; Y; Z sono costanti su tale insieme. (a)Mostrare cheX,YeZsono variabili aleatorie ben denite q.c. (b)Determinare le distribuzioni diX,YeZ, mostrando in particolare che si tratta di variabili aleatorie continue. (c)Calcolare le densit a di probabilit  a di X,YeZ. (d)Calcolare i valori attesi diX,YeZ. (e)Esibire un'altra variabile aleatoriae Xcon la stessa legge diX, ma denita su un altro spazio di probabilit a (e ;e A;e P). Esercizio 2.Data una variabile aleatoria reale continuaXcon densit  a fsimmetrica rispetto a2R, si mostri che (a)  e una mediana, (b)SeE[jXj]0, quindi con densit  a f(x) =e- x 1[0;+1)( x); x2R: (a)Calcolare la moda diX. (b)Calcolare il valore attesoE[X]e la varianza Var(X). (c)Calcolare la funzione di ripartizioneF Xdi X. (d)(Propriet a di assenza di memoria) Mostrare che P(X > s+tjX > s) =P(X > t)per ognis; t >0. (e*)Si inverta il risultato appena ottenuto: seT  e una variabile aleatoria reale strettamente positiva tale cheP(T > s+tjT > s) =P(T > t)per ognis; t >0, alloraTE()con= -log(P(T >1)). Esercizio 6(Distribuzione Gamma).Si consideriX(; ), variabile aleatoria di distribuzione Gamma di parametri >0 e >0. Si ha quindi f(x) =  ()x  -1 e- x 1(0;+1)( x); dove  e la funzione Gamma (di Eulero) denita da () :=Z +1 0t  -1 e- t dt;8 >0: Si ricordi che(+1) = ();8 >0;e(1) =1; da cui(n+1) =n!,8n2N. Inne(1=2) =p . (a)Si verichi chef  e una densit  a di probabilit  a. (b)Si calcolino le mode dif. (c)Si calcolino i momentiE[Xk ],k2Z,+k >0, e la varianza Var(X). (d)Datoc >0, si mostri cheY=cX(; =c). (e)Per=n=2,n2N, si determini la relazione fra i punti percentuali di una(n=2; )e quelli di una2 (n) =(n=2;1=2). (f)Per=n2N, si mostri che la funzione di ripartizione diX  e data da F(t) = 1-n -1 X k=0e - t( t)kk ! 1(0;+1)( t): Esercizio 7(Distribuzione normale o gaussiana).SiaXN(; 2 ). (a)Si calcolino media e varianza diX. (b)Si esprimano i punti percentualic di Xin funzione di quelli di una normale standard. Si consideriYdilegge lognormaledi parametrie2 , ovveroY=eX . (c)Calcolare la distribuzione della variabile aleatoriaY, i momenti (ossiaEYk ; k2Z) e la varianza. (d)Si calcoliE[XeX ]. Si consideriZdilegge normale standard, ossiaZN(0;1). 2 (e)Calcolare la distribuzione della variabile aleatoria Z2 . (f)Calcolare la legge della variabile aleatoriajZj, il valore atteso, la varianza e i quantili. (g)Si calcoliE Z4 eE etZ 2  ,t2R. Esercizio 8.SiaXuna variabile aleatoria con funzione di ripartizioneF. (a)Si calcoli la legge diY=jXj. (b)Nel caso in cuiFammetta derivata continua, si mostri cheY=jXj  e continua e se ne calcoli la densit a. (c)Nel casoXN(0;1), si cconfronti il risultato ottenuto nei punti (a) e (b) con quanto trovato nel punto (f) dell'esercizio 7. Esercizio 9.(a)DatiUU (0;1)
e >0, si mostri cheX= -1 log UE(). (b)DataXFconFinvertibile, si mostri cheY=F(X)U (0;1)
. (c)DateUU (0;1)
e una funzione di ripartizioneFinvertibile, si mostri cheX=F- 1 (U)F. (d*)DataXF, conFcontinua, si mostri cheY=F(X)U (0;1)
. [Suggerimento: siat2(0;1)e G(t) =inffx:F(x)tg. Utilizzando la continuit  a di F, si mostri cheF(G(t)) =t. Si noti inne cheF(x)t()xG(t).] (e*)DateUU (0;1)
e una funzione di ripartizioneFcontinua, denitaG(t) =inffx:F(x)tg, si mostri cheX=G(U)  e una variabile aleatoria di legge F. (f*)DateUU (0;1)
e una distribuzione discreta P0su (R;B), si trovi una trasformazione misurabileGtale cheX=G(U)P 0. Esercizio 10.Data una variabile aleatoria continua, non negativaX, con densit  a di probabilit  a f X continua su(0;+1), deniamo ``tasso di fallimento'' la funzione hX( t) =lim "!0+P (t < X < t+"jX > t)" ; t > 0: InterpretandoXcome un tempo di attesa, il tasso di fallimento rappresenta la probabilit  a istantanea di arrivo, sapendo che l'attesa e durata no al tempo t. (a)Dimostrare che vale la seguente relazione: hX( t) =f X( t)1 -F X( t); t > 0; doveF Xindica la funzione di ripartizione di X. (b)Dimostrare cheF X( t) = 1-exp -Z t 0h X( s)ds 1(0;+1)( t). (c)Si prendaXcon legge esponenziale di parametro. Determinareh X. (d)Si prendaYcon legge Weibull di parametri >0 e >0, vale a dire fY( t) = t -1 e-( t) 1(0;+1)( t): DeterminareF Ye h Y. 3 (e)Discutere il signicato dei risultati ottenuti nei punti (c) e (d) e il loro legame. Esercizio 11.Il raggioRdi un certo tipo di particella inquinante, espresso in micron,  e una variabile aleatoria con densit a di probabilit  a f(x) = c x e- x2 ;perx >0; 0;perx0: (a)Determinare il valore della costante realec. (b)Calcolare la funzione di ripartizione diR. (c)Calcolare la mediana e la media diR. (d)Calcolare la probabilit a che una particella abbia un raggio superiore a 2 micron. (e)Calcolare la legge della variabile aleatoriaXche vale 1 seR 3)eP(X3 >27). (d)Si calcoli la media di 3X2 -1. (e)Stimare la probabilit a che Xassuma valori distanti dalla media pi  u di 2 unit  a, utilizzando la disuguaglianza di Chebychev. (f)Stabilire per quali; 2Rsi ha cheY=X 2L1 eZ=1( X-1)2 L1 . 4 Esercizio 14. SianoXU (0;1)
eY(; ); ;  >0. (a)Si stabilisca per quali2Rla variabile aleatoriaZ=1( 1-X)2 L1 . (b)Si determini, al variare dei parametri; , per quali 2Rla variabile aleatoriaW=Y 2L1 . Si confronti questo risultato con la condizione imposta sueknel punto (c) dell'esercizio 6. Esercizio 15.Ricavo di un'opzione ``call'' europea. Un agente nanziario sottoscrive un contratto che gli d a il diritto (ma non l'obbligo) di acquistare un certo titolo ad una data futura ssata, ad un prezzok >0 anch'esso ssato. DettoSil valore di tale titolo alla data ssata, esso  e al momento sconosciuto, ma si ritiene che i suoi possibili valori abbiano distribuzione lognormale, ovvero che siano dati daS=expX; XN(; 2 ); 2R;  >0: Se il valoreSsuperer  a k, l'agente eserciter  a il suo diritto ricavando la dierenza S-k, altrimenti non lo eserciter a e avr  a ricavo nullo. Sia quindi Ril ricavo dell'agente. (a)Calcolare la probabilit a di un ricavo positivo, P(R >0). (b)Calcolare la probabilit a di un ricavo nullo, P(R=0). (c)Calcolare la legge del ricavoR. Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? Perch ´ e? (d)Calcolare il ricavo attesoE[R]. (e)Calcolare limk!0E [R]. Esercizio 16.Petyr Baelish vende a Lord Varys il diritto di comprare fra un anno 50 kg di acciaio di Valyria al prezzo di 100 monete d'oro. Petyr Baelish non conosce il costoXdi 50 kg di acciaio di Valyria fra un anno, ma ritiene che i suoi possibili valori abbiano una distribuzione (approssima­ tivamente) normale di media=100 e varianza2 =81. Ovviamente Lord Varys eserciter  a il suo diritto solo se sar a X >100. Sia quindiYla dierenza che Petyr Baelish dovr  a pagare fra un anno. (a)ScrivereYin funzione diX. (b)Determinare la funzione di ripartizione diY, in termini della funzione di ripartizione della legge normale standard, e tracciarne un graco qualitativo. (c)Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? Perch e? (d)Determinare la probabilit a che Petyr Baelish non debba aggiungere soldi fra un anno. (e)Determinare il primo e il terzo quartile diY. (f)Determinare il valore atteso e la varianza diY. (g)Se Petyr Baelish vende tale diritto di acquisto ad un prezzo pari al valore atteso diY, con quale probabilit a prevede di avere un guadagno positivo? Esercizio 17.Un'industria produce su commissione delle sbarre d'acciaio cilindriche, il cui diametro dovrebbe essere di 4 cm, ma che tuttavia sono accettabili se hanno diametro compreso fra 3:95 cm e 4:05 cm. Il cliente, nel controllare le sbarre fornitegli, constata che il 5% sono di diametro inferiore al minimo tollerato ed il 12% di diametro superiore al massimo tollerato. (a)Supponendo che le misure dei diametri seguano una legge normale, determinarne media edeviazione standard. 5 (b)Mantenendo la media precedentemente calcolata, determinare quale dovrebbe essere il valore delle deviazione standard anch e la percentuale di sbarre con diametro superiore al massimo tollerato sia minore del 5%. Esercizio 18.Sia( ;A;P)uno spazio di probabilit  a ssato. Data una variabile aleatoria reale continuaX, si mostri che (a)fX2Qg  e un evento, ossia fX2Qg2 A, (b)P(X2Q) =0. Esercizio 19.Si mostri che, seX  e una variabile aleatoria continua, la variabile aleatoria W= minfX;1gpu  o essere continua o no, a seconda della legge di X. Esercizio 20.DataXvariabile aleatoria continua di densit  a f X, si determini la legge di Y=aX+b pera6 =0. In particolare si riconosca la legge diYperXdi leggeN(; 2 ),U [c; d]
,E(). Esercizio 21.Data una variabile aleatoriaXU [-2;-1][[1;2]
, calcolarne densit a di probabilit  a f, medianeme, se esiste, media. Esercizio 22*.Data una variabile aleatoriaXU (0;2)
e un angolo ssato2R, si calcoli la legge diY=sin(X+). Esercizio 23.DataXE(), >0, se ne consideri il suo arrotondamento per eccessoY, ovvero Y=+ 1 X k=1k 1 (k-1;k]( X) =dXe: Se quindiXrappresenta un tempo d'attesa,Yrappresenta il corrispondente tempo d'attesa per un osservatore stroboscopico. Si mostri cheY  e una variabile aleatoria e se ne calcoli la distribuzione. Esercizio 24.DataXN(2;5), mostrare che esiste un unicoctale cheP(jXj< c) =0:4. Trovare un valore approssimato diccon metodi di analisi numerica. Esercizio 25.Aldo possiede un vecchio cronometro che, una volta avviato, si arresta dopo un tempo casuale X, che si pu´ o considerare una variabile aleatoria con legge esponenziale di media 10 minuti. 1.Dopo aver fatto partire il cronometro Aldo evita di guardarlo per 5 minuti al termine dei qualilo osserva e annota l'ora indicataY. Trovare la legge diY. 2.Y ´ e una variabile aleatoria discreta? ´ E continua? 3.Aldo gioca contro Bruno nel modo seguente: se al momento dell'arresto del cronometro ilnumero di minuti interamente trascorsi´ e un numero pari allora vince Aldo (ad esempio se X=2:5 oppureX=0:15); se invece ´ e dispari allora vince Bruno (ad esempio se X=5 oppure X=7:4). Calcolare la probabilit ´ a di vittoria per Aldo. 6 Esercizio 26. Data la funzionef:R!Rdenita come f(x) :=8 > > > > > > < > > > > > > :0 x :1p 1 -2t; set 0 (b)h X( x) =2x= (c)E(1=) (d)1/2 e 1/12(e)p= (f) >-2. Esercizio 13.(a)=1,F X( t) = (1-e-( t-1) )1 (1;+1)( t) (b)f Y( y) =ey 2 1 (e;+1)( y),+1e+1 (c)e- 2 (d)14(e)P(jX-E[X]j>2)1=4 (f)2R;  0) = -logk  . (b)P(R=0) = logk-  . (c)F R( t) = log(k+t) -  1[0;+1)( t), quindi n ´ e continua, n ´ e discreta. (d)E[R] =e + 22  +2 -logk  -k  -logk  . (e)limk!0E [R] =e + 22 =E[S]. Esercizio 16.(a)Y=max(X-100;0) = 0;seX100; X-100;seX >100: (b)F Y( t) = t
1[0;+1)( t). (c)No e No. (d)0:5. (e)Q 1= 0,Q 3= 6:07. (f)E[Y] =p 2 = 3:59, Var(Y) = 22 ( 1-1 ) = 27:61. (g)(1p 2 ) = (0:3989) =0:6550. Esercizio 17.(a)4.0083 e 0.0355 (b) 0,U [ad+b; ac+b]
sea 0,b-E(-=a)sea 0; f Y( y) = -a e - a ( y-b) 1(-1:b]( y); a < > :0 t > > > > < > > > > > > :0 x