Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 07

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Probabilit  a 2020/2021 — Esercizi 7 Vettori aleatori continui. Esercizio 1.Si esibisca un esempio di due variabili aleatorie continueXeYcon legge congiunta continua. Si esibisca poi un esempio di due variabili aleatorie continueXeYcon legge congiunta non continua. Esercizio 2*.Si mostri che due variabili aleatorieXeYsono variabili aleatorie continue e indipen­ denti se e solo se sono congiuntamente continue con densit a congiunta fattorizzabile: esistono due funzionih 1: R!Reh 2: R!Rtali chef (X;Y)( x; y) =h 1( x)h 2( y)q.o. Esercizio 3.DateX; Yindipendenti ed entrambe di leggeE(), >0, si calcoliP(X > Y). Esercizio 4.Sia(X; Y)un vettore aleatorio con densit  a: f(X;Y)( x; y) = x(y-x)e- y ;0< x < y; 0;altrove: (a)Calcolare le leggi diXe diY. (b)XedYsono indipendenti? (c)CalcolareP(X2; Y3). (d)Calcolare il coeciente di correlazione X;Y. (e)Trovare una diversa densit a congiunta avente le stesse densit  a marginali. Esercizio 5.Sia(X; Y)un vettore aleatorio di densit  a f(X;Y)( x; y) = xe-( x+y) sex >0; y >0 0 altrove (a)Quali sono le leggi diXeY? Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (b)Calcolare Var(X+Y). (c)Si calcolino i valori attesi diU=minfX; YgeV=maxfX; Yg. Esercizio 6.Il vettore aleatorio(X; Y)ha legge uniforme sul quadratoQdi vertici(0;2);(2;0);(4;2);(2;4). (a)Qual e la legge di X? (b)Quanto valeE[X]? (c)Quanto valeP(X < Y)? (d)Quanto valeP(X2; Y1)? (e)XedYsono indipendenti? 1 Esercizio 7. Una misura di resistenza in un circuito elettrico eseguita con uno strumento di risolu­ zione pari a 1 ohm d a una lettura di 12 ohm. La resistenza Rdel circuito risulta pertanto descritta da una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra 11.5 e 12.5 ohm. SiaM=1=Rla conduttanza del circuito. (a)RedMhanno legge congiunta continua? (b)Calcolare i valori attesi diReM. (c)Calcolare la matrice varianza di(R; M). (d)Calcolare il coeciente di correlazione lineare fraReM. (e)Determinare la distribuzione diM. Esercizio 8(Problema dell'ago di Buon).Un ago di lunghezza` >0 viene lanciato su un pavimento decorato con linee parallele distantid >0. Qual  e la probabilit  a pche l'ago intersechi almeno una linea? Esercizio 9.SianoXeYvariabili aleatorie indipendenti con leggeU([0;1]). (a)Si scriva la densit a di probabilit  a del vettore aleatorio (X; Y). Si consideri il vettore aleatorio(U; V) = (X+1; X+Y). (b)Calcolarne il valore atteso e la matrice varianza. (c)Se ne calcoli la legge. (d)Il vettore ha componenti indipendenti? Si consideri ora il vettore aleatorio(U; V) = (X+1; X+Y-XY+X2 Y). (e)Calcolarne il valore atteso. (f)Se ne calcoli la legge. (g)Il vettore ha componenti indipendenti? Esercizio 10.Vericare che seX 1; : : : ; X nsono variabili aleatorie esponenziali indipendenti di parametri 1; : : : ;  n, rispettivamente, allora X(1)= minfX 1; : : : ; X ng  E( 1+


+ n) : Esercizio 11.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie continue i.i.d. con funzione di ripartizione C1 a tratti. (a)Mostrare cheX (n)= maxfX 1; : : : ; X ng  e una variabile aleatoria continua e determinarne la densit a. (b)Mostrare cheX (1)= minfX 1; : : : ; X ng  e una variabile aleatoria continua e determinarne la densit  a. Esercizio 12.Un componente elettronico  e formato da tre elementi indipendenti in serie, ciascuno dei quali ha un tempo di vita esponenziale di parametro=0:3,=0:1, =0:2 rispettivamente. (a)Indichiamo conTil tempo di vita del componente. Qual  e la legge di T? 2 (b)Per aumentare l'adabilit  a e ridurre gli interventi di sostituzione, viene proposto di aggiungere un componente identico in parallelo. Qual e la legge del tempo di vita Sdel nuovo complesso? Esercizio 13.DateXeYdi legge congiunta continua con densit  a f (X;Y), si consideri Z=X+Y. Si mostri cheZ  e una variabile aleatoria continua con densit  a fZ( z) =Z +1 -1f (X;Y)( z-y; y)dy: Si dimostri questo risultato procedendo nei due modi seguenti:(a)Si calcoli la funzione di ripartizione diZe si determini la densit  a. (b)Si calcoli la legge di(Z; Y)e si trovi la legge marginale diZ. Esercizio 14.SianoXeYdue variabili aleatorie indipendenti entrambe con distribuzione uniforme su[0;1]. (a)Si calcolino media, varianza e legge diZ=X+Y. (b*)Si trovi la legge diT=X+Y-1 fX+Y>1g. Esercizio 15.SianoXU [-5;-3]
eYU [3;5]
due variabili aleatorie indipendenti. SiaZ=X+Y. (a)Si calcolino media, varianza e legge diZ. (b)Si calcoli il coeciente di correlazione X;Z. Esercizio 16.Sia(X; Y)un vettore aleatorio continuo con densit  a data da f(X;Y)( x; y) = 12 ( x+y)e-( x+y) ;sex; y >0, 0;altrove. (a)Si calcoli la media di1X +Y. (b)Si determini la legge diX+Y. (c)Si calcoli la media diX+Y. (d)Si calcolino le leggi marginali diXeY. Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (e)Si calcoli Cov(X; Y). (f)Si calcoliP(X1; Y2). Esercizio 17.Due numeriXedYvengono scelti a caso e indipendentemente con distribuzione uniforme su[0;1]. (a)CalcolareP(jX-Yj>1=2). (b)SiaZla variabile aleatoria che misura la distanza fraXedY. Qual  e la legge di Z? Qual  e la distanza media fraXedY? 3 Esercizio 18. Sia assegnata una successioneN; X 1; X 2; : : : di variabili aleatorie indipendenti, tale che NG(p),p2(0;1), e ciascuna delleX i E(), >0. Si pongaY=minfX 1; : : : ; X Ng . (a*)Si mostri cheY  e una variabile aleatoria. (b)Qual e la legge di Y? (c)Qual e il valore atteso di Y? Esercizio 19.Si mostri che, date due variabili aleatorie indipendentiXeYin L1 , allora necessaria­ mente si ha ancheXYin L1 . Si mostri per o che, se XeYnon sono indipendenti, allora il prodotto XYpu  o non essere integrabile. Esercizio 20*.Datenvariabili aleatorie realiX 1; : : : ; X n, si deniscano le statistiche d'ordine X(1)= minfX 1; : : : ; X ng ; X(2)= secondo pi  u piccolo valore di X 1; : : : ; X n; . . . X(n)= maxfX 1; : : : ; X ng : (a)Si trovi una formula perX (2)nel caso n=3 e una formula perX (3)nel caso n=4. (b)Si trovi una formula perX (k)nel caso n2N, con 1kn. (c)Si mostri che le statistiche d'ordine sono variabili aleatorie e cheX (1) X (2)


 X (n), q.c. . (d)SiaB2 Bn un boreliano diRn tale che: se(y 1; : : : ; y n) 2Balloray 1 y 2


 y n. In altre parole,Bf(y 1; : : : ; y n) 2Rn :y 1 y 2


 y ng . Si esprima l'evento((X (1); : : : ; X (n)) 2B)in termini diX 1; : : : ; X n. (e)Supponiamo ora cheX 1; : : : ; X nsiano i.i.d. con densit  a continua f. Si mostri cheX (1); X (2); : : : ; X(n)hanno legge congiuntamente continua con densit  a f(X (1);X (2);:::;X (n))( y 1; : : : ; y n) = n!Q n i=1f (y i) ; y 1 y 2


 y n; 0;altrimenti: Esercizio 21.Le lunghezzeX,Ydei cateti di un triangolo rettangolo sono generate a caso, in modo tale che si tratti di variabili esponenziali indipendenti con lo stesso valore del parametro >0. SiaA l'area del triangolo,Z=YX il rapporto dei cateti e l'angolo (misurato in radianti) opposto al cateto Y. 1.Calcolare il valore atteso dell'areaA, in funzione di. 2.Calcolare la funzione di ripartizione diZ, notando che non dipende dae disegnarne il graco. 3.Determinare seZ ´ e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit ´ a e disegnarne il graco. 4.Calcolare la media diZ. 5.Calcolare la funzione di ripartizione dinotando che non dipende da. 6.Determinare se´ e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit ´ a. 4 Probabilit  a 2018/2019 ­ Risultati 7 Esercizio 1.Esempio 1:XN(0;1),YN(0;1)indipendenti. Esempio 2:X=YN(0;1). Esercizio 3.1/2 Esercizio 4.(a)X(2;1)eY(4;1). (b)No, infattif (X;Y)non  e fattorizzabile. (c)P(X2; Y3) =1-3e- 2 -e- 3163 . (d) X;Y= 1=p2. (e)Si pu o scegliere~ f(x; y) =xe- x 1(0;+1)( x)16 y3 e- y 1(0;+1)( y). Esercizio 5.(a)X(2;1),YE(1). S  , XeYsono indipendenti, infattif (X;Y)  e fattorizzabile. (b)Var(X+Y) =3. (c)E[U] =3=4 eE[V] =9=4. Esercizio 6.(a)f X( x) = 12 -j x-2j4
1[0;4]( x) (b)2 (c)1/2 (d)1/16(e)No, infattif (X;Y)non  e fattorizzabile Esercizio 7.(a)No, infatti il vettore(R; M)non pu  o ammettere densit  a congiunta poich ´ e P(M=1=R) =1. (b)E[R] =12 eE[M] =log(12:5=11:5) =0:08338. (c)Var(R) =1=12=0:08333, Var(M) =0:000004029, Cov(R; M) = -0:0005793. Quindi Var[(R; M)] = 0:08333-0:0005793 -0:0005793 0:000004029 . (d)-0:9998. (e)f M( x) =1x 2 1 (112 :5;111 :5)( x). Esercizio 8.p=8 > > > > > < > > > > > :2 `d ; se`d; 2`d 0 @1-s1 - d`  21 A+1-2 arcsin d`  ;se`d: 5 Esercizio 9. (a)f (X;Y)( x; y) =1 [0;1]2 ( x; y). (b) 3=2 1 , 1=12 1=12 1=12 1=6 . (c)(X+1; X+Y)U(Q), doveQ  e il quadrilatero di vertici (1,0), (2,1), (2,2), (1,1). (d)No, infattif (X+1;X+Y)non  e fattorizzabile. (e) 3=2 11=12 . (f)f (X+1;X+Y-XY+X2 Y)( u; v) =1u 2 -3u+31 D( u; v), doveD=f(u; v)2R2 :1u2; u-1v 1+ (1-u)2 g. (g)No, infattif (X+1;X+Y-XY+X2 Y)non  e fattorizzabile. Esercizio 11.(a)f X(n)( x) =n(F X1( x))n -1 fX1( x). (b)f X(1)( x) =n(1-F X1( x))n -1 fX1( x). Esercizio 12.(a)TE(0:6). (b)f S( x) =1:2(1-e- 0:6x )e- 0:6x 1(0;1)( x). Esercizio 13.(a)F Z( z) =R +1 -1R z-y -1f (X;Y)( x; y)dxdy. (b)f (Z;Y)( z; y) =f (X;Y)( z-y; y). Esercizio 14. (a)E[Z] =1, Var(Z) =1=6,f Z( z) =8 > > > < > > > :0 z 2= minfz;2-zg1 [0;2]( z). (b*)TU([0;1]). Esercizio 15.(a)E[Z] =0, Var(Z) =2=3,f Z( z) =8 > > > < > > > :0 z 2= 14 min f2+z;2-zg1 [-2;2]( z). (b) X;Z= 1=p2 '0:7071. 6 Esercizio 16. (a)E[1X +Y] = 1=2. (b)X+Y(3;1). (c)E[X+Y] =3. (d)f X( x) =12 ( 1+x)e- x 1[0;+1)( x),f Y( y) =12 ( 1+y)e- y 1[0;+1)( y).XeYnon sono indipendenti, infattif (X;Y)non  e fattorizzabile. (e)Cov(X; Y) = -1=4. (f)52 e - 3 '0:1245. Esercizio 17.(a)P(jX-Yj>1=2) =1=4. (b)f Z( z) =2(1-z)1 [0;1]( z),E[Z] =1=3. Esercizio 18.(b)F Y( y) =1 -e- y1 -e- y (1-p)1 [0;+1)( y). (c)E[Y] =Z +1 0 1-F Y( y)
dy= -1 p1 -plog p. Esercizio 20*.(a)X (2)= maxfminfX 1; X 2g ;minfX 1; X 3g ;minfX 2; X 3gg eX (3)= maxfminfX 1; X 2g ;minfX 1; X 3g ;minfX 1; X 4g ;minfX 2; X 3g ;minfX 2; X 4g ;minfX 3; X 4gg . (b)X (k)= maxfmin i2If X ig ;al variare diItra tutti i sottoinsiemi din-k+1 elementi dif1; : : : ; ngg. (c)Utilizzando il punto (b), si deduce cheX (k)  e una variabile aleatoria. Le disuguaglianze X (1) X(2)


 X (n)seguono dalla denizione delle statistiche d'ordine. (d)((X (1); : : : ; X (n)) 2B) =[ (( X (1); : : : ; X (n)) 2B), dovevaria su tutte le permutazioni dell'insiemef1; : : : ; ng. Esercizio 21.1.12 2 . 2. FZ( z) = 0; z0 z1 +z; z > 0: 3.fZ( z) = 0; z0 z( 1+z)2 ; z > 0: 4.1. 5. F( t) =8 > < > :0 ; t0 tant1 +tant; t 2 0;2
; 1t2 : 6.F( t) = 0; t =2 0;2
1+tan2 t( 1+tant)2 ; t 2 0;2
: 7