Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 11

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Probabilit  a 2019/2020 — Esercizi 11 Legge dei Grandi Numeri. Teorema Centrale del Limite. Esercizio 1.Consideriamo innite prove di Bernoulli indipendenti con probabilit  a di successo 0 < p 0 calcolare lim n!+1P (X 1+


+X n n): Esercizio 7.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, denite sul medesimo spazio di probabilit a, indipendenti, identicamente distribuite e in L2 , conE[X n] = 0 e Var(X n) = 2 >0, si mostri chepn P n k=1X k= non converge in probabilit  a. Esercizio 8.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, denite sul medesimo spazio di probabilit a, indipendenti, identicamente distribuite e in L2 , conE[X n] = e Var(X n) = 2 , si mostri che: (a)E P n k=1( X k- )2n  =2 , per ognin1. (b)P n k=1( X k- )2n q.c !2 . (c)P n k=1X k- nq P n k=1( X k- )2L !N(0;1). Nel casoX nin L4 , con 46 =4 , si mostri anche che: (d)P n k=1( X k- )2n  AN 2 ; 4- 4n  . Esercizio 9.Si consideri la funzione reale di variabile reale f( x) =12 1+x
1(-1;1)( x); dove  e un parametro, anch'esso reale. (a)Determinare i valori diper cuif  e una densit  a continua. (b)Calcolare media e varianza della distribuzione con densit a f . Sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, denite sul medesimo spazio di probabilit  a, i.i.d. con densit a f . (c)Studiare la convergenza in L2 , in L1 , quasi certa, in probabilit a e in legge di T n= 3X n. (d)Studiare asintotica normalit a e velocit  a di convergenza di T n. Esercizio 10.Sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, denite sul medesimo spazio di probabilit a, i.i.d. continue con densit  a continua f( x) =(1-x) -1 1(0;1)( x) ove2R  e un'opportuna costante. (a)Determinare i possibili valori del parametro. (b)Calcolare media e varianza diX n. Si considerino ora le successioni di variabili aleatorie Tn=1 -X nX n; W n= -nP n k=1log (1-X k): (c)Studiare convergenza quasi certa, in probabilit a e in legge di T ne W n. 2 (d)Studiare asintotica normalit  a e velocit  a di convergenza di T ne W n. Esercizio 11.SianoX 1; X 2; : : :i.i.d. P(), >0. SianoW n= e-X n ,Y n=1n P n k=11 fX k= 0ge Z n= E[1 fX 1= 0gj X 1+


+X n] . Supponiamo che tali variabili aleatorie siano tutte denite sul medesimo spazio di probabilit a. (a)Studiare la convergenza quasi certa delle successioni(W n) n2N; (Y n) n2N; (Z n) n2N. (b)Studiare asintotica normalit a e velocit  a di convergenza delle successioni (W n) n2N; (Y n) n2N; (Z n) n2N. Esercizio 12.Approssimazione probabilistica di. SianoX; Yvariabili casuali reali indipendenti con legge uniforme in[-1;1]. Indicando conCil cerchio con centro nell'origine e raggio unitario, sia Z= 1 se(X; Y)2C 0 altrimenti: a.Determinare la legge di(X; Y). b.Determinare la legge diZ. La maggior parte dei computer pu´ o generare una successione i.i.d. di variabili aleatorie uniformi, e pertanto anche una successione i.i.d. di variabiliZ nognuna con la stessa legge di Z. Sia n=4n n X k=1Z k: c.Mostrare che npu ´ o essere usato per approssimare il valore del numero determinando in quali modi ha luogo la convergenza n! . d.Determinare la legge asintotica di n. e.Calcolare la legge asintotica di n- q  n( 4- n)n . f.Supponendo ora di conoscere il vero valore di, calcolare in modo approssimato la probabilit ´ a che nfornisca il numero no alla terza cifra decimale esatta quandon=107 . 3 Probabilit  a 2018/2019 ­ Risultati 11 Esercizio 1."(a)X nq.c !p, dunque anche in probabilit  a e in legge. (b)X n( 1-X n)q.c !p(1-p), dunque anche in probabilit  a e in legge. (c)S2 nq.c !p(1-p), dunque anche in probabilit  a e in legge. "(a)X n AN p ;p (1-p)n  , per cuiX nconverge verso pcon velocit  a di convergenzapn ; (b)Sep6 =12 , alloraX n( 1-X n) AN p(1-p);p (1-p)(1-2p)2n  , per cuiX n( 1-X n) converge versop(1-p)con velocit  a di convergenzapn ; (c)Sep6 =12 , allora S2 n AN p(1-p);p (1-p)(1-2p)2n  , per cuiS2 nconverge verso p(1-p)con velocit a di convergenzapn . Esercizio 2." Q n k=1Y k
1=nq.c !e . "eX n AN e ;e2 2n
, per cui eX n converge verso e con velocit a di convergenzapn . Esercizio 4.(a)P n k=1X k- nn L !0, (b)P n k=1X k- np n L !N(0;1), (c)P n k=1X k- nnon converge, (d)P n k=1X k- np P n k=1X2 kL !N 0;12
. Esercizio 6*.lim n!+1P (X 1+


+X n n) =8 > < > :0 ;  >1; 1=2; =1; 1;  0. (b)E[X n] =11 +e Var (X n) =( 1+)2 (2+). (c)T nq.c !eW nq.c !, quindi anche in probabilit  a e in legge. 4 (d) T n AN  ; (1+)2n (2+) , per cuiT nconverge verso con velocit  a di convergenzapn . Wn AN  ; 2n  , per cuiW nconverge verso con velocit  a di convergenzapn . Esercizio 11.(a)(W n) n2N, (Y n) n2Ne (Z n) n2Nconvergono q.c. verso e-  . Si noti cheZ n= 1-1n
nX n ,n2N. (b)W n AN e-  ; e- 2n  ,Y n AN e-  ;e -  (1-e-  )n  ,Z n AN e-  ; e- 2n  . Per cui(W n) n2N, (Y n) n2Ne (Z n) n2Nconvergono verso e-  con velocit a di convergenzapn . Esercizio 12.a.(X; Y)~U([-1;1]2 ). b.Z~B(=4). c.q.c., in probabilit´ a, il legge, in L2 eL1 . d.pn ( n- )!N(0; (4-))in legge. e. n- q  n( 4- n)n converge in legge ad una normale standard. f.0.9464. 5