Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 12

Divided by topic

Probabilit  a 2019/2020 — Esercizi 12 Catene di Markov. Esercizio 1.Sia(X n) n0una catena di Markov, con spazio di stato E=f1;2;3g, legge iniziale v= (0;1;0)e matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 1=3 1=3 1=3 0 4=5 1=51 A: (a)Tracciare il grafo della catena di Markov e classicarne gli stati.(b)Calcolare la legge congiunta di(X 0; X 1) e di(X 1; X 2) . (c)CalcolareE[X n+1j X n] , per ognin=0;1; : : : Esercizio 2.Sia(X n) n0una catena di Markov con spazio di stato E=f0;1;2ge matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 0 1=3 2=3 1=2 0 1=21 A: (a)Disegnare il grafo della catena e classicarne gli stati.(b)Determinare la matrice di transizione a due passi. Supponendo che la legge diX 0sia descritta dal vettore v= (14 ;12 ;14 ) , calcolare: (c)legge, valore atteso e varianza diX 1; (d)la legge congiunta di(X 0; X 2) e(X 1; X 3) ; (e)E[X n+2j X n] , per ognin=0;1; : : : Esercizio 3.Un certo dispositivo elettronico pu  o trovarsi in tre stati: Aperfettamente funzionante, Bparzialmente funzionante,Cnon funzionante. Nello statoAil dispositivo pu  o eseguire 2000 operazioni al secondo, nello stato Bsolo 1000 e nello statoCnessuna. Se un dato giorno il dispositivo  e nello stato A, il giorno successivo sar  a nello statoAcon probabilit  a 2/3, nello stato Bcon probabilit  a 1/4 e nello stato Ccon probabilit  a 1/12. Se un dato giorno il dispositivo e nello stato B, il giorno successivo sar  a nello stato Bcon probabilit  a 1/2 e nello statoCcon probabilit  a 1/2. Se un dato giorno il dispositivo  e nello stato C, il giorno successivo sar a nello stato Ccon probabilit  a 1. Sia oraX n, n=0;1; : : :, il numero di operazioni al secondo che il dispositivo pu  o eseguire il giorno(n+1)­esimo. a)Determinare il grafo e la matrice di transizione della catena di Markov(X n) n0. b)Determinare la matrice di transizione a due passi. c)Assumendo cheP(X 0= 2000) =1, calcolare legge, media e varianza diX 2. Esercizio 4*.Consideriamo una catena di Markov(X n) n0con spazio di stato E=f0;1;2ge con matrice di transizione P=0 @0 1 =2 1=2 1=2 1=2 0 1 0 01 A: SiaY n= f(X n) dovef(0) =0,f(1) =f(2) =1. La successione(Y n) n0  e una catena di Markov? 1 Esercizio 5. Sei palline, di cui tre bianche e tre nere, sono inserite casualmente in due urne, indicate conAeB. In ciascuna urna sono posizionate tre palline. A ogni prova si estrae a caso e indipendentemente una pallina dall'urnaAe una dall'urnaBe si scambiano di urna: la pallina estratta dall'urnaA  e inserita nell'urna Be quella estratta dall'urnaB  e posizionata nell'urna A. Sia(X n) n0la successione di variabili aleatorie con X nuguale al numero di palline bianche contenute nell'urnaAdopo l'n­esima estrazione (l'estrazionen=0 coincide col posizionamento iniziale delle palline). Si vede facilmente che(X n) n0  e una catena di Markov. (a)Determinare la legge diX 0. (b)Determinare la matrice di transizione della catena e tracciarne il grafo. E irriducibile? (c)Determinare la probabilit a che dopo la seconda estrazione tutte le palline nell'urna Bsiano bianche, sapendo che all'inizio l'urnaAcontiene pi  u palline bianche dell'urna B Esercizio 6.Si consideri la catena di Markov(X n) n0con spazio di stato E=f0;1;2;3ge matrice di transizione0 B B @0 1 0 0 0 0 1 0 0 1=2 0 1=2 2=3 0 1=3 01 C C A: (a)Disegnare il grafo della catena. E irriducibile? (b)Calcolare la probabilit a che, partendo dallo stato 0, la catena vi ritorni al k­esimo istante, cio  e P(X k= 0jX 0= 0), perk=1;2;3;4. (c)Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolarla. Per tempi lunghi(ossianmolto grande), a quanto ammonta approssimativamente la frazione di tempo trascorsa dalla catena nello stato 1? (d)Assumendo cheP(X 0= 1) =1, calcolare il tempo mediamente impiegato dalla catena per tornare nello stato 1. Esercizio 7.Una pedina si muove su un percorso a quattro caselle, numerate da 1 a 4. La sua posizione al tempon=0;1; : : :  e descritta da una catena di Markov (X n) n0con matrice di transizione P=0 B B @q p 12 - p0 0 0 1 01 0 0 0 p p q=2q=21 C C A: dovepeqsono opportuni parametri reali. (a)Determinare i valori ammissibili dipeq. (b)Disegnare il grafo della catena, classicarne gli stati e individuarne tutte le classi chiuse.Si supponga, ora, che la pedina sia posta inizialmente in una casella su cui, una volta allontanatasi, non pu o pi  u tornare. (c)Identicare tale casella e scrivere la legge diX 0. (d)Calcolare la densit a congiunta di X 1e X 2. (e)Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolarla. 2 Esercizio 8. In un giardino ci sono 4 piazzole (siano esseA,B,CeD). La piazzolaAe la piazzola Bsono collegate da vialetti a tutte le altre, mentre le piazzoleCeDsono collegate ciascuna adAe Bma non fra loro. Come in ogni giardinetto, i bambini si divertono a scorazzare tra i vialetti. Si  e osservato che, ogni volta che arrivano ad una piazzola, scelgono quale vialetto imboccare secondo lo schema seguente (i numeri esprimono probabilit a)a Aa Ba Ca Dda A00 :10 :40 :5da B0 :300 :20 :5da C0 :40 :600 da D0 :60 :400 Supponiamo di poter descrivere la situazione mediante una catena di Markov omogenea. a)Disegnare il grafo della catena. E irriducibile? b)Qual e la probabilit  a che un bambino, partito da A, si ritrovi ancora inAdopo aver percorso due vialetti? c)Supponendo che i bambini siano abbastanza numerosi, quale delle quattro piazzole sar a alla lunga la pi u aollata? Esercizio 9.Un pezzo semilavorato entra in una certa linea produttiva da cui pu  o usciredifettoso con probabilit a p2(0;1),buono con probabilit  a q2(0;1), oppurerecuperabile con probabilit  a 1 -p-q. I pezzi difettosi sono scartati; i pezzi buoni vengono portati in magazzino come pezzi niti; inne, i pezzi recuperabili rientrano nella linea produttiva per essere nuovamente lavorati. Il processo descritto pu o essere schematizzato mediante una successione di variabili aleatorie reali discrete(X n) n0, a valori in E=f0;1;2g, interpretando l'eventofX n= igcome ``il pezzo si trova al passonnello statoi'': lo stato 0 indica che il pezzo  e stato scartato, 1 che il pezzo  e semilavorato o recuperabile, 2 che il pezzo e nito. Si dimostra che(X n) n0  e una catena di Markov con spazio degli stati Ee matrice stocastica P=0 @1 0 0 p1-p-q q 0 0 11 A: (a)Disegnarne il grafo della catena di Markov.(b)Classicarne gli stati e individuarne le classi chiuse.(c)Calcolare la probabilit a che un pezzo inizialmente semilavorato sia nito entro npassi. Calco­ lare, cio e, P(X n= 2jX 0= 1), pern2N. (d)Supponendo cheX 0= 1 q.c., provare che XnD !2Y;oveYB qp +q : (e)Calcolare le eventuali distribuzioni invarianti. La legge limite trovata al punto (d) e una distribuzione invariante? Esercizio 10.Si consideri la catena di Markov con spazio di statoE=f1;2;3ge matrice di transizione 0 @0 1 =2 1=2 1=4 3=4 0 1=4 0 3=41 A: 3 (a)Disegnare il grafo della catena. (b)Mostrare che la catena e irriducibile e aperiodica. (c)Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolare limn!1P (X n= 1). (d)Supponendo che la catena parta dallo stato 1, ossiaP(X 0= 1) =1, calcolare il tempo mediamente impiegato dalla catena per tornare in tale stato. Esercizio 11.E' data una catena di Markov a tempo discreto con spazio di statoE=f1;2;3ge matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 0 0 11 0 01 A: (a)Disegnare il grafo della catena e classicarne gli stati.(b)Calcolare la probabilit a di passare dallo stato 3 allo stato 2 esattamente in 2 passi. (c)Trovare le eventuali distribuzioni invarianti.Si supponga che la catena di Markov parta dallo stato 2. (d)Determinare la legge diX 0. (e)Calcolare il tempo medio di attesa per tornare la prima volta nello stato 2. (f)Scrivere la legge del tempo di attesa per tornare la prima volta nello stato 2. (g)Indicata conX n=1n P n-1 k=0X k; n 2N;la variabile aleatoria media campionaria, determinarne il limite quasi certo, in probabilit a e in legge. Esercizio 12.Andrea e alcuni suoi amici decidono di incontrarsi tutti i mercoled  i sera per giocare a un gioco di ruolo. In questo gioco la ``forza''Fdi ciascuno  e misurata con un numero intero compreso fra 1 e 4. InizialmenteFvale 1 per tutti i giocatori. Ogni sera, al termine della partita, ciascun giocatore lancia un dado a 20 facce per stabilire quanta ``forza'' avr a il mercoled   successivo; la ``forza'' varia in base al risultatoDdel lancio secondo lo schema seguente:a 1a 2a 3a 4 da 1mai1 D20maimai da 21 D10mai11 D20mai da 31 D2mai3 D1617 D20da 4D =1maimai2 D20Sia (F n) n0la successione di variabili aleatorie ove F nindica la ``forza'' di Andrea durante la partita(n+1)­esima. Si vede facilmente che(F n) n0  e una catena di Markov. (a)Individuare lo spazio degli stati della catena, scriverne la matrice di transizionePe disegnarne il grafo. La catena e irriducibile? (b)Determinare la legge diF 0. (c)CalcolareP(F n= 4)pern=0;1;2;3. (d)Calcolare la legge, il valore atteso e la varianza diF 3. (e)Calcolare le distribuzioni invarianti perPe discutere il comportamento asintotico della catena. (f)Supponendo i giocatori numerosi, si dica quale sar a la forza media del gruppo al primo incontro, al quarto incontro, dopo molti incontri. 4 Esercizio 13. Da quando l'Ing. Rossi  e stato assunto alla XYZ, lavora tutte le settimane dal luned   al sabato e ogni giorno lavorativo va a pranzare in trattoria (stato 0), oppure al self­service (1) oppure al bar (2). Ogni giorno decide in maniera del tutto casuale dove andare, con alcune eccezioni: non va mai due giorni consecutivi in trattoria; quando pranza al bar, il giorno dopo va sempre in trattoria. SiaX nla variabile aleatoria che indica il luogo scelto per il pranzo dall'Ing. Rossi al suo n­esimo giorno lavorativo (n=0 corrisponde al giorno del colloquio con cui  e stato assunto). Si mostra che (X n) n0  e una catena di Markov a tempo discreto. (a)Scrivere la matrice di transizione della catena di Markov e tracciarne il grafo. (b)Classicare gli stati della catena e discuterne il comportamento asintotico.(c)Sapendo che oggi l'Ing. Rossi e andato al self­service, qual  e la probabilit  a che vada al bar dopodomani? Supponiamo che, per un periodo di tempo sucientemente lungo, i tre locali abbiano proposto dei pranzi a men u sso e che l'Ing. Rossi abbia sempre optato per questa scelta. I prezzi dei men  u sono i seguenti: "Trattoria: 8e; "Self­service: 6e; "Bar: 5e. (e)Calcolare la spesa media giornaliera approssimativamente sostenuta dall'Ing. Rossi nel corsodel periodo di tempo considerato. Esercizio 14.Una stampante serve due PC, indicati con A e B. La stampante pu  o trovarsi in tre stati: 0 se inattiva, 1 se serve il PC A, 2 se serve il PC B. Supponiamo di formulare un modello in cui l'evoluzione degli stati della stampante, operazione dopo operazione, segua una catena di Markov a tempo discreto(X n) n0, con matrice di transizione P=0 @12 14 14 1 0 0 1 0 01 A: I due PC inviano compiti alla stampante con uguale frequenza e il sistema di comunicazione tra stampante e PC e cos  i progettato: "la stampante impiega solo un'unit  a di tempo per portare a termine qualsiasi compito; "se per caso i due PC richiedono contemporaneamente un servizio, la stampante decide casual­ mente chi accontentare. Si e, inoltre, calcolato il costo di ciascuna operazione della stampante (per elettricit  a, materiali di consumo, ecc. . . ): "0,06eper ogni istante di inattivit  a della stampante; "0,48eper ogni istante di attivit  a della stampante. (a)Disegnare il grafo della catena e spiegare da quali elementi dalla matrice di transizione sipossono dedurre le caratteristiche del sistema di comunicazione tra stampante e PC sopra esposte. (b)La catena e irriducibile?  E aperiodica? (c)Determinare le eventuali distribuzioni invarianti. 5 (d)Alla ne del proprio ciclo operativo,  e pi  u probabile che la stampante sia stata per la mag­ gior parte del tempo attiva o inattiva? Qual e stato approssimativamente il costo medio per operazione? D'ora in avanti, supponiamo che la legge diX 0sia descritta dal vettore  0= 23 ;16 ;16
. (e)Calcolare la probabilit a che al tempo n=2 la stampante stia servendo il secondo computer (f)Calcolare la probabilit a che al tempo n=0 la stampante fosse inattiva, sapendo che al tempo n=2 sta servendo il secondo computer. Esercizio 15.I semafori di Crazyland funzionano in modo bizzarro. DettoX nlo stato di un semaforo al tempon(ovvero doponscatti,n0), questo pu  o presentarsi in quattro modalit  a: verde (V), arancione (A), rosso (R) e completamente acceso (C). Inoltre, indicato lo spazio degli stati con E=fV; A; R; Cg, lo stato di un semaforoX nevolve markovianamente con matrice di transizione P=0 B B @0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1=4 0 0 3=41 C C A: Gli scatti di ogni semaforo di Crazyland avvengono regolarmente ogni 3 minuti. I semafori di Crazyland sono molto numerosi, sono stati accesi tutti assieme il 1 gennaio 2020 alle ore 00:00, equamente ripartiti fra i quattro stati possibili, e da allora evolvono indipendentemente gli uni dagli altri. 1.Se un semaforo e completamente acceso ad un dato istante, con quale probabilit  a rimarr  a completamente acceso anche all'istante successivo? 2.Disegnare il grafo della catena, classicarne gli stati ed elencarne tutte le classi chiuse irridu­cibili. 3.Calcolare le distribuzioni invarianti della catena. Vogliamo ora prevedere la percentuale di semafori che sar a completamente accesa a Crazyland il 15 gennaio 2020 alle ore 00:00. 4.Quale quantit a relativa alla catena X nci pu  o dare tale percentuale? Perch  e? Si giustichi la risposta con un opportuno teorema, vericandone la validit a delle ipotesi. N.B. Per il momento e richiesto solo di indicare, giusticandola, la quantit  a da calcolare, non  e ancora richiesto di calcolarla. 5.Calcolare, eventualmente in modo approssimato, la percentuale di semafori che sar a completa­ mente accesa a Crazyland il 15 gennaio 2020 alle ore 00:00. In caso di calcolo approssimato, si giustichi l'approssimazione con un opportuno teorema, vericandone la validit a delle ipotesi. Vogliamo ora calcolare la percentuale di tempo che il semaforo all'incrocio fra Mad Street e Wild Road passa, alla lunga, completamente acceso. 6.Quale quantit a relativa alla catena X nci pu  o dare tale percentuale? Perch  e? Si giustichi la risposta con un opportuno teorema, vericandone la validit a delle ipotesi. N.B. Per il momento e richiesto solo di indicare, giusticandola, la quantit  a da calcolare, non  e ancora richiesto di calcolarla. 7.Calcolare la percentuale di tempo che il semaforo all'incrocio fra Mad Street e Wild Road passa,alla lunga, completamente acceso. 6 Probabilit  a 2018/2019 ­ Risultati 12 Esercizio 1.(a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b)La legge di(X 0; X 1)  e data da P(X 0= i; X 1= j) =8 < :13 ; i =2; j=1;2;3; 0;altrimenti: La legge di(X 1; X 2)  e data da X1n X 2123 11 =61 =60 21 =91 =91 =9304 =151 =15(c) 32 1 fX n= 1g+ 21 fX n= 2g+115 1 fX n= 3g; n =0;1; : : : Esercizio 2.(a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b) P2 =0 @1 =4 5=12 1=3 1=3 1=9 5=9 1=2 1=4 1=41 A (c) P(X 1= k) =8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :14 ; k =0; 724 ; k =1; 1124 ; k =2; 0 altrimenti.E [X 1] =2924 : Var(X 1) =383576 : (d)La legge di(X 0; X 2)  e data da X0n X 2012 01 =165 =481 =1211 =61 =185 =1821 =81 =161 =16La legge di (X 1; X 3)  e data da X1n X 3012 01 =165 =481 =1217 =727 =21635 =216211 =4811 =9611 =96(e) 1312 1 fX n= 0g+119 1 fX n= 1g+34 1 fX n= 2g; n =0;1; : : : 7 Esercizio 3. (a) P=0 @23 14 112 012 12 0 0 11 A (b)P2 =0 @49 724 1972 014 34 0 0 11 A (c) P(X 2= k) =8 > > > > > < > > > > > :49 ; k =2000; 724 ; k =1000; 1972 ; k =0:E [X 2] '1180:56:Var(X 2) '675 733: Esercizio 4.No. Esercizio 5.(a)X 0 H(6;3;3). (b)S i. Matrice di transizione: P=0 B B @0 1 0 0 1=9 4=9 4=9 0 0 4=9 4=9 1=9 0 0 1 01 C C A (c)245 . Esercizio 6.(a)S i. (b)P(X k= 0jX 0= 0) =0 perk=1;2;3 eP(X 4= 0jX 0= 0) =13 . (c)= (18 ;516 ;38 ;316 ) . Per tempi lunghi, la frazione di tempo trascorsa nello stato 1  e approssimati­ vamente pari a 0:125. (d)8. Esercizio 7.(a)p=14 ; q =12 . (b)1;2;3 sono stati ricorrenti; lo stato 4  e transitorio. Tutti gli stati sono aperiodici. Le classi chiuse sonoE;f1;2;3g. (c)Casella 4, dunqueX 0  f4g, ossia v= (0;0;0;1). (d)P(X 1= j; X 2= k) =14 p jk, con j; k=1;2;3;4. 8 (e) = (47 ;17 ;27 ; 0). Esercizio 8.(a)S i. (b)0:49. (c)La piazzola A. Esercizio 9.(b)0 e 2 sono stati assorbenti (dunque ricorrenti); 1 e transitorio. Tutti gli stati sono aperiodici. Le classi chiuse sonoE;f0g;f2g;f0;2g. (c)qp +qh 1- (1-p-q)ni . (e)= (;0;1-)per ogni2[0;1]. S  i. Esercizio 10.(c)15 . (d)5. Esercizio 11.(a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b)12 . (c)= (12 ;14 ;14 ) . (d)X 0  f2g, ossia v= (0;1;0). (e)4.(f) pT( k+2) =P(T=k+2) =8 < :12  12  k-1 ; k2N; 0;altrimenti, ossiaT=Y+2, conYG(12 ) . (g)X nq.c. !74 , dunque anche in probabilit  a e in legge. Esercizio 12.(a)Spazio di statoE=f1;2;3;4ge matrice di transizione (supponendo il dado non truccato) P=0 B B @0 1 0 0 1=2 0 1=2 0 1=10 0 7=10 1=5 1=20 0 0 19=201 C C A: La catena e irriducibile. 9 (b) F 0  f1g, ossia v= (1;0;0;0). (c)P(F n= 4) =0 pern=0;1;2 eP(F 3= 4) =110 . (d)La legge diF 3 e descritta dal vettore (120 ;12 ;720 ;110 ) .E[F 3] =52 , Var (F 3) =1120 . (e)= (331 ;331 ;531 ;2031 ) . (f)"Forza media al primo incontro: 1. "Forza media al quarto incontro:52 . "Forza media dopo molti incontri:10431 . Esercizio 13.(a) P=0 @0 1 =2 1=2 1=3 1=3 1=3 1 0 01 A: (b)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. Ammette l'unica distribuzione invariante= (25 ;310 ;310 ) . (c)518 . (d)6,50e. Esercizio 14.(b)S i. S  i. (c)= 23 ;16 ;16
. (d)Inattiva. 0,20e. (e)16 . (f)12 . Esercizio 15.(a)34 (b)catena irriducibile, aperiodica. E unica classe chiusa irriducibile. (c)=17 ( 1;1;1;4) (d)v( n) (C) (e)47 (f) C (g)47 . 10