Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 01

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ESERCITAZIONE 1 SPAZI DI PROBABILITA T ALGEBRE PROBABILITA Es 2 Una moneta viene lanciata due volte Antonio vince se al primo lancio esce testa mentre Benedetto vince se al secondo lancio esce code 1 Determinare il più piccolo spazio campionario descrive toni ipossibili esiti dell'esperimento 2 Descrivere in termini dei sottoinsiemi dello spazio campionario i seguenti eventi d Antonio vince b Benedetto vince c Antonio non vince d Benedetto non vince e Antonio e Benedetto vincono entrambi f Vince Antonio ma non Benedetto g Benedetto Antonio 4 almeno uno dei due vince c nessuno dei due vince 5 vince soltanto uno dei due ce esce testa al 1 lancio ed esce croce al 10 lancio b esce testa o croce al 2 lancio Risoluzione 1 D t.tl cc c CT c cit X esito del esito del primo lancio 2nd lancio 2 Poniamo a Antonio vince Benedetto vince a a ITTI c b 3 It c CI c ac C tl cc d Be T.t t cc.tl e and tic f arde t.tt g Brace esci h AUB t CITI cc il acuto cit Al Caribe U Brad CITI ce.cl IN 0 e d Es 7 si consideri D 0,13N lo spazio degli esiti di infinite prove di Bernoulli Per ki 1 sn si considerino gli eventi En successo alla prova K e si consideri la t algebra A tceklk.sn Si individuino i seguenti eventi e se ne dimostri l'appartenenza ad d a solo insuccessi b solo la terza prova da un successo c solo successi nelle prove pari d solo successi da una qualche prova in poi e infiniti successi f solo un numero finito di successi g solo un successo RISOLUZIONECAI È Eric Enea fu Etica fu Eri c A b Es MA EI k 3 C M Ezra UE co d U Nemo limina En nei man no ao Oss we limniafen È we Em ie ITEM sit ne Men vizi ITEM St we Eu tinse ie ci sta in tutti gli Eu tranne al più un numero finito di essi ie ho successi in tutte le prove tranne al più un numero FINITO di esse e lingua En È En we linesmen È we Lem then we U En in 2h I Knew a te zhs.t.WEEut oie.ve En per infiniti NEW ie ho infiniti successi f solo un numero finito di successi es ao limina En Un Em f veni nei W ne men successi in as Prova tranne al più leggi di un numero FINITO De Morgan li'm sup È di esse n Solo un numero FINITO di successi g UE I letti Es 9 Chiara e Marco acquistano assieme uno dei 50 biglietti d una pesca di beneficenza lei sono 50 pieni di cui 7 piacciono a Chiara 5 a Marco e uno solo ad entrambi Uno di questi premi sarà casualmente associato al loro biglietto 1 Determinare il più piccolo spazio campionario che descrive i possibili esiti della pesca per Chiara e Marco 2 Descrivere in termini di sottoinsiemi dello spazio campionario i seguenti eventi a il Premio piacerai a Chiaia b I 0rem io ancora a rauco b il premio piacerai a rauco c il a entrambi d c ad almeno uno dei due e a nessuno dei due piacerà il premio f il premio piacerai a uno solo dei due 3 Valutare la probabilità di tali eventi RISOLUZIONI Ricordiamo lo spa pi.IR e definito come l'insieme dei possibili esiti elementari intuitivamente g e II iii 9 5 9 E de tale esperimento condurre un esperimento si traduce Micol nell estrarre un well Oss a NON è unico al più e unico d minimale anche se minimale e quindi elementare dipende da cio che stabilisco di voler controllate descriveva In questo caso l'esperimento che si fa deve tener conto di tocai i possibili esiti della pesca di beneficenza i e 50 possibili Pieni Si ha d 1 so esiti elementari Per rauco e Cha t nel saiadioino i entrambi Oss NON è NECESSARIO introdurre Ff esplicitamente d possiamo fare tutto in maniera astratta Le informazioni rilevanti sono le seguenti r A lrle 50 C.tl set C ME CA lck7 IM e5 a e b M c Crm d CUM e cum cum icon Furnari nn f i I AUB ma a OB and A e B and 0 am A e 3 incompatibili a EB cena a implica B 3 In questo caso l'insieme degli eventi Sl e un insieme discreto finito La probabilità è uniforme gli eventi sono equiprobabili a priori Pertanto si ha Pla casifavorevoli 1521 casi possibili Allora a Pcc Idea 750 0.14 nazioni b PIM 1M Ego 0 entrambi C µ c PC CRM uso 0.02 za chiara d Pecore 0.22 IIII Ensi c pleurite 1 0.22 0 75 peccar ma f PI com crimi piccole Pccuminarmi Plaits e Plain Plan B P cum Plant 0.22 0.02 0.2 Es una dieta riceve richieste di forniture che possono essere urgenti oppure no e richiede la consegna in citta oppure fuori citta Per una data richiesta è noto che i c la probabilita che sia una consegna fuori città e o d la che sia una consegna urgente è 0.3 ii la che sia una consegna non urgente in città e 0.4 Calcolare a la probabilità che sia una consegna urgente fuori citò b la probabilità che sia una consegna urgente in citta Risoluzione Risolviamo l esercizio in due diversi modi Introduciamo lo spazio campionario di Uti Me MI urgente non urgente in fuori citta cita e la t algebra insieme di tutti ipossibili eventi A 2h Poniamo F Mf Nf consegna fuori citta U Uf Uc consegna urgente Dalle Hype del Pb sappiano che F PI Mf res 0.4 PIU DI µ ne 0.3 pipe 0.4 In questo modo possiamo calcolare a PIENI P F nu PIF PIU PHU B Plauto Platt PCB Plants pianto Platt IB Plauto 0.4 1 0.3 PC FOB 0.4 t 0.3 0.6 0.1 I P FOB P Marlene Plan Ma e 1 PC me 0.6 ie Pizza 0.1 b Pizza PIU Pfaff 0.3 0.1 0.2 Ue Us ne free ci ne PIU PC Uff PC 24 ie p Uc 0.2 Ss calcolando anche Pitone 1 Pyres PIENI Risme 1 0.1 0.2 0 4 0.3 abbiamo i valori di probabilità dei singolari che caratterizzano una probabilita su spazi finiti In altri termini Mf Uff ne ne rappresentano una IMETODO2 lo qftffzio.ve di r sapendo la proto d eventi ci ricaviamo la prob di qualsiasi evento con questo metodo mostriamo come non sia necessario introdurre 5L e possibile fissare un arbitrario spazio di probabilità SI CA e definire la probabilità su specifici eventi in Siamo U la consegna e urgente C la consegna e in citta L insieme 52 delle possibili consegne e unione dei seguenti eventi tra loro incompatibili Cdu con prob a no b µ stiamo costruendo R C M Ue C come insieme delle possibili modalita ccn cc al di una richiesta c 1 stiamo co µ PA R T I Z I O N A N D O on a C implica che i c implica che 0.4 Pica PIccnluucdt PCC.edu ulccnuc Piceno Plancia bid Eletto U Uc i implica che 0.3 Pio Plume 1 Plume tata u u Uc ici implica che 0.4 PIU n c e si ricava allora 0.2 b 0.1 0.4 D 0.3 Quindi la probabilità cenaci sia una consegna urgente in città è plurale a 0.2 e la probabilita che ci sia una consegna urgente fuori citta e piu no b 0.1