Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 02

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ESERCITAZIONE 2 spazi ONART AGEREPROBABK.lt fEs11 Dato uno spazio di probabilita Cd P si mostri che i a se un evento a e quasi certo ovvero Pca 1 allora Plants PCB BEH b se un evento a implica un evento 8 ovvero ACB allora Plate PCB Risoluzione scriviamo B come unione a B disgiunta di insiemi D Bia ulani ANB Gracidar B PCB PC rado NB Placata Plan B 7 Piano insieme disgiunti Plan B Pla PCB PIATI z Plait PID i PCB 7 Plauso Platt PCB i piani Quindi abbiamo Plane PB 11 b qg BB.au a lo L Bia disgiunti PCB Plana B Platt Plant z Pla g Es 12 sia Rift p uno spazio di probabilità e siamo a B due eventi appartenenti ad tt con probabilita Pla 0.4 e PCB 0.7 rispettivamente Date le seguenti affermazioni dire quali sono certamente false quali sono sempre vere quali possono essere vera o false 1 Place B 0.4 F 2 Plauto 0.7 Vlf 3 Plauto 20.7 V 4 Plauto 1.1 F I PC Etait 5 an B 0.28 IF 6 PCB da è 0.3 v 7 Plan Be E 0.3 V Risoluzione a Plauto zplat o.ae A Plauto 7 PCB 0.7 Fi of Plan B E PCB 0.7 a Plant e Pla 0.4 I 1 PIA 1 0.4 I 2 Plaudo 0.7 FN 3 Plauto 7 0.7 V 4 Plauto 1.1 F 5 Plants 0.28 VA A B 6 DI Brad 70.3 V PB Plants t PlacnB B Anghiari p Brac RIB Plant 7 0.7 0.4 0.3 il n 0.7 0.4 7 Piante E 0.3 Plan Be e Pla 0.4 piante E BIBI 1 PCB 1 0.7 0.3 Bc RIB piante e 0.3 513 si consideri da 0,13 lo spazio degli esiti di infinite prove di Bernoulli Per il 1,2 si considerino gli eventi Eur successo alla prova te e si consideri la T algebra d NEL Kenia In 1,2 si consideri omicidi an En a si mostri che ogni an è un evento in A b si dia l'interpretazione probabilistica degli eventi An c si mostri che ansanti tu d si determini un an si mostri che appartiene ad tt e se ne dia l'interpretazione probabile's si supponga ora che Plan fan fu e quanto vale PI an Risoluzione a proprietà delle t algebra b solo successi nelle prime n piove c Anti È Eh Era n En Eun man An we aut WE Eun Man ie Anti can fu we am a we Eat d m an new n IN È Eh Eh solo successi An Men nei we an ie we am then ie u Knew we Men ie Knew week the 1 ir lei ie we En Hk an e di per le proprietà delle t algeb.ve e abbiamo and a infami Anti e an tu con A Man Man a new new allora per la continuità di P dall'alto si ha 1 PCA PI an line Plan In 0 es 14 Per ogni ne 1 sia an RER O E x cfr che 0,1 1 Determinare gli insiemi I an Ue an 2 se la probabilità di an vale tu quanto valgono le probabilita di I e quella di U RISOLUZIONE 1 Anew an Io tu j in Osserviamo che gli insieme an sono inscatolati il Anti E an tu si ha I An O U U an 0,1 an nei 2 Abbiamo Anti I Infatti fatti Allora per la continuità dall'alto si ha PINE linn Plan line In 0 PCI O PIU PIENI Plan 1 CALCOLOCOMBINATORIOCI Occuperemo di esperimenti aleatori che ammettono solo un numcoofinito di risultati possibile Sia di cui fun lo spazio campionario associato all'esperimento e A Pcr 2 Supponiamo che la natura dell'esperimento aleatorio ci suggerisco di assumere pe Pa per p ie di assegnare la stessa probabilità ad ogni evento elementare In questo caso si parla di spazio probabilita uniforme Dagli assiomi della probabilità segue che 1 Pcr Piscia È p up trip lp.FI eventi equiprobabili e la probabilita di ogni evento EE CA e data da È.ee kind Eri eletti Mette Pertanto quando abbiamo a che fare con esperimenti aleatori su spazi di probabilità uniformi procediamo nel seguente modo 1 individuiamo 52 e finito quindi A Pcr 2 2 individuiamo il sottoinsieme a dir che rappresenta l'evento 3 Se abbiamo probabilita uniforme Pla later Il problema si riduce sostanzialmente a contare gli elementi di R e di a Cie determinare IRI e 1AM Per farlo devo trovare uno schema di scelte successiva che mi porti ad invidiava coniuocate un elemento di SL e di a Questo schema di scelte successive e giustificato dal principio fondamentale del calcolo combinatorio graficamente visualizzabile tramite un diagramma ad albero PRINCIPIO DEL CALCOLO COMBINATORIO si realizzano M cspeiiueeu.tt Si supponga che il primo esperimento abbia Mai esiti possibili che per ognuno di essi il secondo esperimento abbia Ma esiti possibili clic per ognuno is i i finali distinti allora gli esperimenti hanno intuito mi ha hr esiti possibili graficamente si può rappresentarlo tramite un DIAGRAMMA AD ALBERO utile per rappresentare tutti i casi possibili ci permette al avete una elencazione grafica di tua gli elementi dello spazio campione 5L e o degli eventi AEA OSSA Nel diagramma ad albero e fondamentale che il numero di modi in cui si puo fare una scelta non cambi a seconda delle scelte precedenti In altre parole lo schema di scelte successive deve individuare univocamente gli elementi degli insiemi come da principio a i f ha le scelte si possono fare o in hn.kz hr modi ha L a NI es 1 Lanciate due volte un dado a Qual è la probabilita di un 6 al primo lancio b Qual è la probabilita che la somma de che risultati dia un 6 C A quanto è pari questa probabilità se lanciate tre volte il dado Risoluzione Lo spazio degli eventi elementari è d cit i 5 1 e 1 co 1521 36 i primo secondo dado dado come famiglia t algebra degli eventi possibili possiamo scegliere A por 2h per quanto riguarda l'assegnazione di una probabilita su Cd A osserviamo che se assumiamo che i due dadi non siano truccati e vogliamo che il nostro spazio di probabilità SI AP modellizzi Mesto 5 ti Abb zia che tt gli eventi fatto fisico dobbiamo ammettere che tutti gli eventi elementari di R abbiano la stessa probabilita p fai 136 ma siamo pertanto in uno spazio campionario con probabilita uniforme Allora Hae KI Pca lat Tr e 36 Sia a l'evento avere un 6 al primo lancio allora A 6,1 6,21 6,3 G SI 61 lat 6 Plate late 10.1667 In questo caso Red A hanno pochi elementi e possiamo elencarli senza problemi Avremmo anche potuto contare gli elementi di f e dir SENZA elencarli diagramma ad alba lancio lancio 2nd dado primo tisico elementi di 52 dado vii 6 Irl hi ha 36 è E sia B l'evento la somma dei due risultati e 6 allora 8 5,1 2,41 3,3 4,2 4,5 IBI 5 PCB 1,81 e 0.1389 Oss I risultati della somma NON sono covi probabili Oss L risultati della somma NON sono equiprobabili Infatti se assumiamo che i due dadi NON siano truccati abbiamo per casa fare iconti denotato con fi l'evento la somma dei due dadi e i per i 1 12 Pll 23 Rfid 136 PC 13 Altri P 343 PM10 PC 5 PI g 11g P 161 PC 831 536 PCI 731 se invece assumiamo che i possibili risultati della somma siano equiprobabili dobbiamo porle plaid È 11 111 con d 2,3 12 spazio degli eventi elementi e somma degli esiti del lancio dei due dadi n Lo spazio di probabilita così costruito e matematica corretto ma non ha nulla a che fare con la realtà fisica dell'Esperia Lanciando 3 volte il dato lo spazio campionario dicendo i K 45 Ken 6 1,2 6 IRI 63 216 Sia C la somma dei dadi e 6 C 11,4 1,41 41,1 222 2 2,2 12,3 13,2 2,13 2,31 3,123 32,1 Plc E 0.0463 Tf LE PERMUTAZIONI di n oggetti sono toni i possibili ordinamenti di n oggetti Le permutazioni di µ oggetti sono pari a n Nn 1 n 2 Determiniamo ora il numero di permutazioni di un insieme di oggetti alcuni dei quali sono indistinguibili tra I Fatto vi sono permutazioni di un insieme ha ha nr di n oggetti dei mali ha sono identici tra loro To r n a n d o al Nostro esercizio abbiamo c possibili permutazioni di 12,3 2 2,2 1,14 3 g 3 3 permutazioni 2 permutario ICI 6 31 1 10 3 scommetto sui primi 5 classificati di una gara con 40 concorrenti senza conoscerli a Qual è la probabilità di vincere b E se scommettessi sui primi cinque senza precisarne l'ordine Per mesta esercizio e utile introdurre i concerti di disposizione e combinazione supponiamo di avere un insieme di K oggetti Distinti da cui estrarne r con ME n La Disposizione di reggenti in n posh rappresenti il numero di scelte di raggeli Era n tenendo 1 conto dell'ordine nel quale questi vengono seleziona DI nln D. i e h rt Quindi nelle disposizioni l'ordine conta non conta invece nelle combinazioni Iàizàinisizji cir lff I.IT Consideriamo i due eventi A vinco ie azzecco la cinquina vincente D vinco senza precisare l'ordine Svolgiamo l'esercizio in 3 diversi modi È Determiniamo innanzitutto l'insieme campionario 1 C'e una classifica di cui mi interessano solo i primi cinque R we aus vii e 1 40 cui Wj fai i J tutte le possibile 5 tuple sono date dalla DISPOSIZIONE l'Ordine conta di n 40 persone in se 5 posti ie 111 DI 40.39 36 78960960 1 per il primo per il visualizzabile con 40 possibilita 2nd 39 diagramma ad possibilita albero tale 1 ho esattamente 1 possibilita tata Melee possibili IRI di vincere Plate e tzigano 1.3.10 se non preciso l'ordine ho 5 modi di scegliere la cinquina vivente ie tutte le 5 permutazioni dei primi cinque classificati Allora Ibla 5 PCB 1,81 658002 1.5 10 6 Metodo guardiamo tutta la classifica dobbiamo considerare le permutazioni di 40 Oggetti d w we ciao i cui C 1 40 Wi Wg tt J 111 401 111 40 a vinco scelgo il no 1 1 modo scelgo il n 2 1 modo ho solo 1 modo di scegliere la cinquina vincente scelgo il n 5 u u scelgo il n 6 35 modi i 40 a modo 35 ie tal 35 pia lato e 1.3 lo 8 111 40 D vinco senza precisare l'ordine procedo in maniera simile a sopra ma ho 5 modi di scegliere i primi 5 arrivati scelgo il no 1 1 modo seggo il n 2 1 modo di questi ne considero 5 Scelgo il n 5 u u e tutte le permutazioni scelgo il n 6 35 modi i 40 a modo 35 Allora 1131 5 35 PCB 51351 71.5 1040 Metodi Se dovessimo rispondere esclusivamente alla seconda domanda potremmo considerare lo spazio delle combinazioni di he 40 elementi in te 5 posti ie 5 i siti Iri CI G Se 3 vinco senza precisare l'ordine allora 1131 1 PCB III e 1 5 io Es PARADOSSODEICOMPLEANNICIAL è la probabilità Pn che in un gruppo di n persone selezionate in modo casuale nate tutte in un anno non bisestile almeno due di esse compiono gli anni lo stesso giorno Quanto deve essere grande mattinale Pu è Qual è la probabilità qu che nel gruppo di n persone ve ne sia almeno una che compie gli anni il vostro stesso giorno no 29102 Quanto deve essere grande 4 affinche 9N Risoluzione Ss Dato che le persone sono selezionate in modo casuale posso considerare una distinta Uniforme Pertanto una volta determinato d d 1 avro che Pia e 111 d Costruiamo 52 abbiamo le persone ognuna delle quali ha 365 possibilità di essere nata in un dato giorno D 1 365 tiri 365 calcoliamo la probabilità che le n persone siano nate tutte in giorni diversi i e detto a almeno due persone compiono gli anni lo stesso giorno calcoliamo a e avremo plate Per ad 1 PIACI AC tutte le persone sono nate in ie giorni diversi a Ace w ah non cui Ws Hits taci 365.364 365 enti 365 365 4 piace fare 3651 365 365 n 365 365 4 I pale 1 Piace 1 365 364 i.l365 tn 365 si può calcolare ns.t.pnstz è ne 23 b come nel punto a possiamo considerare di 365 sia A almeno una persona compie gli anni il mio stesso giorno Anche in questo caso ci conviene calcolare la probabilità dell evento complementare f e i nessuna persona compie gli anni il mio stesso giorno taci 364 ci sono a persone e ognuno di esse NON compie gli anni lo stesso giorno del mio compleanno ma per ognuna di esse abbiamo 364 line i restanti giorni dell'anno possibilita piace pia 1 PIACI 1 3 7 si può calcolare ns.t 9h ed e ne 253