Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 03

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ESERCITAZIONE 3 CALC MBINATORIO Es 9 Giocate 6 numeri al superenalotto verranno estratti 6 numeri senza ripetizione dai primi go naturali seguiti dall estrazione di un 70 numero Jolly diverso quindi dai precedenti Chal e la probabilita di fare a 6 indovinare i primi 6 numeri esatti b 5 1 indovinare 5 dei primi 6 numeri estrani e in più il numero Jolly c 6 o 11 Quale o quali spazi campionari avete introdotto per rispondere ai punti precedenti sono scelte coerenti Risoluzione Possiamo introdurre Un unico spazio campionario per rispondere a tutti ipunti Pensiamo all esperimento casuale come segue lo spazio degli esiti è dato da tutte le giocate possibili ossia scelgo una combinazione di 90 numeri di classe 6 si we 1 903 Info hai CI g 622614630 In altre parole lei l'insieme delle puntate secche ossia schedine con 6 numeri giocati ossia selle line con numeri g cat La sequenza vincente è assegnata a priori a sia a indovino i primi 6 numi estratti ie azzecco i primi 6 numeri della sequenza vincente non mi interessa il Jolly tali 1 peat Fa te 1.6 io 9 si sarebbe potuto rispondere alla domanda ANCHE introducendo e come lo spazio delle SEI anziche combinazioni f compare with Es 3 b d we No Wiesel go Kian ae cui Witten IRI DÌ 90.89.88.87.86 85 90184 sia A indovina i primi 6 numeri estratti la 1 6 dato che NON conta l'ordine abbiamo 6 modi possibili ie tutte le possibili permutazioni di scegliere la 6 topina vincente Plate IÌ 6 o E 1.6 10 9 Il ragionamento esposto sopra SCHEMA di scelte successive formalmente giustificato dal principio di calcolo combinatorio può essere graficamente visualizzato tramite uno schema di DIAGRAMMA AD ALBERO i Idle ha Ng i 90.89 84 ie le possibili 6 tuple considerando l'ordine sono i Irl È È Ma i IIII a non 89 Passito estratto il ha 84 possib L'e ve n to A indovino i 6 numeri estratti e visibile sull'albero come una particolare diramazione es il percorso in giallo ad esempio può essere la diramazione coiiisp.ae A 90,6 17 29 34 561 Dato che pero NON ci interessa l'ordine di estrazione consideriamo tutte le possibili permutazioni d A ie tale b sia B indovino 5 dei 6 numeri estrani e in più il numero Jolly Determino ogni esito possibile 8 come segue quale dato insiemi di 5 numeri dei 6 azzecco G 1 6 modi azzecco il Jolly 1 modo alternativamente possiamo pensare in quanti modi possiamo sostituire il numero sbagliato con il Jolly 1131 6 PCB BYE Egg e 9.6 lo 9 inalano iii stirato Il numero sbagliato può essere uno qualsiasi dei 6 numeri che ho scelti ma ho 6 modi possibili di sostituire il jolly al numero sbagliato c L evento e'dato dall unione disgiunta AUB Piace B Platt PCB e 71 7 1.12.10 8 SOMERECALLSCAMPIONA.ME VTODaUR Esempi classici di probabilita uniforme sono quelli associati agli esperimenti aleatori di campionamento da viva contenente M palline numerate da 1 am e per il resto indistinguibili L'e s p e r i m e n to consiste nell estrarre un numero M di palline A seconda della modalita secondo cui vengono effettuate le estrazioni si ottengono differenti spazi campionari 1 CAMPIONAMENTO SENZA Reiterissione Estraiamo una dopo l'altra ne µ palline dall'urna eliminando di volta in volta la pallina estratto possiamo scegliere come spazio campionario di an an ai 1 M e ai Aj ti 5 dove la i siano componente del caso elementare an an rappresenta il numero della c esima pallina estratta Se non vi è reimmisione la prima coordinata a puoi essere scelta in Mundi e per ciascuno di questi abbiamo le 1 possibilità per scegliere 92 µ n 1 per l'U Siena Detto diversamente lo spazio campionario e l'insieme di tutte le disposizioni senza ripetizione dei ordine n delle 9 palline La cardinalità di SL e Idle MCM 1 M vita Se ne M allora Irl te numero delle permutazioni senza ripetizione di te oggetti se NON interessa l'ordine con cui le palline sono estratte si puo scegliere come spazio campionario di E E c 1 M teleri ai an ai 1 M ai Qjttc.FI Detto diversamente lo spazio campionario e l'insieme di tutte le combinazioni di classe n delle m patite si è La cardinalita irked In questo caso e come se estraessimo le tre palline simultaneamente 2 CAMPIONAMENTO CON REIMMISSIONE Estraiamo ora una pallina dalla solita urna registrano il numero della pallina e prima di procedere alla successiva estrazione rimettiamo la pallina nell'urna Quindi ripetiamo n volte le estrazioni secondo Questo schema In Mesto caso n puoi essere un numero naturale qualunque Possiamo scegliere il seguente spazio campionario di ai an ai 1 M ie lo spazio campionario e l'insieme de tutte le disposizioni con ripetizione di M elementi di ordine n e la cardinalato di de 1521 M Oss Per rispondere ad una domanda fatta in classe Nel caso di campionamento con reimmissione introdurre d come lo spazio delle combinazioni NON modelli Zz la realtà dell'esperimento C ci dice tout ipossibili modi di estrarre k elementi da un'urna con n elementi In questo modo ogni singolo elemento e estratto sole na volta cosa che NON avviene nel campionamento con cinemissione dove ogni singolo elemento può essere estratto più di una volta potenziale 00 Ci celarli Es 10 si consideri l'estrazione di K oggetti da un'urna contenente a oggetti distinti numerali da 19 N 1 si consideri l estrazione con issione per cui KEN Viene osservato il risultato ordinato delle K estrazioni d i dividuare il più piccolo spazio campionario R che permette di descrivere l'esperimento aleatorio b dimostrare che i possibili esiti dell esperimento sono equiprobabili 7 le k estrazioni sono indipendenti e per ciascuna singola estrazione ge n possibili risultati sono equiprobabili c calcolare la probabilità di estrarre un dato insieme di aggent sei Ra senza riguardo per l'ordine di estrazione 2 si consideri l estrazione senza reimmissione deiil cui 1E KE n Viene osservato il risultato ordinato delle K estrazioni a individuare il più piccolo spazio campionario E che permette di descrivere l'esperimento aleatorio b dimostrare che i possibili esiti dell esperimento sono equiprobabili e il risultato di ciascuna delle K estrazioni data la sequenza degli oggetti gia estratti e equiprobabili fra gli oggetti minorenni c calcolare la probabilita di estrarre un dato insieme di oggetti 21 Ra senza riguardo per l'ordine di estrazione 3 Si consideri l estrazione simultanea per cui 1 E KEN viene osservato il risultato dell'estrazione a individuare il più piccolo spazio campionario Sl che permette di descrivere l'esperimento aleatorio b calcolare la probabilità di estrarre un dato insieme di oggetti 21 Ra senza riguardo per l'ordine di estrazione RISOLUZIONE Poiche DISTINTI possiamo numerare gli oggetti dell'urna da 1 am Introduciamo gli eventi Af esce l'oggetto ne all'estrazione j cui lui Water W em con me 1 n e je 1 K a SI è lo spazio campionario delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE i re 1 M vi Cui Wa t e r Wie 1 n ii K pie ordinate c'e 1 K 111 Nk b Hp le k estrazioni sono indipendenti ie K PIÈ ai TIRATI5 1 eventi indipendenti per ciascuno estrazione gli n possibili risultati sono equiprobabili ie Plagi e V m.V ji.eu E Ewer dimostrare abbiamo visto che i possibili eventi We r Sono della forma We we Cin con Wie 1 n c'E fa K allora K In I 1 Plaude PIÙ nu P fIaI Il PLAY n D Je estrazioni 1 un we significa proprio eventi equiprob che alla 1a estate esce un indigeno te alla ka estrae esce Wu ET esercizio C sia a estraggo gli oggetti sei Ra senza riguardo per l'ordine Dato che abbiamo la possibilita di ripetizioni i casi possibili oscillano tra due estremi sen seu e composto da oggetti tutti uguali no permutazioni o meglio permutazioni di K oggetti indistinguibili k 1 possibilità tale 1 ii sei se e composto da oggetti toni distinti dato che non teniamo conto dell'ordine dobbiamo tener conto di tutte le possibili permutazioni tale gossip nel mezzo ci sono icasi Pertanto E Plate knife con sottoclassi di oggetti uguali tra loro a SL e lo spazio campionario delle disposizioni senza ripetizione R We wa nu aiie 1 h c'e i K Wi Wj ti J 111 Mln d 4 htt I Ch K analogamente al caso 1 dobbiamo provare che b El Kwesi PIU fa Incantinte Per ipotesi sappiamo che ogni esito di ciascuno estrazione e equiprobabile condizionatamente rispetto ai risultati delle passate estrazioni TU 33 Jae Pro Sfruttiamo il seguente risultato see Thee 3.3 Jae Pro che connette indipendenza con probabilita condizionata per un numero finito di eventi Un sia cd et P uno spazio di probabilita e siano ai An Ects t Plan Naz An e so Then fan Plan Parlar piantai an d Oss Questo è esattamente il caso che ci interessa perche quando estraiamo la K Sima pallina dobbiamo tener conto del fatto che ne abbiamo estratte K I prima Abbiano allora pisci Phan and P FI Afi Plattiplaiatait Plaiatainaia A taiji lastra.nl la.mn mail e i lati e lai.tn mini n n i n 4 il qui usiamo il fatto che il risultato di ciascuna delle Kestiazioni data la sequenza degli oggetti gia estrarti è equiprobabile fra gli oggetti rimaneva 1 Oss graficamente lo si vede ncn.it Chieti Ìl _con un diagramma ad esercizio albero see es O estraggo In Xu senza riguardo per I'ordine C Sia a come al pt 1 Non abbiano ripetizioni a dunque tal K e perche stiamo considerando estrazioni Plat 1 14 SENZA reincuission a SL e lo spazio campionario delle combinazioni r ne sia n Inlet mi E b sia a come sopra deve essere Plate 1µg foss deve risultare che le probabilità PIA siano tra ipH 2C e 36 ma compare with es 36 e ES.ba toss Oss Importanza d Mesto esercizio serve per capire quando la probabilita uniforme è il modello corretto la probabilita uniforme dipende da R compare points 15 and 2b Es 11 si calcoli la probabilita di ottenere 2 patina rossa estraendone 4 da un'urna che contiene 3 palline rosse e 7 blu si confrontino i casi di estrazione con reimmissione senza reincuissione e simultanea Risoluzione ÌL trasse io palline te ne estraggo 4 a ESTRAZIONE CON Reinnissione In questo caso abbiamo d lui na aiie 1 103 1521 104 spazio campionario delle sia a l'evento disposizioni con ripetizione A 2 palline rosse su 4 estratto A si verifica quanti modi ho di estrarre 2 palline rosse e 2 blu 00000000 ho 32 72 possibilita di scelta is to ma poi dobbiamo 3 pass 7poss considerare tutte le possibili G permutazioni 212 tal G 327 pia ife G 2 1 0.2646 b ESTRAZIONE SENZA Reimmissione Svolgiamo l esercizio in due diversi modi introducendo diversi modi IMETODOS.TL lui na cui c 1 10 cui Wo k J IRI 10.9 8.7 spazio campionario 6 delle disposizioni 9 possibilita 10 possibilita senza ripetizione per la 1a Per la 2nd Pallina pallina sia a l'evento a 2 palline rosse su 4 estratto A si verifica quanti modi ho di estrarre 2 palline rosse e 2 blu 00 da 00 in totale abbiamo a p p 3.2 7. 6 possibilita ho 3 7 Possibilità poss 6 di ottenere questa poss configurazione apossib 8 7 6 3.2 Pero ora dobbiamo considerare Tu t t i i possibili modi in cui le 2 Palline rosse possono disporsi su 4 Oss palline estratte posti ie dobbiamo posso anche considerare tutte le G possibili configura pensare il tutto come il modo di combinazioni di 4 permutare le 4 elementi in 2 Posti palline tenendo conto che 2 rosse sono indisting e 2 blu sono indisting q sp f 24 XII 6 possibili modi e infatti si ha Pertanto tal e G 32 7. 6 Pca µ E 3 2 7. 6 I 0.3 111 10 g 8.7 È 1 di ne fa io s t.tw e4 IRI spazio campionario delle combinazioni sia a l'evento a 2 palline rosse su 4 estratto A si verifica quanti modi ho di estrarre 2 palline rosse e 2 blu Abbiamo g modi di scegliere le palline rosse e f modi di scegliere le palline blu ie tale II Platee e 0.3 c ESTRAZIONE SIMULTANEA Questo caso si tratta come il metodo 2 del pt b di ne fa io s t.tw e4 IRI spazio campionario delle combinazioni tale E Platee e 0.3 Es 17 supponiamo di giocare a poker con un mazzo da 52 carte identificate dal seme 46,89 e dal tipo un numero da La 10 oppure J Q K A si calcolino a la probabilità di avere un full ovvero un satin di 5 carte Xi x2 Xs Yi 42 costituito dalla unione di un tris un sottoinsieme di 3 carta dello stesso tipo e di una coppia un sottoinsieme de 2 conte Ye Ya dello stesso tipo b la probabilità di avere una doppia coppia ovvero un sottoinsieme di 5 carte K Xe Ya Z costituito dall unione di due coppie 3h X2 3 Ya di tipi diversi più una quinta carta E di tipo diverso dai tipi delle due coppie Rive Introduciamo 52 come lo spazio delle combinazioni di 52 elementi di classe 5 il Re nic fi 523 s.t.tw 5 tal a sia a l'evento a esce un full Es di full 3 33 39 6 687 modi possibili i di scegliere il seme tal 13 12 42 leg ti ho 13 possibilita ho 12 possibilità per per scegliere.ie o IpffIIe g aegI.fI del tris e g scelgo il 3 ho G modi possibili fossi Inquest caso considero 13.12 di scegliere il seme possibilita per posso pensarlo come ad un'urna il tipo e NON in cui ho i 4 semi e ne f perche e g il estraggo 3 caso e g estraggo 48 3 363 6 68 6 GIA 6 3 38 sono 13.12 G Pla d'Heinz a 0.0014 Irl 52 con pt b b Es 3 3 7 da 7 119 mi rimangono 11 tipi possibili 8 esce una doppia coppia tra cui scegliere l'ultima carta I G 42 11.1 posso scegliere l'ultima carta tra le possibili semi ho g modi di a scegliere il seme ho E modi per ho G modi di per ilsecondo tipo eg il7 Scegliere i due tipi scegliere il seme ie Escono il 3 e il 7 per il primo tipo eg 3 Piede per k 0.0475 e la probabilita di avere una scala ovvero una qualsiasi scala di 5 carte non necessariamente dello stesso seme probabilità di avere una scala 10.45 ICI 0 È per ogni tipo ho 4 possibilita sui semi A 2 3 4 5 6 7 89 10 J Q K q 10.5 blocco una carta ho possibilità possibilità la carta bloccato può essere la più alto O la più bassa della scala O una delle 3 in mezzo ho possibilita devo poi dividere per 5 perchè sto contando le scale 5 volte e g la scala che ha a come carta più bassa e la scala che ha 5 come carta più alto sono la stessa scala Pcc 1 10.45 s b la probabilità di avere un tris ovvero un sottoinsieme di 5 Carte in cui ci sono 3 carte dello stesso tipo e le altre due di tipo tra loro e dalle prime 3 Es 3 30 36 4 s esce un tris 4 modi possibili di scegliere il seme della IDI e 13 g i Ife auesta carta modi possibili di scegliere il tipo is IaIIiI anziane ma leg esce il 3 g modi possibili di scegliere il seme del tris più a e Ì