Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 04

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ESERCITAZIONE 4 PROBABILITA CONDIZIONALE e PENDE sio.hr AP uno spazio di probabilita Siamo ABE d con PCB 0 DeI Plaid Planet F PROPRIETA VA R I E siano a BEA e sia en new cct una partizione discreta di SL 1 se Pia PCB 0 allora Pla IB RIBIAIPIAI PCB 2 Plat Planet 3 PROBABILITA TOTALI se Plein so knew PIA Platen PIENI 4 Bates se Plat Plein so knew Pl Enlai Platea pieni platea Plein III A e B sono indipendenti la B se Plant Ralph SROPRIETI AIB e Plaits Pla 2 AI B s AIB O ACI B o a Be Es una roulette semplificata e formata da 12 numeri che sono rosso CR e nero N in base al seguente schema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R R N N R N N R N N R R siano f esce un numero pari B u u n rosso c n 3 D E 6 E E 8 F dispari E 3 calcolate le seguenti probabilita condizionali a Plaid Plata Pirlo Platt Platt Platt Pista Stabilire quindi se i b gli eventi a B e D sono a due a due indipendenti c A B D costituiscono una famiglia di eventi indipendenti Risoluzione Osserviamo innanzitutto che lo spazio campionario e Re 1 12 Osserviamo anche che per la risoluzione dell esercizio NON e necessario specificare 52 Ci basta sapere supponiamo che la roulotte sia non truccati e dunque possiamo considerare probabilita uniformi Ricordiamo che t.is i Plaid Piante PCB Iaia plciat PfffI _VYTeZ pIBld PljfcY_ I I Platt Pif O since art p RIDI F Plant PCF pt pt 1 Fed DAF F Platt 2,7 PIA p Bla PCB b Ricordiamo che Def Due eventi a BEA si dicono indipendenti se t.is oi vale solo per coppie di eventi Dal punto d sappiamo gia che A B sono indipendenti Resta da verificare che a ed Be D siano indipendenti si ha i µ sia cacca Dati difesi al D 12 Pla gli eventi di sidicono i i nonni a B D NON sono 72 i f È indipendenti se i 8 l'indipendenza e un concetto più for te dell'indipendenza a coppie d plate L pia AIE BIBLE DIB B E Plan Bre PCAIPCBIP.ie 1 è ALBIE Es 7 Nel gioco del lato ad ogni estrazione settimanale 5 numeri vengono estratti simultaneamente da uno vino che contiene 90 palline numerate da 1 a 00 si calcola la probabilità di estrarre a il 15 b sapendo che non è uscito nelle ultime 41 estrazioni c almeno un 15 su 42 estrazioni si considerino ora le prime 42 estrazioni d Se il 15 e estratto una volta con quale prob e uscito alla prima e se il 15 e estratto due volte con quale prob e uscito alla 1a e alla 2a RISOLUZIONE OSS Introdurre R spazio campionario delle combinazioni di 00 elementi di classe 5 andrebbe bene solo per rispondere al punto a negli altri punti abbiamo esperimenti ripetuti quindi NON introduciamo 52 Dal meccanismo del gioco sappiamo solo che le estrazioni sono tra loro indipendenti e in ciascuno estrazione gli esiti sono equiprobabili Metodo Introduciamo gli eventi f estraggo il 15 Ah estraggo il 15 alla K Siena estrazione azzecco il numero 15 e basta Pla 5 1 e 0.055g quindi per gli altri 4 numeri 90 90 18 devo considerare fate le possibili fate le possibili cinquine che posso estrarle b L'e ve n to che ci interessa e Aaa È ai Sfruttiamo ora il fatto che le estrazioni sono indipendenti dal passato e quindi ricordando la proprieta Plat B Pla se a B si ha dfatto meno che è successo nelle precedenti estrazioni NON influenza ilrisultato Plana È ai Plaude Plat È 0.0556 Pto c L evento almeno un 15 su 42 estrazioni si traduce formalmente in are Dobbiamo quindi collocate PIÈ.at Ricordiamo che l'unica informazione che possiamo sfruttare è che gli eventi Aj g az sono indipendente per calcolare potremmo usare la relazione osservate che gli Ag sono indipendenti Non disgiunti Plaude Plato PCB Plant ma diventa più complicata avendo 42 eventi Dato che la proprietà di indipendenza lo si strato quando si considerano di insiemi procediamo come segue Scriviamo µ a anti Mail www.zisouot e utilizziamo la proprieta Il Plate 1 Pla pertanto gli eventi an sono 42 ar 42 PIÈ aol.pk Aifl 1 Pf Ai 1 li piaci e na E 42 1 Il Riad 1 PIACI a Info e 0.9093 nei Plankton When 42 Oss osserviamo ma lo sapevamo gia che b e I sono due cose d Introduciamo i nuovi eventi 8k il 15 e estratto k volte Plant Bel Planned ALBI Anche in questo caso dobbiamo scrivere gli eventi usando informazioni che abbiamo Osserviamo allora che B il 15 è estratto 1 volta può essere scritto come 42 3 Ufa f Mai n ie Br è unione disgiunta degli eventi 15 esce solo jet k 5 alla K Sima estrazione E quindi plbnt YPIA.IR fII 42 E fa 42 modi di 1 scegliere per un Itis satoi Cie I sina.es Yu e I e I I i o I e I e f I e f E I 7a i s Ìp Oss Volendo visualizzare il tutto con un diagramma ad albero Mesti La astri 42 resti PINS ÈÈ n pie ne PIETÀ f ps PINE 1 o_O Allora abbiamo Plant Bi Planned Piatti Platt Tifi hear Narrai Plain ai piani mai II Ascidia che il 15 e estratto alla 2 Plan È 11 Plan 1a estrazione quindi vorra dire che nelle successive 41 estrazioni non e più estratto Pia µ Pia questa e l informazione che ci dà 81 c Plan had Ba Plain Alba Osserviamo 42 B U narrai iii Ef iii NBA Nanna.int l IlIlfId È probabilità 2 modi di probabilita che conosca scegliere j i che esca 15 40 estrazioni ie le due estrazioni in due estrazioni cui esce 15 n si può fare un diagr.at albero simile 9 sopra Allora I paga farnandjai planari Bz Annan Bz pibe Piantipiadrièai Piattini PIAN PCB pibe lY E f ÈI 0.0012 Osserviamo che in tutto l'esercizio non abbiamo fatto altro che usare la probabilità che esca il 15 in una singola estrazione ma infatti sfruttando ae Probabilità di successo semplifichiamo a Possiamo ridurre il nostro esperimento aleatorio a 42 piove di Bernoulli ripetute e indipendenti ciascuna con probabilità di successo p I e interpretiamo I A successo flares.ae 5 i cessoetoI p PIA Oss In questa situazione i diagrammi ad alberi sono facile rappresentabili come b Plant a Placid PIA p PIÈ.ae i PiIai n IIlAil i u pi d Br solo un successo PCB 42pA p PIA IBI t 4211 f 41 I Bz solo due successi Pl Bz G pria f 40 DI Anna 1 Ba primp 4 prh.pro Es 8 PARADOSSO DI MONTY HALL In un gioco televisivo viene messo in palio 1 milione Per vincerlo il concorrente deve indovinare fra 3 pacca qual e quello che contiene l'assegno Il concorrente sceglie a casco un pacco a qual e la probabilità che il pacco scelto contenga il premio A questo punto sul banco sono rimasti due pacchi e il conduttore che ne conosce il contenuto ne apre uno vuoto offrendo al concorrente la possibilità di cambiare il proprio pacco con quello rimanente calcolare la probabilità di vincere utilizzando una delle seguenti strategie b conservando il pacco scelto inizialmente c cambiando il pacco d giocando a testa o croce tra le due strategie Da assidui spettatori sapete che quando i due pacchi rimasti sul banco sono entrambi vuoti quello di DX viene aperto con frequenza p e quanto vale la probabilita che il pacco scelto inizialmente contenga il premio sapendo che il conduttore ha aperto il pacco di dx Risolve consideriamo l evento a il pacco scelto inizialmente contiene l'assegno a PIA b Introduciamo l'evento Kong vinco conservando il pacco scelto inizialmente Per rispondere a questa domanda e utile ricorrere alla formula delle probabilita totali Lem sia dica p uno spazio di probabilità sia aan ae.ie ai oueamT KEN La partizione di SL la costruiamo usando le informazioni della prima scelta that is SL A UAC tutti ipossibili eventi sono o il pacco scelto inizi contiene l'assegno O non lo contiene Quindi PIK.us PlVconsla P a tP Vc o u s I a d P l a c 1 3 E 1 1 O 3 f 3 te se so che ho scelto se so che non ho scelto il il pacco contenente l'assegno es dal conduttore pacco contente li assegno e che l'altro pacco e'vuoto se tengo il so anche che l'altro pacco mio pacco sicurane vinco vuoto allora sicura il mio sara vuoto quindi se lo tengo c Introduciamo l'evento perdo sicurate campo vinco cambiando il pacco scelto inizialmente Plumb Piranha Pla t Plucambiac pH c I 3 1 Z O 3 1 3 Viceversa se so che avevo se so che avevo scelto il vip scelto il pacco senza assop pacco con l'assegno e lo cambio d sapendo che l'altro la probabilità di vincere è nulla pacco è vuoto infatti sapendo che il 2 pacco quello aperto sicura vinco dal conduttore e vuoto se cambio mi becco l'altro pacco vuoto ma Dai punti b e Cc si vede immediatamente che la probabilità di vittoria dipende dalla strategia Possiamo rappresentare il risultato graficamente A assegno scegliere uupa ve vuoto I perdo vinco vinco perdo vinco perdo i ma e'fondamentale sapere che l'altro pacco e vuoto ad es poi rispondere al Pto c ci interessano solo gli eventi in cui alla seconda scelta cambio pacco ie quelli evidenziati in viola Vediamo che su 3 possibili situazioni bielle in cui vinciamo sono 2 ie canto e 2 3 Analogamente se non cambiamo eventi evidenziati in giallo su tre possibili situazioni quella vittoriosa e solo una ie vous 1g Ss Intuitive il conduttore aprendo un pacco ci sta dando delle informazioni in più e come se con la sua informazione ci dicesse il pacco rimasto non il tuo ha 2cg di priolo di essere il pacco vincente Cioè se prima avevo una probabilità di 23 distribuita su due pacchi adesso questa probabilità e tutta concentrata sull'altro pacco Quindi mi conviene cambiare pacco perche questo ha una probabilità più alta rispetto al mio di contenere l'assegno scelgo 1 ho prob di Prob l 7 vincere 3 3 il conduttore apre 3 che e'vuoto LIE t o con questa informazione sto 111 di faceto escludendo una porta e come se LI avessi due porte ma NON prob 1g più equipido la porta 2 ha prob di vinadio pari a 73 mi conviene cambiare d consideriamo l'evento Ve vinco giocando testa o croce tra due strategie Supponiamo la moneta equa e senza perdita di generalita assegnano a T testa la strategia di cambio pacco 2 Osserviamo che il lancio della moneta e indipendente dagli eventi Va n n o e Vo u s Usiamo ancora la formula della probabilità totale E in questo caso Sl TUC Pluto Pluto It PG Plutei c Plc µ se esce T cambio pacco Phocis c Plc PIVcams.lt PltI Il _cambiare pacco e Pillars c lanciare la moneta sono i eventi 4 lucano TI 3 È L 93 È 3 pive ttf È e Introduciamo gli eventi il conduttore apre il pacco di DX Pd il pacco di destra contiene il premio Ps sinistra n al testo sappiamo che Poiche in tal caso il vincitore ha il pacco vincente È probabilita che il conductor apra il pacco di dx sapendo che il vincitore ha il pacco vincente idue pacchi rimasti sono noi vogliamo calcolare entrambi vuoti P al D probabilita che il pacco scelto iniziale contenga il premio sapendo che il conduttore ha aperto il pacco di DX ÌÈ Prop sia cd AP uno spazio di probabilita siano AEA fedine µ Cct una partizione discreta di r i I Oss La prima idea sarebbe stata quella di usare la formula di Bayes nella forma PLAID PH a PlaIPlD Questa formula è però inutile nel nostro caso perché NON sappiamo quanto vale PCD Utilizziamo quindi la formula La partizione di de data da P questi 3 eventi assieme ci dicono in che pacco sta ilpremio Allora Pmi PLAID PCDIPAPI ep.IO DPih tPlDlPatPlPa tPlDIPs PCPs I I P 3 1 3 prob che il prob che il conduttore conduttore apra apra il pacco di DX il pacco di DX sapendo che contiene ilpremio sapendo che il pacco dish contenga I pti pie 3 ie P qlD p s In questo caso l'informazione che abbiamo e una info storica dai dati alle abbiano laccato abbiamo una info in più sul gioco e questa info NON dipende dalla scelta del conduttore La probabilita P si aggiorna con questa nuova info Bayes Thur Oss ie se il concorrente ha il pacco vincente il pacco di destra NON viene mai aperto In altri termini se il pacco di DX viene aperto allora il concorrente NON ha il pacco vincente Questo è meno che ci dice il risultato Erovato P paid 0 ie se il concorrente ha il pacco vincente allora cartari viene aperto il pacco di DX dardi in tal caso osservando l'apertura del pacco DX siamo più propensi a credere che il concorrente abbia il premio Pipa'D È p ie se il concorrente ha il pacco vincente allora viene aperto indifferente uno dei due pacchi Non abbia ulteriori info quindi non aggiorneremo le nostre opinioni c a priori Es 11 un'urna commene le palline rosse e 8 palline bianche Una pallina e estratta a caso dall'urna in modo tale che ogni pallina abbia la stessa probabilità di essere scelta Quindi una seconda pallina e estraete ancora a caso dalle palline rimanenti nell'urna E così via sempre senza reincuissione Si calcolino le probabilità che a la prima pallina estratta sia rossa b la prima pallina estratta sia rosso e la 2nd Diane c le due paline estratte abbiano colore d la seconda pallina estratta sia rosso e la terza pallina estratta sia rossa Risoluzione Introduciamo gli eventi Re la K Sima pallina estratta e rossa Be u E bianca a Plan ilrtb b Pirati Ba PI Baltar PCR b Frtb rtb i PIRnnbzirb crtbtlrtb.it c pkbanhs.lu RnnBaD plBinRz tPlRnrBz Pl nnRzfnlRnnBzlI m µ Pirata pieni b 4tbkrtb.it b rtb rib i 2 rb trio ri d BIRD DIRAI B PCB.lt Pirelli Plan ci 4 tb ikrtbltcrts.jcri.to È e PIRA PIRA Ritira Planare t PCR II n B Albania PCR Ibarra PCB n Rdt PCR IRan Ba DI Rambo dove PIRA Ritiratela PIRSIRNRDPIRAIRIPIR e così amache per gli altri pezzi Pitts e Matri es 16 un'urna contiene una pallina rossa ed una bianca Le palline vengono estratte con da un tema reimmissione e con rinforzo delle sole d'esame rosse Precisamente una pallina viene estratta a caso se e bianca viene semplice µ rimessa nell'urna mentre se e rosso la pallina viene rimessa nell'urna assieme do un ratta rossa Si calcolino le seguenti probabilita i a che la prima pallina estratta sia bianca b che la 2nd gallina estinta sia bianca sapendo che la prima è bianca c che la 2nd pallina estratta sia bianca d che almeno una delle prime due estraete sia bianca e che la 1a sia bianca sapendo che la seconda è bianca f che le prime le palline estratte siano tutte bianche g u u i rosse 4 che le palline estratte siano tolte bianche c di uno stesso calo Risolve Definiamo l evento Be c la K Sima pallina estratta e bianca a Pibe e I 1 correzione di b Pibe Bn È rinforzo delle un passaggio sole rosse errato durante esercitazione dato che la 1a strana è bianca alla seconda estrar mi trovero ancora davanti un'urna con 112 e 13 c Pisa PBzlBIPIB.lt Pedal Bi PIBE non t t t formula prob 2 z 2 totali R Br UBI alla prima est esce R o B ora pl Balbi se alla 1a est e'uscita R alla 2nd est nell'urna ci saranno 2 palline bianche e una rossa PCB It È 72 Visivamente può essere utile fare un drag ad albero È r 6 Posate fatte 3 LEI I Il 4 p 1 esto 2a est d PI Bru Ba PCB t Pl Ba PC Bad Ba 2 3 E 752 PCB n B P Balbi Pibe E Alte ftp.UBz 1 Pl Bin Bi ll au z z 1 PIBE IBI PCB 1 e BIBI Ba PlBdBdPlB Bayes PCB 31 Pf Bn f NB PIE BIMBI di PIE ante t t t 2 2 2 2 Thun 3.3 food Plotter Pss stiamo sfiorando il fatto che c'e riafori sono delle rosse e non che abbiamo Oggy prove ripetute eindipendenti ÉTÉ Diagramma ad albero mi interessa solo la diramazione in giallo Ii PIÈ Bi PIBE PIBE Ibi Philbin nbn.it a t t e Thun 3.3 jp 2 3 htt ssJVisualizzabil _tz.Efi e anche inquest caso con un sfruttano che rinforzano le rosse diagramma ad alba PIÈ Bn E PIÈ.su o È Bret È Bu e sfruttiamo continuità dall'alto di P Ci I Beh Bill MIIBAthaiai o Unione µ TE disgiunta o P Bi line h si.co 0