Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 05

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FOGL.IO 0ESERCIZl4 Va R l A B l L I A L E ATO R I E D i S C R E T E RICHIAMI virerei i ì v a reale se è misurabile ie V BE B X B EH LEGGE la legge di una v c reale X e'la misura di probabilita P su R B SE B P Xe B 1pct B P neri Hades t BE B I Pss La legge è univocamente determinata dalla Fed ossia F R R t.c.FHI PIXEtt.PK oo t La F d R e definita su tutto IR e si definisce solo per le v c reali I Oss somme prodotti limiti di v c reali sono v c reali FUNZ.am BOREliANE una funzione f IR B R B si dice sorellona se e misurabile Oss sono boichiane le funzioni continue e glaciale in III autonomia.name V. c . D i s c R E T E i una variabile aleatoria reale X si dice DISCRETA se assume con prob 1 valori in un insieme s al più numerabile Paes spazio degli stati Una v c reale X si dice discreto Sse pi e discreta ossia a SCR al più numerabile e p S Con s f CB 2 pila tt BED REB ns La funzione µ si dice ÉTAT di X si dice supporto d.pt l'insieme Sx RER Pda O Oss posso ma non devo per forza pensare 5 9 n graficamente À È Densità Px tre SCZCRP.in 20 Oss se Xe v c reale con F d R II costante a trani allora X è discreta 5 sara l'insieme dei punti di discontinuità e Px l'ampiezza dei salti si me o ot c A 1 a coat amo pila PIX a e g pila X 2 PIXEL pixel Fx 2 Fx 1 7g che e l'ampiezza del salto da 102 ie Pila rappresenta l'ampiezza dei salti Oss 52 discreto Imu discreto X discreto il 1 Possiamo riassumere quanto detto sopra nella seguente Prop sia X d SCR una variabile casuale discreto 0 che assume con probabilita 1 valori in 5 Ha KEI ICE Sia P la densità di X Allora 1 0 E Pda E 1 tre R e Pica D Va s 2 È Rick 1 3 Se Fx e la funzione di ripartizione d I f S 5 se BCR allora P XE B 2 Pura ki Rae 3 Oss 3 e 4 ci dicono che se i pH di s possono essere numerati in modo t.ci Un se se ha K allora la funzione di riparazione di una v c ale'scolta e una funzione a gradini che i gradini sono in i i Pilsen ie Px e l'ampiezza dei salti della funzione di ripartizione Fx nei punti di discontinuità 5 ci dice che e possibile costruire la probabilità al oguieventobect apaiaredalladensitaiol prob.to IESI si consideri la probabilita uniforme nell'intervallo 0,11 su R B Qui si definiscano le funzioni Xlvi Igp lui WEIR YIN filo wit a 14 a unto WER dove ocp.ca e un parametro fissato si ricordi che la notazione fa indica la funzione indicatric dell insieme Ae B ossia faint 1 se wea.ve R O se Weta a si mostri che Xe Y sono v c reali discrete si dimostri inoltre che X Y g c b si determina legge P P e valor atteso EHI ELY c si esibisca un'altra v c X con la stessa legge di X ma definita su uno spazio 52 discreto Risoluzione a Mostriamo innanzitutto che Y R B R B Sono tali Secondo la definizione dobbiamo mostrare che BE B B E B y i g e e sono misurabili se CSI ct P e uno spazio di probabilità Xe fa è misurabile s AEA mail.io aeaTU Quindi per verificare che X e una v c ci basterà verificare che 0 p c B Questo e'vero perche o p è chiuso X v c reale In maniera simile deduciamo che Ye una v c real perche e somma di X e del prodotto di funzioni misurabili Per dimostrare che Y sono v c Discrete dobbiamo dimostrare che la legge immagine di X P e PY e discreta ie t SCR al più non e p S 1911 s t Pra Pda Osserviamo però che reins Incita 0,1 X discreto Inoltre pxir plx.se Ip se a a se 2 0 Infanti se se 1 Plan plt.ae a e PC verifico lui Pl cit PITONI p su Rho Prob unite se a O PIX a P Leo col P cap ulp.to P Rito p 1 Pio p 1 p Possiamo allora determinare la legge di X usi.pl Bi Z n ff fIpIII ffBEB O altri un ie X B n io Xe una v c reale disco Blinalliana al'parametro p stabilire se Y e discreta è meno immediato infatti Imu C 90 ci 1 too Foss sappiamo che SI Y assume valori discreti allora Ye una v c discreta Manon e un SSE Da non possiamo dedurre nulla ma se pero proviamo che F Y 9 c allora in particolare avranno la stessa legge Yo u Blu Y discreta Proviamo allora che X Y 9 c Dobbiamo mostrare che PCE Y 1 PHY P wed xcwi.hu P ver kwh Ye n o p fever utroque a un 1 Abbiamo che we caduti too Il duca a W 0 we 0,1 W Il ondulato ie wed whoa ua aII o wed web il Quindi 0,1 plk YI.lt fwer w1h.a o ucn q otg PKoi1J e 1 ie X Y P as RICHIAMI VA LO R E AT E S O o.si X v c reale definita su cd AP e sia 4 IR IR Doieliana 1 Ethan falhlxiwhldplwlct.es father 1PM dilata i i E IN a Praia 3 Se in particolare X e discreta con densità a io gia calcolato la legge di Xe Y X Y BCpl.EU ssePxcnl ZsepxlaI Oh pItnp p aesae 5 1913 pare p se i xp se o Poiche X Y g c Xe Y hanno lo stesso valore atteso c Basta considerare µ identità no compareggit d 0,1 d 2h D pi Fludiew I Id d A d l die Allora p W W Alla 1 p Oss In generale e sempre possibile costruire uno spazio di probabilita Cd 7 p e una v c X su di esso che ha pi come densità ie tale che pila p la Infant basta prendere d S f Pcs e P l'unica misura di prob su S S t Pitney plan con KEI E immediato verificare che la v c discreta Xlwi wv wer.ua densità pc Ess consideriamo infinite prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo 0C Pc 1 Sia quindi di 0,131N sia chi TI Erik 12 con En successo alla p K e sia P tale che fece re isolti una famiglia di eventi indipendenti con µ a p 7k Indicata con lei we µ il generico esito dello spazio campionario d definiamo funzioni Xu R R W Xuan Lun NEW d si mostri che Xu ten b si mostri che le Xu sono v c discreta e se ne interpreti il signiti probabilistico c si determini la legge delle h d Un si mostri che Yn e z Xie una v c discreta e se ne dia il significato prbilish.co e se ne determini la legge e si mostri che Zemin new nel numero di prove necessarie per il primo successo con la convenzione mind et è una v c discreta e se ne calcoli la 0 f si mostri che We di insuccessi prima del primo successo a e una v c discreta e se ne calcoli la legge g si mostri che Ve live.int Xu e Ue lingua Xu sono v e discrete e se ne calcoli la legge cosa sarebbe cambiato se avessimo realizzato in un altro spazio di probabilità d d Pi diverso dallo spazio dei Bernoulli una successione di even En indipendenti e f c P Eni p ed avessimo poi posto Xd Ieri ovvero se avessimo usato undici spazio di probabilita per rappresentare infinite prove di Bernoulli e con prob di successo al Pci Risoluzione a Fissiamo wed Dobbiamo mostrare che Xvii tengo Ricordiamo che En West Un 1 successo alla n Siena prova Abbiamo Hwan Xuan un 1 se un 1 g 0 se Un O non rappresenta l'esito della n Siena prova e Lenin 1 se Ween con 1 µ o se W Ea 7 Un 0 Oss Questo ci Da G e 2 si vede allora che dice che la V c Xu rappresenta V cu er Xuan Lenin l'esito della ie Xu 1 en mano n Siena prova ie 1 se otteniamo un succo o altrimenti b sono funzioni a valori reali In particolare IUCN e 0,1 sono v c discrete Resta da verificare la misurabilità ie Xu b A R Bari ci incurie con Xi B e di te Be Bar Ci basta verificarlo su insiemi della fodera L ao t pt a Xi'Keats wed Xncwiel o.tl wed Lenin E I 94 lei l a ti 0 se too Ei se octal Iene 0,1 e SL se te trenini 1 se WEEN O se WHEN Dato che 0 Ed d ELA abbiamo che Xu e mis 0,1 A Mea KEN CR BUR 1 significato esito n sine proua.n P insuccesso c Le Xu sono v c discrete ma hanno una densitai discreto Piu 0,1 to 1 Padri PCXn.se p se sei i p se seco de 0,1 ie PLXn.si Piqued Kinder Plichi e PIENI p Plinio p werixulwt.co PCX lfoj Plenc 1 p Prete p p O alti inni ie XfB ma Xu sono Bernoulli di parametro p d Yu È Xu e una v c reale perché somma di v c reali è discreta perche In Mn 0 n descrive il numero di successi in n piove di Bernoulli Densità discreta Pym q h t.tt py.co Plinio PIX theo P FI 1 4 p ping punti Plinti.tk 11 Pf Ei Ef lei NET npl pY I py.lk PlYn kl PlXnt tXnekl f q fEin gEo gg tIPledfIPleH I pae py n e pynlkklhtph.pt fu la somma di n Bernoulli one di parametro P e una Binomiale n p Blu p g foss Questo non è vero in generale ie la somma di v a bernoulli.am e binomiale solo se queste sono 1 e con lo stesso parametro di successo p ma La distribuzione binomiale up descrive la pro del numero di successi in n prove di Bernoulli indipendenti e con stessa prob di successo p le Z e v c perche min di v e a valori in INIZI IN U too v c discreta Densità discreta Pz Nu 3 too l0,1 Sia KEN fissato I Pz IN PIZ K P È Efren per_p 2 ninfa E IN Xu 1 ie il numero minimo di prove da fare per ottenere un successo Pz to plz.to P wEjc nIE.P Ef ie sempre insuccessi I fine G p O in tesi Potevamo calcolare Pz too anche nel seguente and Petto 1 È Beck 1 P È 4 p 1 pfz.la 1 p 1 O la distrib Ocon I 1 la_p descrive la pits che il 10 successo richieda È i 19h1 ti e esec.ua di K prove K I e HK Pack p CAPI distribuzione geometrica ie 2 g p di parametro p f We numero di insuccessi prima del primo successo Ricordiamo che 2 numero prove necessarie per il primo successo numero di insuccessi prima del e 9 0 0 0 1 primo successo i We 3 i 4 prove necessarie per il primo successo Z 4 i e generalizzando W Z 1 g c N è una v c discreta è una v c geometrica infatti Pw i 0,1 0,11 Puck PIU te PIZ 1 4 PIZ km PGP Zuglio g vi liqiu.fi n Ui liysupXn sono v c perche rispettivamente limite e lingua di v c In particolare limniufxn liyinfleytlimnins.eu limite tu eu sIoI nenfnEIikfntekIaug sup41a 1 Lange inf haha Analogamente W lingua Xu flimsy per Allora In Iv e Imu e 0,13 Ricaviamoci la densità discreta di V il procedevi per W e simile Pv 0,1 Io i dobbiamo calcolare poco Puca Puh Pive si p timing Xu 1 PI limina En mi dice che ho esito con successo ora limina En Eri ma Ani Va n i an 70 quindi Pl line inferi PC an Osserviamo ora che i nhssatoplad fiy.pl En lim o e 0 m sta unirti ho un htt p co successi An n Era Ken Allora MI limninf.eu P ffAn O presi o poco Pivot 1 PIU 1 1 Puck Pluck o se Ken 1 se K O i e Un poco ci sta dicendo che Blues e Zero ie limit Xu O 9 c Analogamente si mostra che Wu 311 ie We lingua Xu 1 9 C Oss ALCUNE CONSIDERAZIONI su Est ed Ess c Negli esercizi 1 e 5 abbiamo visto diversi possibili modi in cui introdurre una v c con distribuzione di Bernoulli 1 Abbiamo considerato uno sp di prob continuo r it P R BUR Paris Abbiamo introdotto le v c X R BUR Pony IR BARI W Xlv Ito Cw Y CIR BARI Pouf R BURN wi oylwli 1 apfwttwtk.a.oiii.io X Bcp Yu Bip dove pe prob_di successi abbiamo considerato uno sp di prob discreto esta r AP 0,13 0403 P con pollo up e FIN p abbiamo introdotto la v c E 913 olio Pn R Bari W Zhi n 2 Bcp e Es 7 DISTRIBUZONEBINOMIASI consideri una variabile binomiale X di parametri n e p con KEN 0 pc 1 Scriviamo Xv Bis p a calcolare X b calcolare vai c calcolare le mode di X ie i punti di massimo della densità discreta di X RISOLUZIONE q no alla parametri h ie il numero di prove attenuate p ie la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli con 0 E PE Formalmente Blu p si scrive come somma di n v c IL Xi Bip ie v c beonoulliane di p.in CI È a Ricordiate E XI fax clip con sia B LEE v c Se X e una v c discreta con densità TI S 0,1 allora Te o r e m a astratto concreto per calcolare E X con Xu Blu p possiamo procedere in due modi METODO 11 Utilizziamo la definizione di E xp r e la forma esplicita della densità res binomiale pxixl PCX.se 2 P p Av r e m o n EIH.se sxpxca j r pae pY r XnBln p S fo h Pda 1 paq.pt È 4h prep Gti pitta p t Gti P't gin p l plants up È P'Apt up f pie.pk Mp i e se X Ben p EH up METÀ Blu p 1 Utilizziamo il fatto che I È con Xiv Bcp e Xi v c indipendenti e la linearità di te ie E IN EI È XII È EEx.ly Ip np linearità aie Vi X n Bcp Eh p see Es 1 b ie se Xv Bcn p Eh up b Ricordiamo che i Usiamo a Va i IN E XI ENI è ENI Cup Resta da calcolare Eff Lo facciamo sfruttando il fatto che È Xi con Xin BG V i n.in e Xiii Xp V ifj.EIXI.IE I2xipf Ef IXF t2E xikf Ora le KY.pe iEtxi4 ip npXinBlp h linearità di E ftp.i ZKPCXi k siPlXi 1l kEfon3 p successo I 1 È Xix È Elite f È plein Es Ricordiamo che Xi Xj Bcp linearità di E allora E Xix KPCXik.ie Play I Plein Es iii È io È P P j panini n f aiiora stetti Va r i a E IN EH E Xi tale Hip Np panca il nap np.li P Va i xp npln.pl c Ricordiamo che II a7 FI IIa ita Cerchiamo i punti di Massimo locale i e i K per cui Rick ti E PKK e pick MERCK Abbiamo pxlktilep.lk f pkf.pl f pke p.tn te n K è Iper K 7 penti I Pick i e Pick p G p t e f pkl.pl K Kepler i Allora si verifica s play 1 E KE finti Quindi Moda parti 1 e Pinti se parti ew Pinti se Pinti IN Es f DISTRIBUZIONEDIPOISSOSI consideri uno v c di Poisson X di parametro a 0 scriviamo Xv Pca a calcolare E b calcolare Vari C calcolare le mode di X d dato KE 1,2 quale a o massimizza PCKKI RISOL.VE ONERicore Per 7 o la densità di Poisson di parametro 2 e puri KE 191,2 k 90,1 2 àà I uàà ii o dà contributo nullo ITA È E Ik e e a I K le L Hai dRw e_a se a r 12 a o i Axapta e 2PM 1 con Xv PG a o ie se in PG E XI 3 Cal b Va r i x EIX E.LA 2 Efx7 ElxIY EIXI d Per esercizio calcolare x2 e concludere se Xv Pca varie 2 iàinizèÉi Cerchiamo i punti di Massimo locale i e i K per cui Rick ti E Pkk e pick MERCK Per esercizio si procede come in ES 74 Esq DISTRIBUZIONEGEOMETRICASI consideri X Icp v a geometrica di parametro p Ocp ci Si ha pertanto Pixar Pci p K 1,2 o attrae a mostrare due diversi spazi SI CA p uno discreto ed uno continuo su cui è possibile definire X b calcolare le mode di X c calcolava la funzione di ripartizione di X d calcolare E C PROPRIETA DI ASSENZA DI MEMORIA mostrare che PIX it IX i P E Kigali ft si inventa il risultato appena ottenuto i set e una v o reale discreta a valori in IN S t PIT c gli c PIT g Viscidi allora tu gia con 9 Rfi RISOLUZIONE OSS PIX K p 4 p rappresenta la probabilità che il 190C richiede l esecuZ.de K prove 1 ognuna con prob di sole p se la prob di successo e piu ogni prova allora la prob che alla K Sima prova si ottenga il primo succo e PIXEK pin p K a Ricordiamo che i Èisiàinidio Abbiamo X 7 P INC R i FIN Xv Gip ie PIX K pin p KEN spazio di probabilita discreto 9,7 p con SL IN che 2 e P l'unica misura di prob su d t.ci PIK file per p con questa scelta di cd 7 P si ha che XC Idle X N 2N P IN wi sxcwi.eu è una v c Xv dobbiamo mostrare che V KENPxlki p.lk TICK PIX K P WEIN Xiii K Knew tw Il WEIN Nek e PIK pick pimple Pss Dato che le v c discrete sono caratterizzata e dalla probabilita sugli atomi nel senso che V BEH FIXED 2 Picard K sere Bns caratterizzare P sugli atomi come fatto in significa sostanzialmente dire che P e l'unico Mis di prob su CIN 21N Ec P P dove Pilo Plico legge d la misura che dobbiamo mettere su N 2N e proprio la legge immagine di una v e geometrica di parametro p Poi basta considerare su questo sp di prob la v c X Id e abbiano immediatamente X gg spazio di probabilita continuo d tipi R BUR Pi e ci fai er L' i d e a è la seguente sia Csi 7, 7 un generico sp di prob E cd 7 p R BARI Pi con Xv Gip W Xiii lo significa che V BEB.IR PNB PIX EB ie t'è la legge immagine di X se quindi come sp di prob consideriamo proprio R BCR Pi e F Id IR BUR Pi R BIR pt W Xlii ci abbiamo costruito uno sp di prob continuo dove e possibile definire X Resta ora da capire come è fatta P palla b PCXC la.ba PCXEb PlXea BURI FEB Fx a ie su R BUR consideriamo la Mis di prob definita come pilla b Field Fda Ha beh acb C Ricordiamone sia X uno v c reale define i definita ER come False FIXER Dobbiamo calcolare dunque XE se their Sappiano che dato che Xv Gip pxlrtepcx.ge Poh PF 7 1,2 altrove se ac 1 False Xe a O se K2 1 t xlrl pfxe.se p Xe 1 LN X assume valori in per le v c discrete 5 11,2 pcxe.gl Ritter K due Bns Lui vi 2 Pick pin p p zq.pk e K 1 nei kit Xv GIP ie Ricordiamo che Rin papi p Api n in più e Otteniamo quindi se Xv Gip Else µ Ap 1g d d Possiamo procedere in Calvino due modi diversi IMETO.JO usando la definizione di E Per esercizio Hi osservare che la serie che ottenete scrivendo esplicitamente EIN e la derivata di una serie di cui sapete calcolare facilmente il valore Sfruttiamo l'esercizio 6 ie dato una v c aleatoria a valori in 0,1 2 si ha EID È PIX n Allora EH È panni È a geni È f serie glam Film 1 Ap di parametro 1 q 1 p no Èà N se in gap EIN e PIX city IX e Plisitgni PCX PIX c Pini 1 Fx Cit 1 4 1 4 p pt e 1 Fx se 4 pli PIX g 1 Fdj G p Quindi PCXsitjlx.ci PIX 5 Vigenti Oss cosa MODELLIZZA UNA DISTRIBUZIONE GEOMETRICA a ie cosa ci dicono i pH e Kf Supponiamo di avere una apparecchiatura NON soggetta ad usura ed inizialmente funzionante ma che si può guastare per motivi contingenti Supponiamo di controllare il funzionamento dell apparecchiatura agli istanti discreti 1,2 Sia T l istante in cui l'apparecchiatura si casta La distribuzione geometrica rappresenta f un buon modello probabilistico per t Infatti osserviamo che se controlliamo la apparecchiatura al tempo t K e la troviamo funzionante la probabilita che li apparecchi sia ancora funzionante al tempo E Kij e la stessa di trovarla funzionante al tempo c infatti stiamo semplicemente cercando la prob che si guasti in un intervallo di tempo di ampiezza j che è costante per l'assenza di usura Detto formalmente PIT Kaji K PIT j e si dimostra pt fa come la preaedente identità assenza di memoria ci permetta di calcolare la densità di T se conosciamo p i PIT 1 e plea cita 9 1 pepite 1 intensita di guasto si ha tnGl9li ssfooVedreenonelcasodiv.c continua che le v c con densità esponenziale godono anch'esse della proprieta di assenza di memoria Es 12 In una certa provincia montuosa si puo suppone che il numero X di frane al mese sia una v c con legge di Poisson de parametro 2.3 a calcolare la prob che ce siano almeno due frane in un dato mese b calcolare mediana e quantita di ordine 0.6 del numero di frane mensili c quanto dovrebbe valere il parametro a altieche la prob che in un mese non ci siano frane sia È RISOLUZIONE Xv Pca ie PIX K 2 e d VK.am a X numero di frane al mese 1122 ma almeno due frane al mese PIXEL 1 Plea Pixar 1 è de PIX 72 1 E ita e 0.669 c a s.t.pl X 0 È RIKO e sta a log È ie A log e 0.693 Hae 0,1 il quantile 9 di ordine è un numero reale che verifica uno dei due sistemi di disuguaglianze seguenti i sistemi sono tra Allora per 4 0.6 dobbiamo trovare 9 90,6 S t P XE 9 17 0.6 plxaq.IE 0.6 P XE 3 PCX.co tPlX 1 tPlX 2 tPCX 3 e aut d that e 0.799 20.6 P Cs PIXEL E 0.6 ie la prob che ci siano al più 3 frane in un mese 90,6 3 e 0.6 Ricordiamo che i ea eiilqeanhiediordiuatz L.ae pt Ca sappiamo che PIX 2 L Resta da verificare PIX E 2 7 la Ata piu 2 plkdtplxehtplx.cz l 1 1 1 0.5 6 in 9 2 ES 15 un'urna contiene una pallina rossa ed una blu Una pallina viene estratta a caso Se e blu il gioco termina Se e rossa la pallina viene rimessa nell'urna insieme ad un'altra rossa a supponiamo che la procedura sopra descritto venga ripetuta fino ad aver fatto 10 estrazioni 9 alla prima estrazione di una pallina blu se si presenta prima della 10h estrazione Sia X il numero di estrazioni effettuate Determinare la distribuzione di X e X b supponiamo ora che il gioco termini quando compare la prima pallina blu e sia y il numero di estrazioni in questo caso b i determinare la probabilità di attentare almeno in estrazioni prima che il gioco finisca b 2 determinare la prob che il gioco non finisca mai b 3 determinare la olistica di Ye EN RISOLUZIONE µ 00 il gioco termina da rimessa nell'urna assieme ad una alta rossa d Il gioco si ferma dopo 10 estrazioni alla prima estrazione di una pallina blu X numero estrazioni effectuate K 1 10 calcoliamo Pick e PC X K ti Osserviamo che e'una v c discreta con sana e 1 103 Introduciamo gli eventi AK alla K Siena estrazione esce rosso Per calcolare la densità discreta di X dobbiamo distinguere i due casi KC 10 ie estraggo una pallina blu prima della 10h estrazione e il gioco si ferma K 10 ie non estraggo mai la pallina blu e il gioco si ferma alla 10 4 estrazione per KC 10 quei Pixar P Ai nani estraggo la rete L naso divenga si la rossa Ricordiamo ora che sia si d P uno spazio di probabilita e siano eiieiiii.ie 7 Plan Plata Plastarnay pl lAn Aa.dPlaIlArn An i 7 1 I 32 lett f 31 4 K i per K 10 9 Riso Piero Pf an non estraggo mai la pallina blu Plan Planar PIA Ann ao 1 a 10 1 E E 7 Fio Allora Pete Peek È i K 1 9 K 10 10 calcoliamo le ftp.to.a E X È KP.lk IkPxCk t1oPx4o È troll È 1 2.93 b Y numero di estrazioni Y e una v c reale di scelta con Indy NU too b i ci interessa l'evento Y n almeno nesti z prima che il gioco finisca Mil PI Y za Pf Ai Plan Plantari plantare An arabi di effettuare i almeno all n Sima nesti Z estrazione pesco la prima che il blu e il gioco si gioco pulisca ferma n.PL Ye n L h b 2 ci interessa l'evento too il gioco non finisce mai line Ya u allora devo calcolare line Plan fine f 0 hates I Cal Es 16 I punti N realizzati dai Caprica Buccaneers tema in una partita di Pirani'd hanno distribuzione Esame di Poisson di media d Vi propongono di scommettere contro i Caprica Buccaneers alla prossima partita a fronte di una vostra puntata unitaria riceverete Un ricavo Pari a REIGN guadagnando quindi G R 1 a trovare la distribuzione del ricavo R in funzione di 2 b trovare il ricavo atteso in funzione di 2 scommettiamo che la scommessa proposta sia equa c quanti punti a partita segnano mediamente i Caprica Buccaneers d con quale probabilita ottenete il ricavo mai e con quale prob non perderete soldi f qual è il ricavo più probabile RISOLUZIONE Nn PCH Re 73N a Dobbiamo calcolare la distribuzione di R Osserviamo che In CR 7 732 dato che IUCN 0,1 Dunque R e una v c perche funzione misurabile di una v c reale e discreta Possiamo paranctiizzare Inch con KEN ie tre Imer 7 KE IN sit 7 7 ie 7 una corrisp biunivoca IN Iveco K 73 r Palm TIRI PIR PIZg.ve ge PlN K nR ZPl1WErXIwI 3 devono essere elementi di Imu AI e d K Mpla ie tre Im r pag II e dove Kathy 1083 b EIN L reni È II è re Imita usiamo la Carr diunivo tra Iucn e 1N e scriviamo tutto in funzione di K 7 è É testi 7 e è 7 e è È c Dato E N 3 ci chiedono di determinare 7 supponendo che la scommessia sia equa La scommessa e equa se il guadagno atteso è Zero ie D E G E R 1 E RI 1 LEER 1 1 e E R 7 e 2 10871 2.91 ptdbl.ie se la scommessa e equa ÉN 1 con D 1087 d Il ricavo massimo è Re 73 R 7 pinco e e 0.054 7 12 7 37 i Neo 3N c non perdo soldi G20 guadagno positivo PIGIO PCR 21 ftp 7 tPlR Z G R I Ink 7 u n 1 1 dove PCR PIN 1 né 7 12 73 Nel 3 Plaza seta e 10.21 f Ri e à jm à IEaposa valori più probabili di X Sappiamo cfr es 7 che se 2 IN la moda della Poisson e d 2 Poiché il ricavo più probabile e quello corrispondente al punteggio più probabile segue che esso è pari a 7 32 10.777 ma è più probabile che perda se il gioco è equo p G R i O ie guadagno negativo