Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 06

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ESERCITAZIONI 5 6 VA R I A B .t l ALEATORlE TNUEi i 7 come Else L fils ds pieno io II a aounnua 02,1 se te conta con densità t'è f ove derivabile 2 f R IR e densità continua di una prob P I f misura fiutegli f 70 flxidx 1 si j 1 Oss operativamente se è uno v c continua con densità f o.II.fi I I Ini si a EH xfactor Es 1 si consideri lo spazio di probabilità dica P CIR BUR f dove Lo LCBnco.tl ai V BE BIR e Lei la misura di Lebesgue su BCE si considerino inoltre le funzioni X Y Z RER IR definite sull intervallo 0,1 nel seguente modo Nuit fu Yu l e Zico lagni ne 6,1 Per quanto riguarda il valore di X Y 2 su Rico 1 si sa solamente che XYZ Sono costanti su tale insieme a mostrare che Z sono v e ben chef 9 c b determinare le distribuzioni di X Y Z mostrando in particolare che si tratta di v c continue c calcolare la densità di prob di X Y Z d calcolare E di X Y Z E esibire un altra v c E con la stessa legge di X ma definita su un altro sp di prob sì AT P RISOLUZIONECA Ricordiamo che X si 7 f e E è una v c Se si i Osserviamo innanzitutto che a in co 1 le funzioni X Y Z sono ben definite e continue XY Z iCIR Bla CIR BCR sono torchiano misurabili Inoltre PILO 1 Laico 1 1 a Dato che cade 0 NON ci interessa come sono fonte XY Z su CO 1 perche questo intervallo la misura nulla concludiamo quindi che X Y Z sono v c reali ben definite q su 112 I ie so 12 tranne al più un insieme di misura nulla che innesto caso e 0,1 b calcoliamo le funzioni di ripartizione it ba osserviamo che INCH 1 10 a dunque se ad FxltliePlXEtl opeitE1 nPldseiR.X Et a Per t 1 abbiano invece EHI PIX Et Lo SER XII t Lo Et Lo Sat Lo too f Ll tanto d CHÉ 1 1 Laici LCBnlo.it foss da qui si vede che Te tu to nlo.de Abbiamo dunque che ie EH E se tu se te f a Dato che TI c Con concludiamo che Xe Una v c continua b 2 abbiamo In e 11 to dunque F Lt 0 kt E 1 per t 1 Fitti Pl Ye t Lo fg Et Lai S Zeta Lai fatto Ll fa to n 0,1 2K D 1 Quindi Filt f lupo e come sopra abbiamo che Y e un_v c continua b 3 osserviamo che In CZ ao o µa allora Felt PIZ E E 1 se t 20 Per te o Fz G P 2 E t Lo log set s set et Lo C co e e Lila et NO D f 240 eh et a ossi ie settato il 0 se o tela t per te o cretino 1 IO et se too per l 70 I Felt E siccome Fz E Cosà come sopra deduciamo che 2 e'una v c continua c Per calcolare la densità di probabilita deii'video a trani fitti fa lei a ti fyltt 1e.w.pt fzltketh.o.fi d Ricordiamo che i t.ie i s is can EIN sffsids ffs.zds fjds loq.SE In X 1 a too ie E XI too d 2 EIYI _fiosfylsIds 2fto1sadse ZsfIe2 dEIZJ _f.j sfzcsids.f.o.se ds 1 ie come misura consideriamo e consideriamo proprio la legge di a Cà E F R BURI Pi e Hut ut Illa id Il b Ica fila da f cachet Oss con questa misura pt su 42 Bur abbiamo che è X Infatti Felt Fleet P SER t.li Et pt set pt 4 o ti f È fila di 1 ma questa è anche abbiamo allora Filt Felt Ict ft ie In X ES 2 Data una v c reale continua X con densità f simmetrica rispetto a MEIR si mostri che a µ e una mediana b se E 1111 ciao allora µ E X Risoluzione a Ricordiamo che mi è una mediana quantile di ordine z se PlXEmZtzPixanIazeePlxej z Mostiiounochevalet0 S io MER abbiamo in ne PIX en f fin da f fila Nitidi e gix.NO X ha densità f Oss fe simmetrica rispetto a µ gli finite e simmetrica in µ fa gia alza rispetto asse ordinate 2 x p di da Ora fa una dens di prob g e una dens prob quindi guida 1 Dato che g è pari f of glxidx.sn jglxidx LI guidi Quindi Pirenei guidi s m Meo me µ ie µ e una mediana fosse La mediana può non essere unica see Es 21 b EHI La xcwidplud fpxfbddxjfjsegcx mdse fcxi fcx qli.pe glx µ if GH 9919 yjyiqjtft.IE dY iy a mdy dx pari dispariti ie Etti p 0 5 3 DISTRIBUZIONE DI CAUCHY Data una v c di Cloudy X con densità fise 1 Tisica a a e 12 si calcolino e a la mediana b EIN a lei E XI Risoluzione a Per calcolare la mediana di usiamo ES 2 a io Osserviamo che f e simmetrica rispetto ad a questo lo si può facilmente verificare introducendo di giri finta e mostrando che g e una funzione pari se abbiamo allora immediatamente see es 2a che la mediana di X è sospetto data la b Ricordiamo che i forma di fx mi XEUseh.IN ctT viene il dubbio die afta non sia integrato Abbiamo Ethel falsifica C da to ti ITL1 te ah Inoltre s si dimostra 1 non inteoiabile che 1 1 Q co EIXtf.EU to È FOSSA compare wit Es 2 c EHI fi a II dire 1IT co f 1 1 di to auto too 1T X2 ti ie il momento secondo 7 e ha valore too Ossia La peculiarità della disti di Cauchy e che ETA e altri momenti da Cauchy disti ricorda la dista normale ma aditte di questo le sue code pesanti decadono più lentate s 5 DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE sia X Ela variabile esponenziale di Parametro a 0 ie con densità fin pe da fio a a sette a calcolare la moda di X b E Vai f Fx d proprieta di assenza di memoria mostrare che PIX steli s PIX t test 0 inventare il risultato ottenuto in d ie set e una v c reale stretta positiva te PIT stai s PIT f test 0 allora Tu EH con log PIT 1 RISOLUZIONE Filt 0 Inviata per te o EHI P XEtl fjfxlxldx.pt acida e 0 E e se lo 1 e at File µ C 41 io It b per calcolare EIN utilizziamo il seguente risultato see es 4 Data X v c positiva e cannava denotata con Te la sua funzione di ripartizione si ha ftp.t cxlldx Allora EHI L Fendi l e di effe foto FIN G e e fa It e se Xv Ela Élite Va r i e La densità sponenziale e l'analogo continuo della densità geometrica Supponiamo di avere un apparecchio non soggetto ad usura ed inizialmente funzionante ma che si può guastare per motivi contingenti sia T l'istante in cui l'apparecchio si guasta La prof che l'apparecchio sia ancora funzionante dopo t secondi è PCT tl Quindi se te 0 allora 1pct t 1 supponiamo ora E 0 Osserviamo che se l'apparecchio è funzionante al tempo 5 o allora la prob che l'apparecchi sia ancora funzionante dopo E secondi ie al tempo Stt e PIT ste Infatti per l'assenza di usura la prob che l'apparecchio non si guasti nell intervallo di tempo s Stt se l'apparecchio funziona al tempo S e uguale alla proto che l'apparecchio non si guasti in 0 it i e PI T steli D PIT e Es 9 a Dati Un ciclo 1 e 2 si mostri che X la log co Ela O se co un Ulan ie Fuentes IIII A fulse o se co i_ 1 se osa ci 0 se x2 1 calcoliamo la funzione di ripartizione di X txctl PIXEtl PI.jloglulety.IT Uze dt farci saltar fuori U exp fune crescente 1 PIU e tt 1 Full at È a te see aIIe E e that 1 se e at 21 too ie Xi Eca Oss Morde dell'esercizio a mostra la possibilità di rappresentare una v c esponenziale come una trasformazione di Una v c MIO 1 mediante funzione di 1 ripartizione stessa una conseguenza di questo risultato e che per generare una v c E d è suficiente generare Un UCO 1 cosa fatta nei linguaggi di programmazione e poi calcolare la logli c ci mostra che per generare una qualunque v e continua X avente funzione di ripartizione F invertibile possiamo procedere a generare Un MIO 1 e fare la trasformazione F v Es sia X una v c non negativa con densità di probabilità filate Hae per zero O seco a determinare i possibili valori della costante AER b determinare il tasso di fallimento di X c determinare la legge di X e riconoscerla d calcolare media e varianza di e e calcolare left f stabile per quali AER si ha Ye X'Eli RISOLUZIONE a I f e ben definita se 770 e in tal caso fai una funzione misurabile f zo a O fluida se 21 e da e 1 ie f soddisfa tutte le proprieta richiesta per essere una densità di probabilità per 7 0 b Nell Es si dimostra che il tasso di fallimento di una v c X e pari a HAI fi t o 1 Filt Per calcolare Axl determiniamo innanzitutto la funzione di ripartizione Fxltli PLXEH fjf.ir dze ff21e da e 1 e n Eh i e Allora hai at a foss ci dice che se e un tempo d'attesa a l'intensità di arrivo di un nuovo evento cresce linearmente in tempo c X2 ha con hl.li pt ie data una v c con densità di probabilita noto siamo interessati a capire come è distribuita UN no sappiamo che nel caso di una v c continua la legge di X è caratterizzata da Fic a fil quindi vogliamo esplicitare fiato o fa lo i Sia HEIR fin 0 e supponiamo he l'Cs con ivi M'Cn 0 Allora definita 4 Nx si ha che 1 nè invertibile in 5 ie detto i 2 Y e v c con densità fylgt ffoxcglyhlg.ly yehCs attrice Ss Nel caso 1 olive che consideriamo qui spesso e e molto più veloce passare dalla funzione di ripartizione per calcolare la legge d UH Questo risultato sarà invece fondamentale nel caso d dimensionale d i ie nel caso di vettori casuali in Mesto caso non abbiamo una funzione di ripartizione per la dimostrazione see e g.JP cor 11.3 E Per calcolare franco possiamo usare la Proposition Sopra perche li soddisfa le ipotesi infatti S supp Co ao he misurabile e necks d'CN se O on S o too Allora 7 g his R g li dove his 46 a 0,0 e getto io Va 0,00 o co CIR si Fa e abbiamo gelato e gl 9 f tingly h 2kg n Dato che tutte le ipotesi della proposizione sono verificate oteniamo immediatati che Y X2 e una v e con densità 9 19 g l gelo a attrici e I GIA se y o 0 se YEO ie frigie Ico g ie Yu Elf d Per calcolare media e varianza di UN e possiamo procedere in diversi modi usando la definizione esercizio pdcasaie.E hldl.ie fhlxNwIdPlw e nniseidPYse formula astratto concreto P feb him fise da ie I con un conto analogo si scrive anche Va r n a EIX.EE NOTI usando la proposizione vista sopra e la definizione di te Va r percio Zia ha e_ n si verificano le ipotesi della Proposizione e si determina fz E ZI fazlwidplutef.az dieta e 2 fetida In maniera simile si calcola Va r a pif da non sottovalutare nel caso 1 dim spesso è il metodo più veloce calcoliamo la funzione di ripartizione di 2 UH Nate e Osserviamo che Intl 0,01 Ime 0,1 1 1 TÈ se In particolare se 2 so fzlzli PIZ.cz 0 evento nudo a se 771 Fz Z PIZ E Z 1 evento certo a se Zelo 1 allora Felzi PI ZEE p e È z È E HAI e l'idea e farci saltar fuori la X nel membro di sinistra perche di X e nota la fune di ripait e EZ luce e KE In funzione crescente XI e ln E z glue È PIA 7 senza PLY z alare in questo caso sfruttiamo pt c ie sappiamo la legge di Y Xin Elf 1 Piya_altre 1 Fyi denti 1 f e enel Yo u EHI I ffzc.tt zia Fyly 1 e a funzione dens con ie abbiamo che µ fzlzt I o.it Felze se E C A rècita io E se 0 E 7 E 1 ENNIO 1 1 se 2 si Diventa allora immediato calcolare IEEE Va i l Infant da si ha immediatamente che fzlzi I o.ph e quindi ÈH zdz.fzvatzt.EE E zJ f z fz.IEIzY f dz f LE Rs t Y X Eli Ye l i ENYA sta oq.ci to Nidi frlkldpefzif.la dxctoo 0 n fotosafari seat e da too 2 in condizione che mi garantisce l'integrato in zero Es 6 DISTRIBUZIONE GAMMA Si consideri Xv Pca d v c di distribuzione Gamma di parametri 0 e 7 0 Si ha quindi fiale d e filo a Mai dove t'è la funzione gamma definita da Mal c fa e ott fa o si ricordi che Nathan then MI it a si verifichi che f e una densità di probabilita b si calcolino le mode di f c si calcolino i momenti lett ke 2 atti 0 la varianza var X d Dato c o si mostri che Ye a h No e per ha HEIN si determini la relazio tra i punti percentuali di una TIE a e quelli di una 1241 t it RISOLUZIONE c sia ke 2 5 t Ktx O fissato Dobbiamo calcolare le X µ lwldplwlef.gr flat da 7 Flat e an da n Per calcolare questo integrale il trucco sta nel far apparire ogni volta il nucleo della fine la densità f a meno di costanti i e 1 Fiat e an da Io È È 1 perche l'integrando e la densità di prob di una Plath I that ftp.ilatdara Mai Hak Platte Platte 1 ti tk il Mattei tk i lati atta itero i e Ef XI Catti icati A te Per la varianza abbiamo Va r i ENI Ethel canta I tetti.cat aEIxP I K 2 in k 1 d e o n Y cinta K Calcoliamo la funzione di ripartizione di Y Siccome e so e X O 9 c abbiamo che Y 9 c allora a se teofyltl PIYE.tl O a se tsofyltl PIYETI plcxs.tl pixel Fatte Osserviamo ora che fa eco IE C'CO.co allora fyltt FILEI fxltd.ie Ig e e e.ae Quindi fyli.ie I t e at fio 41 ie Ye a h Pla C Ricordiamo che IITIIIIYNea.aaiuea.U fa.to a 72 KEN Relazione tra po di Mhz 7 e Cn TE E Dal goto d sappiamo che se Xv SCI d allora 1 2111 TIZIE t'Cn Allora fissati new a 0 detti fa e fa i pt permeati di X e Y si ha plyzx.at Planato PINTI 4 2111 Pto perenne te 7 Yo II di a Yo r k tini pt percentile di xntlI.tl Es 7 DISTRIBUZIONE NORMALE Gaussiana Sia in NINTH a si calcolino E XI var b si esprimano ipunti percentuali Ca di X in funzione di quelli di una normale standard Si consideri la legge lagnarmale di parametri Il Tr o v v e r o Y e c calcolare la distribuzione della v c Y i momenti ossia E 4k KEI e la varianza d si calcoli Eliel si consideri 2 ridico 1 e calcolare la distribuzione della v e Z f calcolare la legge della v e El Elite Va i 171 e i guanti g si calcoli E 2 4 e Eletta ten Risoluzione Ricordiamocene la densità di una v c gaussiana tricky 02 con m a iI li 0 is u n X µ 9 c a od per calcolare la media di X ci ricordiamo dell'esercizio 2 la densità gaussiana fx è simmetrica rispetto a µ Segue subito che Élite µ 1 Potremmo calcolare direttamente vai usando la definizione vediamo lui un procedimento che richiede meno conti e che sfrutta le proprietà della varianza mostriamo prima che la v c Z dito 1 per dimostrare questa cosa usiamo la formula per calcolo di densità vista nell Es 12 RER fila o supplii IR sia litri c 7 le soddisfa le ipotesi della proposizione infant he misurabile heller e lila o tre R Allora f q li R R definita come glzt.tt µ e allora la densità di probabilità della v c Z e data da T KIRI È e µ fzlzlefxlglz.tt gite per te sene i e felzi 1 Si può calcolare senza troppi conti esercizio per casa integrare per parti che Va r i a EI 2711 since È a questo punto per calcolare Va i l sfruttiamo le proprietà della varianza io ì Abbiamo allora Va r a Va r i e t y Va r i sta c Esercizio per caso Hint possiamo calcolare la densità della v c Ye usando la Proposizione nell es 12 sia him e Allora li soddisfa le ipotesi della proposizione infatti he misurabile C 5 C'CR e M a O Haas Notiamo che ha o too abbiano allora che gg li lucy gilyl fg yehlsleudefylyl.fi lnlyYfg1ka oacy per calcolare i momenti si puo procedere come nel pt d fossi In particolare otteniamo È c varate è D d Facciamo delle considerazioni simili al punto la fin dove possibile cerchiamo di semplificarci i conti usando Zullo 1 e la linearità di te Dobbiamo calcolare E X Ricordano che Katz µ con Z WCO.it scriviamo c X è GZ g eretti Zeiten µ Et e tè terze µ Allora sfruttando la linearità di E abbiamo EIXEI.IE oe7ettqeY oeEIzetYtrEteY µ piace e più facile da calcolare rispetto a E Xl abbiamo ÈZè faziudertuidipico zetfzlzidzj fzetze eadz.fr per calcolarci l'integrale cerchiamo 2M O di riscriverci l'integrato Z WLO.nl in modo da far comparire fzlzt.ee È una densità gaussiana 1 z città daje 2nF cz.tt è z E 7 dz IÀ WIT 1 µ è ELMI tè Quindi EIXEY teme zezfi.ge IexI oaehtttpeEtn i l EIXEY.HN e Zuma i Wir Zan Oss In questo caso non possiamo usare la F Proposizione dell'Es 12 ma perche Calcoliamo la funzione di ripartizione di W Osserviamo innanzitutto che W zo 9 c pertanto per te 0 twitt O per too folti e PI WEE e PIZ'st p freeze ft Ict fzl.tt e Tw i t t Felt FEI Fi Poiche fz è continua su IR Fe e derivabile su R e quindi otteniamo folti Fe htt I't t ftp.fzlttljfefzl.tt fette felt perche fece simmetrica fitta è je since Zitto LÌ È e It È ie Otteniamo twitter.to l'tho IH con Katz ie Nazareth 121 74 1 Es 25 Aldo possiede un vecchio cronometro che una tema volta avviato si arresta dopo un tempo casual Esame X che si può considerare una v c esponente dei media 10 minuti 1 dopo aver fatto partire il cronometro Aldo evita di guardarlo per 5 minuti al termine dei quali lo osserva e annota l'ora indicato Y Tr o v a r e la legge di Y 2 Y è una v e discreta continua 3 Aldo gioca contro Bruno nel modo seguenti se al momento dell'arresto del cronometro il numero di minuti interamente trascorsi e un numero pari allora vince Aldo e.g Xe 2.5 O 0.3 se invece e'disperi allora vince Bruno e g X 5 O X 7. 4 Calcolare la probabilità d vittoria per Aldo RISOLUZIONI X tempo a cui si arresta il cronometro tu Ecd con 7 EHI n se il cronometro si arresta prima che siano trascorsi i 5 minuti allora osservo X attriti Osservo 5 quindi Ye min Xp E Io SI 9 c Calcoliamo la funzione di ripartizione di X a se too allora Fylde PIKE 0 se ti 5 allora fila DI Ye t e 1 se te 6,5 allora KEN Fyltleplktt plmincx.ro etIjlPlXeH se te 0,51 min X 5 5 minh 5 X ii sexes 5 se XD si e ay Quindi Fy se yo 4 1 e 1 se 0 Eyes se 475 I Fly a joy La v c Y NON e discreto perchè Fy non e costante a trani non è nemmeno continua perchè PLY 5 Feels fils 1 de 5 0 c sia V l'evento Aldo vince UNE 2h senti h 0 Allora PIU PIÈ Xe 242mi È PIXEL 24 anti È tanti_Filanti n a 4 e than HELD È 1 e Kant a e an È 2in e denti la e l le l 4 e il serie geop.de quindi PIU 1 e Yo 1 e Es Data la funzione f IR IR definita come o se seco ossea'z fini 2 1 E a 1 c dimostrare che fa una funzione di densità di probabilita d Determinare la funzione di ripartizione F avente f come funzione di densità di probable Risoluzione c Rappresentiamo graficamente f t È 1 2 3 f è una densità di probabilita se al t misurabile b fix zo ti zo c fatta da 1 b immediate da verificare c si può facilmente verificare 1 faida It È area sottesa a area fan Eli 31 sottesa a area fan telo sottesa a fan xelz.it d Ricordiamo che la funzione di ripartizione F associata ad una densità di probabilita f e definita come FLN f faida Allora a se co Ftse O a se assesta Fca fb Ids Eds 22 se tra FINI fisici f joist s Dds I t s s X X t È se 1 E RC 3 FERIE fishes È Ids t Es Dds t Eds t If fette se 73 FIX fishes È Ids t Es Dds t 3 fa I ds 1 ie t.me È c Xt se E se ci tè se 1 E e 3 1 se 23 GOL Osservano che la funzione di ripartizione FE Cochin ETR iii consideriamo lo spazio di probabilita 9,7 P con Rip 7 BUR e P definita a partire da f ie Il.co bD f fla daV b o se allora consideriamo R Bari p R Bari io la v c identita W Xlii su questo FP abbiamo che Pda fise Infarti Pixar e PILGER Kyle se PI d a Ti ii I Final fffialdr Ica Oss Questo esercizio mostra come v c reali F CONTINUE possano ammettere anche densità di probabilita DISCONTINUE