Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 07

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4 siano Xp Xu v c indipendenti con funzioni di ripartizione Fx Fini a qual è la funzione di ripartizione di Xin max Xi Xu Osserviamo innanzitutto che mai 112 112 Xi XD A MAXIM Ra quindi l oggetto Xiu sarà una v c unidimensi Allora fissato te R Fatti e pitoni Et Il Ket Kit Keel Xi sono Xin Et s Xi Et Vin tn indipendenti Pinot Planet Fatti tutti ie fxmltl IIFx.lt b qual è la funzione di ripartizione di Xu e mini Xi in Per il minimo di v c conviene calcolare fissato TER n PIN tl Phish punt IT 1 tilt Xu t Xi t V i n.in quindi Fatti Pinned 1 PIKA Ha 1 ÈH Fatti io Ht 1 Ìl Fritti c Me ninna Xs e 5 4 1 7 sono indipendenti Osserviamo che te s sono v c unidimensionali Ricordiamo che e i feb XIX fine gl 4 t fig misurabile Grazie a abbiamo immediata che MHS Infatti i vettori X2 XD e IX Na sono indipendenti per ipotesi fila XD ninth XD I g Xi tale Ktla Le v c Xiii Xin sono indipendenti si consideri ad esempio il caso ne 2 e Xi X2 V c i i d Btp pelo 1 d come sono distribuite Xiii Kai e Xu e Xia sono indipendenti d si potrebbero usare i ph ca e b ma in questo caso possiamo osservare subito che Xu e Kr sono v c discrete con Imitate Ittiri 0,1 Possiamo calcolare facilmente la loro densità discreta 1 pm 111 Xu 1 PIK 1 Xvi Phra Pur 11 I 1 Xii e min Xi X2 Xian s Xa X2 1 Paid Pulsi p e Kirk p Raider Raisi 1 pa ii Ying I Raid Plied Pirro o Pikes PIED D email Xp XD Xi p p Katz j G pp truth p e People 1 Panicale 1 11PM ie Ya n Bla G pt c Xu Hai Consideriamo ad esempio P Xin 1 Kai 1 PIKE 1 K 1 pa Il Xii 1 PIK 1 pa 1 4 pp fisco un perito elettrotecnico deve costruire un sistema costituito da 3 componenti in serie egli pesca i 3 componenti da una scatola in cui vi sono 3 componenti nuovi due usati ma funzionanti e due difettosi siano numero di componenti nuovi F numero di componenti usati ma funzionanti tra quelli pescati dalla scatola a determinare la legge congiunta di Xe Y e le leggi marginali Ricordiamo che i riff sia la A p uno spazio di probabilita KYI la A DI R BURN e ÈTERE X Y sono v c reali ILY La LEGGE di un vettore aleatorio è la misura di probabilità su api polpi data da i f pee ie i X y discreto e Xe Y discreta passa Nel caso discreto possiamo ricavarci le leggi marginali come pxlnt ZR.yla.gl yc a Osserviamo che le v e X Y sono DISCRETE con immagini rispettivamente In X e 0 1,2 3 In 4 0,1 2 Siano Px In X 0,11 Py In Y 0,1 le rispettive densità discrete e Ry In Xx Int 0,17 la densità congiunta ai t Possiamo ma non dobbiamo per forza pensare a s come Sky calcoliamo direttamente toni i possibili valori per la densità congiunta e poi sommiamo come specificato in per ottenere le marginali Per tenere traccia di toni i possibili casi può essere unte compilare una tabella del tipo 0 1 2 TI O 0 2 35 2 35 4 35 ÉÉÈ 3 135 0 0 135 Py 1 52 5 Fogg 1 I CHECK È Px Pye 1 YESypxylo.de Pino 4 0 Pio 0 Xeon Ye o e impossibile perche anche ammettendo di aver pescato i due elementi difettosi devo comunque pescare almeno 0 un elemento nuovo FI O uno difettoso ma fuma Ye t tutti i possibili modi in 0 eleni i È Ì si IE sin I gli altri 2 elementi che pesco solo per forza difettosi pxdo.sn Pireo 4 2 E f 35 Raylan Pixel e 11 f f 1 I f 35 In questo modo calcoliamo tutte le probabilità congiunta di XY ma compiliamo la parte interna della tabella scritto in nero Ess calcolare Pay su In Xx Int c basta per caratterizzare completati la probabilità congiunta di NY Possiamo a questo punto calcolate facilmente la densità marginale parte in blu della tabella Basta ricordare che pxki yfsypx.ca g px.yln.gl tre yefo.IR 0,1 2,3 Ad esempio Pirlo y Y 0,9 pxylqoltpxylo.it Palo 2 Pixel 0 73Gt 235 In questo modo determiniamo le marginali Px e Py ma dato che X Y sono discrete per caratterizzare la loro densità di prob e sufficiente dire come si comportano sugli atomi b Le variabili X Y sono indipendenti Ricordiamo che i XIYsePCXEa.YEBI PCXEAlPCYEBI VzA.BEBlR i ci basta per concludere che X Y ma anche in questo caso la tabella ci torna in aiuto per trovare facilmente due eventi yea YE B per cui non vale Ad esempio basta considerare gli eventi 4 0 e Geo PI X 0 4 0 Pireo Plea 7 6,0 Pirlo pylo 435 È Is 0 concludiamo che X Y c calcolare EID EHI E XD Scrivere la matrice varianza di CKY e determinare pay Ricordiamoceli Il valore attesa di un vettore aleatorio e il vettore dei valori attesi delle v c se Ye E si definiscono i seguenti cocky E K ECM EED EHI EINEN varcxn.fi 1 dn s.W m ù µ Etnie fecondino fidei f formula X v c discreta i e astratto concreto la sua legge immagine 3 e discreta kpxlkt ZKP.lk KE 0 vedi 0,1 2,3 tabella 17,4 t 21212 t 37 91 jst Esistesse 97 È Analogamente si calcola EIYI.ee kPyckt aotssI GmfEtd G Resta da calcolare E XY Oss sappiamo che d x Ye t i Y X Ye t i e EIxyj EIXIE.LY ma Dato che abbiamo mostrato sopra alle X Y NON possiamo calcolare ECHI come E XIE a priori quindi per calcolare E xD dovremmo conoscere la distribuzione della nuova v c E XY e calcolare EIZJejszkpz.lk szkPlZek Dato pero che 2 e un prodotto possiamo evitare di calcolarci pzCKIV KE.SE facendo alcune osservazioni 1 Inez 0,1 6 2 Riguardiamo la tabella 0 1 2 TI questi eventi 0 52 354 35 sono del tipo f È contributo nullo 3 1 35 0 0 1 35 calcolo della media di E XY p 1 52 5 5 1 E XY 2 KIPCHAK 0 Pireo KIPCHAK neh 4 Kesa irrilevante 91 6 perchè tanto poi moltiplico per Zero me e l'evento 2 4 03 corrisponde alla parte sulla tabe 3 Nel calcolo di ENI sono rilevanti gli eventi del tipo XY 0 Xii 7. 1 U X 1 230 ufx 3 KZ Osserviamo poi che gli eventi che formano tale unione disgiunto aventi probabilità strettamente Positiva sono f 1,4 13 x 1,4 2 e X 2 Ye n n Quindi i XY 1 P Kr Ye n t 2191 1,4 21 2119 1,4 1 87 n Calcoliamo ora la matrice varianza paresercizio Va rc h e r a i a Carlini E XY EHI EHI 5 4 Va r 2 9 hg 2 9 Px Cav X Y 124g If d calcolare la legge il valore atteso e la varianza di componenti pescati funzionanti siamo interessati alla v c infant X e Y rappresentano gli elementi funzionanti Dato che peschiamo 3 componenti ed è certo che almeno uno di questi sara funzionante perche i difettosi sono solo due e noi ne peschiamo 3 avremo In S 1,2 3 s v c discreta per calcolare la legge di S ci basta quindi determinare psg Pls K per K 133 Ps4 P 1 pkx o.ee u x 1Y o Unione 5 14 1 disgiunto 4 0 yen OLE 4 0 PAX 0,4 1 t PIA 1,4 0 e pxyco.pt Pay no E Igt 75 tabella Ps Pls L PIX 2 9 0 PIX 0 7 2 tplx I.Y D S xty.se Pay 20 t Roy 192 TE 11,1 X 2,4 0 01 0,4 2 6 x i y Est 5 eventi disgiunti BB Pls 3 37 2 7 35 Abbiamo così determinato la legge di S Ets Kpsck sto E 35 7 KE 473 per esercizio 5 801 90 225 20 parts Elsa Ets e 35 Tg Fg e calcolare la probabilità che l'apparecchio funzioni Altivole l'apparecchio funzioni devo pescare 3 elementi funzionanti questo perche µ componenti sono in serie n Pls 3 Psi Zz LES 11 siano Tr T2 v c indipendenti di legge geometric di parametro rispettivamente pe Pz con cui a tempo discreto si descrive la durata aleatoria dei due apparecchiature a scrivere la legge congiunta di Te e Te Ti Gip Pickle Petre K p a Kei 2 Tr a Gcpd Ricordiamo che te Ta rappresentano l'istante in cui l'apparecchiatura NON soggetta ad usura si guasta a Ti e Te sono indipendenti per calcolare la densità congiunta basta fare il prodotto Pl tale a xD PCI c A Pita EB 1 V a.BE BCR legge congiunta Tr i t t Siccome Tn Ta sono v c discrete Ct Ta sara un vettore discreto quindi per determinare la legge congiunta di trita ci basta determinare la sua densità discreta Pista duct In Ctz 0,1 il 1 2 2 i e ci basta determinare Pinta Kid PICtn.td CK.gl K K Jedi Abbiamo fissati CK J e 12 t.IT ftp.tzlk.J PIC trita KID p Tn K Te J É PII e K 1pct j Picard pala Pat Tr u gcpdtz gcpzl fpt.tzck.Y pnh RY.iq n PaF'V ke1n b calcolare la probabilità degli eventi ft ta e ft Te I PC trita DI wed Tr i o Ta c c o Osserviamo che Tn Ta È Tr e k Tr e k scriviamo l'evento in questo modo perche cosi possiamo sfruttare le informazioni che abbiamo ie Ti gepi Ta n g Pz e Tr Ita a noia Pittata P Tr e k Tr e k ÌL PITRE k Tr e k eventi disgiunti È FÈ È piena di Pd papa 24 pala pad j papa 1 te o 1 1 Pdci Pz pelle Pdci ma serie glam Pitta Papà pitp_pp PI Tn Ztl PC wed Tr i n i 2 Ta l u n T2 A iter Ta s t i co tasti U Il Tr e k Tr e k Kei adora eventi disgiunti PITI E Tn P Tr e k Tr e k e È P Tr e k tre E È Piton Peter È Pete e K Falk f vedi esercitazione 4 Fatti 1 n pe htt 1g IH as p In pi r G pz le µ Pi K i_ftp.lk C.pdk poi È 4 A k.pe Ia Pdk il paY net fFC Chat a ii pad 1 G Pi 4 Pa 1 Propata Pa papa Pr Pa Papa PI ta ta Papa Pa Papa c Tr o v a r e la legge della durata del sistema composto dalle due apparecchiature collegate in serie Se le due apparecchiature sono collegate in serie basta che se ne rompa solo una pliche l'apparecchio sincera di funzionare Chiamo S istante di guasto dell apparecchio complessivo 5 min Tn Ta l'istante in cui l'apparecchio complessivo si guasta e l'istante in cui si rompe la prima tra la componente dobbiamo quindi 1 e la componente 2 calcolare la legge di S In Cs 1,2 s discreta dobbiamo calcolare la densità discreta Ps K HK e 1,2 Fissiamo K C IN Pecs PCS K Pliniultata K min Tn Ta Ti se ti e T2 T2 se trati Tr a T2 se ti D PC Tr e k testa U Ta e k tra u Ta K Tr Ta PI Tr e k task t PI Tr e k Ta s k tip Tr e k Tr e k P Tr e k pita K tpcta KIPIT.sk tPlTn kIPlTz K dip p In a a Felici tpzlr.pe 1 Falk t pdi.pe pace papa peli Pd 1 Pz pdi pdkici.pjktppzh.pe 4 Pd 1 Pd t prl p 1 Pz pala Pi Papi e Pat Pz Papa 1 pitta Papa ie Su ftp.tpz prpd d Tr o v a r e la legge del sistema composto dalle due apparecchiature collegate in parallelo Di questo caso lo strumento si guasta con appena entrambe le apparecchiature smettono di funzionare chiamiamo P istante di guasto dell apparecchio complessivo Allora Pentax Cts te dobbiamo quindi ln calcolare la legge di P In 1,2 P discreta possiamo calcolare la densità di prob di P in maniera simile a quanto tanto per s ma esercizio per casa calcoliamo qui la funzione di ripartizione di P se tai Fp Itt e PIPE t o_O se tra Fp Lt P Pet Pluraxitatelet pktnettnctzetl maxltr.IT et Tn Et Ta Et jpltrettpltre.tl µ g pjltiffhi.pl Tr i t a t a Ta n g e r i fossil Notare che tu Gcpd da es 4 sapevamo ie gia che IHI 1 A patti 1 a.pe lti 1 o glH.FplHeIlt Ftzl e Tr o v a r e la legge congiunta di Ue minchiata e mai Tn Ta U v e un vettore aleatorio discreto l dato che le sue la sua legge è discreto componenti sono v c Notiamo infatti che In UNI e IN Al Per determinare la legge congiunta di CH Y dobbiamo quindi determinare la densità discreta Pu S ANN 0,1 cit Paulus Per calcolare ponti g ttf J Edith sfruttiamo la relazione che crei tra U ev ie U min Tn Ta Ve mail.TN Possono quindi verificarsi 3 casi i j c.IN pu.vli.it pl v li i PIU i V il PCmiuct.tzt.ci ma xltz.tn i PI t.ci tre i ftp.talcii papali prl I pa a 2 icjc.IN Punti g e PIU i V jt plminltn.to i maXltnTdeJD PHn i ta j tPlj j Tz i I semiultritateti se mia lti.tzletremaxltn.TN T2 maxitati ti ftp.tzliiJ tPtntzlJii f papali Pn f pa papa G a f Pr papa la 4 papa 4 Pi Di 3 i JEN Punti g PIU i Kj Pluviali.tl i mail.tk Rcd O vetrini g p Quindi la densità discreta congiunta di V e la seguente V EDE.int N qyCi jI RPal1 PnYi papà pjpafi p.li la Patti q p.lt page i J f trovare la legge congiunta di U e We V u Ue min Tn Ta ve Max trita Osserviamo subito che W 20 n IWW 0,1 g c W v c discreta Possiamo determinare la densità congiunta di v W come segue fissati c'EN je 0,1 Punici g PUO w D PIU ci We J PIU _i V u.gl W kU PIU ei V c g Po li its Abbiamo quindi punici l'Pa credi g o pipa n pi la pali Il RY th pals i EIN altrimenti 0 g Tr o v a r e la legge di We U v Possiamo ricavarci la marginale Pw dalla densità congiunta po.ru a Pi g o pulp Punti g Path Papa e pfpf.pe k RPth PaPIJEiN O alti in Putte PIWejt pllw.IN ueiN PKw J fatec evento certo PIW j.u.it I punti J i b Ue W sono indipendenti Ue min ltr.TN We v u con le mariti Ta Abbiamo trovato la densità discreta pulci Pat Pz Papa 1 ftp Papa Puig ÌÌ o pittar Il Pitt 4 Pap jedi O alti in Punici l'Pa c ew g o pipa 1 p la pali Il RY th pals i EIN altrimenti 0 Osserviamo che le densità discrete fautorizzano verificare questo basta per concludere che U W sono indipendenti Es 15 si consideri l'estrazione di n pallina da un'urna contenente 8 palline bianche e R palline rosse 1871 R 71 Sia Xk la v c beonouiliana che indica se alla K Sima estrazione esce una pallina Cos c sia y È XK il numero di palline rosse sulle m estratte si risponda ai seguenti quesiti sia nel caso con reinnissione sia nel caso senza rimissione in quest'ultimo caso 4 ED R a 0cal è la legge di Y b II Xie HK c E Y d Xk sono 1 e Ye n sono 1 f calcolare calk.kz g calcolare varie per me 2 Risoluzione Xk alla K Sima estasi esce una pallina rossa Y È numero palline rosse estraete in u esta Pss supponiamo sempre la probabilitaiuuifoime_ Deu7 Ek pallina rossa alla K Sima asnaz.is Xk Ieri E 0 1 9 c.tt Ken h ESTRAZIONI CON REIMMISSIONE Ken u Xk cd ca P R BUR Xk lui percio o se WHEN 1 se WEEK che informazioni abbiamo sulle v c Xk no sullo spazio campionario consideriamo la prob uniforme ie supponiamo che i possibili esiti dell esperire aleatorio siano equiprobabili Allora vedi Foglio 2 es 10.1 b sappiamo che le estrazioni sono tra loro indipendenti e per ciascuna di esse gli esiti sono equiprobabili questa informazione tradotta in termini delle Xie ci dice Xk V c indipendenti infatti so che en En fan di eventi 1 Per del di Xie Keefer si verifica facilmente che V k g fa BE Bar PLXKEAXjEBI PLX.ca PlX EB Xk sono identicamente distribuite Bcp V k n.in con Rilke L p RTB n i.ci Xn Xni a.BCPI in a Y Xk c In Y 0 h Y v c discreta calcoliamo la densità discreta di Y vedi anche taglio 4 Pyle PLY a PIÈ Xi 0 e Pf Xiao È PI Xiao ci p ind Xin Bip 7, 4 Plan P È Xi 1 Pl Xi 1 Keo Xiao t PIX O Xiii Xiao t int PI 0 in Xie n Plied II Pixie a repli p i Foglio 4 si aniene i n PH klefffpkh.pt b E Xx p Ru Kk I BTR Ken BG c E Y up Yu 3inch p d Xk sono v c indipendenti come aceto sopra e LY inroad NO ad esempio n3inch p Pll ti O K hlfplxn.no Ply n h plpn v putto o f caulk Xd Io Xiii tosse 14 calme 0 In generale NON vale il viceversa g Va r i ' l l spia p YNBincn.pl varyenph.pl Y XntXznBinl2 pl ESTRAZIONI SENZA REINNISSIONE Ave n d o la probabilita uniforme sappiano vedi Foglio 2 Es labi che il risultato di ciascuna delle estrazioni data la sequenza degli oggetti già estratti e equiprob fra gli oggetti rimanenti a In questo caso Ye n non ho più di tre successi e YER non posso estrarre più di R palline rosse dunque YE minga R Inoltre 470 e Ya n B dunque yzueaxlq.in B Pertanto Imu mano n B min n RI LIÈÉI.IIIIÈTÌÌ da qui si vede che la condizione che dobbiamo mettere su k sono 0 KE n BTR I B Kant ma Uno v c con tale legge si dice IPERGEOMETRICA dei parametri Btp R n indicata con Il Btp R n b Le Xk in questo caso NON sono indipendenti Con un diagramma ad albero possiamo pero determinare PI Xke i vedi anche Foglio 3 es 11 Si ha Pixie 1 RRtBPLXz d PIXa.si Xn 1 PlXn 1 tPlXz 1 Xn 0 PlXn o j Fest affaire FIB E 2 10 E uno col diagramma ad I µ albero possiamo RTB e determinare ftp.D r p p fKRT B i B n Xk 1 PIXie dto.PH 0 ftp.p c ETYI.IE IXxf iEIXnJ np d Le Xu NON sono indipendenti ad esempio PCXr i.Xa D PIXa ilk.ua PlXn r I RTB IRTBPIXr NPCXz.nl 7,1 Photo Pike 1 the ie Xie pur 1 p e YIN No ad esempio YNHIRTB.R.nl PIN O Ye n Plinio PIY.nl so Io f couch XD E Xix EINE XD p P E kraj 2 KPIKXEKI PLXixz D PIXr.pl a 1 keton PCXz.ci Xn 1 PlXn 1 I Im Kk 0,1 Rtb i RTB covcxn.nl IE pif P P I rtf pl e lr 3 p Rtb I g Y Kitts Va r ly Var Hit Xa varlxdtvarcxdt2 ca Xn Xz Va r Xal E XE EIxif EfXuI p2 dove Ethel È kept c 1PCXK.nl p var Xe pin p poi K 1,2 Va s i l y 2Pa p 2PM P 2Pa P 1 ftp.T Oss La distribuzione BINOMIALE 3inch a è la distribuz f associato alla v c Y che conta il numero di palline rosse in un urna contenente R palline rosse ed bianche estraete conte in estrazioni P Ya k f pkq pjn K VK.co n La distribuzione ipergeometrica Ll BTR Rin e la distribuzione di probabilita associato alla v c Y che conta il numero di palline rosse in un urna contenente R palline rosse ed bianche estraete tenacia reimmissione in estrazioni P Ya k e Èg a ke mano n B minchia festa siano N Xuxa v e.lt No PG 70 Xk Btp pelo 1 si consideri la somma aleatoria per addendi e per numero di addendi Se 0 se Neo Ht 1 Xiv se Neto ah si mostri che se N s sono v c Hic una volta provato che sei v c N S lo e come differenza b Qual e la legge di s Osserviamo che Ines 0,1 s v c discreta ma determiniamo la sua densità discreta Ps 0,1 4 Ta d sia ke 0,1 BIN e Pls KIT Sek ht the K f dato che Xin Bip ie In Xi 10,134 È 3 se vi K ho Xi 1ki n.it sen K avrai alcune Xi che valgono 0 Het i XN klnlnzkluk.int the Kirkuk 7 Het the KIRIN 7k 0 t Xiv K n New a.jp K v nyL È Ht txw.ie µ In disgiunti È Pilat tk eh Neh PIVA tl n k N n Osserviamo che ora abbiamo una somma deterministica f È Plant tkr KIPLN.nl XIAN txatxnann.ee IIaeIfaIIIn Ya f È f P cifra p e iI e a a e È e e del di esponenziale C t K io ie se s e la somma di N Bernal ii d NB e N PG allora sn peplo c Qual è la legge di N s Se È Xi n Pipa Nn PG Osserviamo da Nas 9 c e In N 53 10,1 sia ke 0,1 pn.sk PlN S k Pls N K p Nen Sen K c S Nek per ke 30,1 bissato f È PI Nen sen kl e è P come K eventi sopra disgiunti ie Insufflato d S IN NO basta considerare Il senti Nen 7 Pisanti PIN n o su d Pcp 0 Nn PIN tanti È x enti niente È nient'µ 0 ma questo NON puoi essere perchè È Xc E n e Determinare la densità discreta congiunta di s e di s SI N S Calcoliamo Hi je 0,1 la densità discreta congiunto P n.siliiJIePlCs N Def Ne PI sai N S g pc sei N its c'e se È K Xie kij con Kian Binky ei Ne its PIYitjeitplN.iq kij IN fa Bicelitj.to Nn poca 5 piante à e pipi C J cit ii j e t e J J Rs civile è e J J pslitpn.sk da cui deduciamo SI N S es 18 Alberto usa le lenti a contatto ma è destinato Tina e spesso ne perde una se non entrambe d'esame Dato X numero di tenno contatto perse da Alberto sappiamo che poi unbeaten valore del parametro p il numero casuale p ha distribuzione Keo talk PIX K p p K ke 2 a stabilire i possibili valori del parametro p Dato che Palk e una densità di probabilita discreta 17 5 40 1,2 To m deve verificare Pilo Piu t Pala 1 OEP.lk El UK 0,12 e 0 E Pirlo P E i Premier p a o II pre Piet P2 0 E p E 1 pt 1 p Pz p2 1 OI Occupiamoci ora di quel one puoi capitare in 2 gioia considerando indipendenti e distribuiti entrambi come X i totali Xi e X2 di lana perse la prima e la seconda mattina Quando Alberto perde almeno una lente esce in ritardo Siano Y numero di lenti a contatto perse da Aib in 288 2 numero di mattina su 2 giorni in cui Ab e innit Tr o v a r e b la distribuzione di Y c li i Z b in X2 X Xi Ita Y Xs 1 2 numero di lenti perse in due giorni In Xi 0,1 2 In Xa 0 1,2 Y v c discreta ma In Ye 0,1 2,3 4 per determinarne la disturb ci basta quindi determinare la densità discreta Py 30,1 4 Co.it vi Py K Py K e Nek DI Xi X2 K I KK 0 4 µ K È i p X2 K Kathak XIII p iei taek i e Pcf ei taek i e PIX D PIX2ek.ci Paci pxalk.co Quindi È K 912,3 4 ci conviene compilare una tabella con tutti i possibili valori di µ a µ pali P pa per Allora abbiamo subito Py 0 PILO Palo Pirlo p q in PM D Pali d tabella asimmetrica Palo pala tpx.cn Pirlo 2px.co pala 2pm p pa Otteniamo quindi PZ k o 2pct P pl K i I P K 4 t c Alberto è in ritardo se perde almeno una lente 2 numero di manine su 2 gg in cui Alb in rit La v c Z e definita come f i x nei 2 se Xe 21 X2 ZA In Z 0,12 2 v c discreta per calcolarne la distribuzione ci basta determinare la densità discreta Pz 0,1 3 0,1 K Pz K pelo PIZ 0 PI Xiao X2 0 pur D Plinio p KIM eventi disgiunti Pz 1 2 D Plan 71 0 Ulivo Kat È Xi 711 2 0 Plinio z 1 è pinza pur o tplxn.no P Xz71 7 Ip 7 Ti PHnehtpkr.sn PPCXeiltp.lk 1 ftp.pzlpz pipe È 2pfle p pzli.pe 2plr p Pzl2I pcZ 2 4 p La densità discreta di Z e quindi Pz IÌ ÈI i.e.zubiulz.LT