Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 08

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VETTORI ALEATORI CONTINUI feste sia X Y un vettore aleatorio con densità fa Cay ftp.sde Ys e o c a c y altrove a calcolare le leggi di Xe Y sj III I inabile data densità P B fcx.ge dxdyttBEBCR Xi Y vettore casuale continuo Y v c continua f B IR e densità fa misurabile f 70 fra fer Drop calcolo DENSITA MARGINALI FxlnlefRfIn.yIdyttaeR qq.gagagayyep conosciamo la densità congiunta di CKY per calcolare le densità marginali di Xe Y usiamo Per prima cosa capiamo come e fatto il supporto della densità congiunta così da capire quale sara il supporto delle marginali Supp fa c ng e R f g so x g ER 0cal y y 1 Dal grafico della densità congiunta deduciamo che y zo 9 c Ad esempio PINO Planeta di fxyia.yklxdy 0 co O xlR Dunque sappiamo che film fi g O ti geo Per se O fissato abbiamo fila flayldy fara a cit 140µg dy fishy a e tidy re si fa g finiti da Kg a è fico g da Rly a e 1 da e µ fosse da Iarda e 1 y yes y se Y Riepilogando fila Re ateo a Xv T 2 1 filly e Ig e 8 fico y Yo u t h 1 X u Ma a con a o e a o fin DI seta e da con Mn 1 D V nei b XI Y No infant fu NON è fattorizzabile Ricordiamo che i À Q fa se y hula 42cg 9.0 dove lei p IR boieliana c'e 1,2 Per verificare se vale o meno l'indipendenza abbiamo però anche una CONDIZIONE NECESSARIA SUI supporti sia X HY con densità congiunta fa e marginali fxifysifjasjf.SI x.siysuppoihioeeuedensita Da questo deduciamo che tY Possiamo allora ragionate in questo modo infoca 5 4 x g era Ocic y I 9 si Sy lato y f Quindi sxxsysxyfsxxs.ie Y se c calcolare PIX E 2 YE 3 µ letteraria ftp.rhcaer.yesdl iY fxykiY dgdyPlXE2 YE3 PlHY el co 21 1 0,31 ny i i L fjfxylaiyldydx.ua I i i 1 12 3 i es oriy rie 91koe y dYdxi.adxto i se g eaiy.xie sonda 1 se G a e Yd y f d s e . L I fIye Yd y x Ie Yd y da se f ye.sk ta iKe 3 e 4 da faesite 3122 a da ae 1ft e da te 8 1 3C 2 e 3 d calcolare il coefficiente di correlazione Pry Ricordiamo che i F pndouecovlx.de E lXYI EtxItIYTLtjay Dato che in Tl 2,1 Yo u t h 1 sappiamo gia che E ftp.varfxl 2 Xv Ma a EED Va i A 4 EGLI E.lk aj Resta da calcolare E xD Ricordiamo che i f Allora E Ix'd Gary fxycnyldxdyeffeypeiy zie sfow.fi'd fjfrycy.se e Yd y d s e 10 Quindi covcxyl.EC Eti1EIY 10 8 2 Pay Colicky A E vari vary 2 e Tr o v a r e una diversa densità congiunta avente le stesse densità marginali si può considerare Il x g Re Icaro a è Icaro g ie il prodotto delle marginali Es 7 Una misura di resistenza in un circuito elettrico eseguito con uno strumento di risoluzione pari a 1ohm da una lettura di 120hm La resistenza R del circuito risulta pertanto descritto da una V c aleatorio con distribuzione uniforme tra 11.5 e 12.5 0hm Sia 4 112 la conduttanza del circuito a R le hanno legge congiunta continua No infami CR MI ha legge continua se 7 fan R Io to s f Planted farla g da dy BE BURT dato che questa cosa deve valere BEDIN consideriamo in particolare sbelliylepi ii SERIES y te se osserviamo visto che Mi g c e supple ii s 12,5 che PKR.ME B pf.ME f 1 mai dato che Male O se esistesse una funzione densità fra Pci 12,91 allora Pirate B f.am xiy dxdy o mal B O I fan Oss Detto in altri termini pH ma perche F il suo supporto ha dimensione 1cL b calcolare TETRI EIMI EIR 12 a casa EHI.iq I s c calcolare la matrice varianza di RM Ricordiamo che à R UCH.s 12 SI n sappiamo che Va r i a 8.33 io 2 Possiamo calcolare per casa Va r IM 4.020 IO Resta da calcolare covi EIRMI ETRT.EU ETI TETRI TEMI 1 Me 1 NON ci serve quindi 5.793 lo 4 sapere prl per calcolare Allora FIRMI 8.33 10 2 5.793 104 Va r i a n t e saggio 4 4.029.106 d Calcolare il coefficiente di correlazione lineare fra Re M P Cover MI Rir i 0.0908 Vai R Oss NON si può arrotondare Pra e 1 Infatti se per 1 allora R te sarebbero legate da una relazione LINEARE cosa che non si verifica nel nostro caso Ricordiamo infatti che vale il seguente risultato CÈ X Ye Eco API vai so vai so Ipi i fato beh s.li Y axtb.CI Determinare la distribuzione di 9 Sappiamo come e distibuita R e sappiamo che Me KR con Na Osserviamo che Re 11.5 12.5 9 c re si 519 calcoliamo la funzione di ripartizione di M Se t allora Felt 1 se te allora Felt O se te si allora Fatti Pinot PIKE t DIREI 1 Fat Run 5,1251 quindi Fritte t.us.us ds salse s C E si tells 12.5 1 11.5 i.e.fm t Io.s lzEloncT 1 Allora fatti Finiti e i sia X una v c continua con densità e di R R una funzione misurabile Definiamo il supporto di fx come Sia HEIR fin O e supponiamo he l'Cs con ivi M'Cn 0 Allora definita 4 Nx si ha che 1 nè invertibile in 5 ie detto i 2 Y e v c con densità fylgt ffoxcglydlg.ly yehCs attrice In questo caso abbiamo che la trasformi Hd fa e iniettava su S ii 5 E s heels con lila beato trees Inoltre his si s mah è invertibile e gig 4 g 1g con 9 ja dunque fmcyi.fr 8911194911 gens 0 altrimenti Ricordando che triste 14µs.rs Cal vale frigie ftp.t.s di Es AGO DI BUFFON Un ago di lunghezza l O viene lanciato su un pavimento decorato con linee 11 distanti d o Qual e'la probabilita P che l'ago intersechi almeno una linea LI Fisso due linee del P pavimento e vedo casa d succede all'interno di meste due linee ma per periodicità della situazione questo mi basta Steps RIFORMULA Z Dell'ESPERIMENTO IN TERMINI astratti supponiamo equiprobabili la posizione di caduta dell'ago tra le due linee del pavimento e ragionevole n la posizione dell'ago e completamente determinata dal punto in cui cade il suo baricentro e dalla inclinazione dell ago rispetto alle linee del pavimento ma Introduciamo allora le variabili casuali X distanza del baricentro dalla linea del pavimento più vicina angolo antiorario formato rispetto alle linee del pavimento Possiamo allora supporre XnUllaED nUllo.tJ XI Quindi fila ftp.djtr falde team lol e fxolr.at È t.io platteo 0 HO SIEPI CARATTERIZZAZIONE IN TERMINI DI X DELL'EVENTO DI INTERESSE Ci chiediamo quand'e che l'ago interseca almeno una linea del pavimento L' a g o inteiesca asino è almeno una linea LI quando d P sin ZX 1 Possono verificarsi due casi a le d ie la lunghezza dell'ago è minore uguale alla distanza tra le linee del pavimento in particolare ciò significa che possiamo avere al piu un intersezione Vo g l i a m o calcolare Pleasure ex Da step 1 abbiamo che ti AE Burr PIA fa fxo.la O dsedO Noi siamo interessati a A Iride o f xfo.tl fasulla X se a f lesine i i i I t 0 2 Quindi Pla fafxo.tnddado.fi fa1 aajni1eaafddrdY fa dado ac taffetà fa ff Indo È nodo 21 Id me 2 Quindi Plate 7 se led 1 1 b l d Esino è f.ee d Siamo ancora interessati alla prob dell'evento A Iride o f xfo.it fasulla 71 Esino i B È o Osserviamo che in questo caso a fuorisce da supplfio Ciò significa che a BU C e PIC 0 Quindi in questo caso abbiamo MAI ffafxo.la.otdado ffaf.io latteo IO dado Ito a Leo a dado e 3C Supp axao.fi iin III mdB 71 s.t fasi i c sino i 9 a a f G arasin e Ò T arcs.in B 133 I s a E Ò it mdb ma lB.ubzuB.si ÌÌÌÌÌÌ mai B Mal Bnl 1 1µF mal Bs melba per simmetria e mal B 1 ansia f i Plate a 1µF te ansia send In conclusione p 7 se led n i II te ansia send Oss IMPORTANZA STORICA DELL Esperite COusidqiamolEd.abbiauotrova 29 pe 2 i F f f poniamo a rapporto tra lunghi ago e al'st linee ie T F Se ora interpretiamo p in maniera frequentata come fa con f esper favorevoli i e l'ago interseca una linea abbiamo che t'esperimenti totali per line c too e quindi pesato e Ià approx ie se il numero diesp.cz abbastanza grande µ La tf IES 9 siano Xe Y v c I con legge UNO 17 a si scriva la densità di prob del vettore aleatorio XI Y fa si g fila fa g I Skin si Karski fear g t.o.ir ng 0,11 Ta i l b si consideri il vento aleatorio v liti Xt Y calcolarne il valore atteso e la moto var E un Elite Hy fail Elite def lin Ht EH Eh tetti 7,1 X Yu n 0,1 EHI E i variu.ve varuYjIY caduti Va rc u l e v a rc i t e l e v a rc i fa F Xp var v Va r i e t y varlxltvarlhtcovcxid.to Carlo v e calati HY covlxixtdtcovlr.HN Covèdilineare covcxxltcovlxidtcovln.it Y Va r i 2 Etihad ETNIE htt variant ssfg1NaLTERNaTiVA_possiamoricondaieche.a i i In questo caso abbiamo k ftp.t IT È I Quindi EIN.vn 11 f È f il the variante f varlx.nl c si calcoli la legge di LUN liti Xt Y Per farlo introduciamo il seguente criterio che isopi permette di calcolare la funzione densità di funzioni di vettori aleatori continui Prop FORMULA DI JACOBI PER trasformare DI VETTORI ALEATORI i i i famigiia trial giganti detjglyny.tl y yields o altrimenti Scriviamo vi hlx.it con h SCR 1122 si y Mia y Htt at y e s 0,1 Ve r i f i c h i a m o che li soddisfi le ipotesi della proposizione ne iniettiva È III anodine In a In Ya h o o e lo O dettare 170 tapas Pertanto la soddisfa le ipotesi della proposizione ma da ciò deduciamo che CUN e un vettore casuale continuo e possiamo determinarne la fune densità Abbiamo I g li Ellen con detjglyi.gr 1 detjnlglynyrI calcoliamoci his Dato che fa g E IO if ie OERYEII.it III III un DE seen lei 1 e nel 0 e y 5 Utili a le VEN i e his Imu e IR IENE 2 N I Even Ya fu A ieri certi triste a i 1 µ 5 1 7 i 2 i Abbiamo quindi che ti g li e ciclisti con que v In 1 V uh con detjgluioleaa.gg 1 Pertanto funheiokfxylgln.at ldetjgluioIl t.o.dz U bo utd IqCnio vedi disegni sopra i e funivie d Il vettore LUN ha componenti indipendenti No fu NON e fattorizzabile si consideri ora il vettore aleatorio v.v feti HY XY TRY e calcolare il valore attesa fosse NON possiamo procedere come in OSIMO sopra perche il nuovo UN non e una trasformazione lineare di Xi Sfruttando la linearità di te calcoliamo IEIUNI.ie ElUI Eh ECU 72 come sopra Elite EIXITE.ly tIIXYJtE xrY LEGATEMI ETHEL XIX KAY I ftp.ft 1 2 1 2 Elvis Zitta f calcolare la legge di v.v feti HY XY TRY Usiamo la formula di Jacobi h se 0,11 citta R se y ma him y Gta set y ay thy verifichiamo che le soddisfi le ipotesi he iniettivo hdxiyt.at 1 tre e s hdxiyi aty aytsiy.name È ii detjqlx.gl X2 se ti O King e se l0,132 ma li soddisfa le ipotesi del teorema 7 g li e l'CHAI esplicitano g e his O 4 Inv e ix y Klay tu v b p Menti a U i sexy aytaryto r yli ai.nl I IIII ie g li his R2 inv a gin vi Uil µ 34 3 con 1 detjg.lu v 1 detjnlguTtfUz 3Ut3detjnlgluvI detJnlu tiff Chip la htt re 3Mt 3 Rimane da esplicitare il dominio di g his letto dal h Hyiepiioex.ge e Of A Il 1 E I tenerlo E Y it E 1 U2 3Mt 3 UH zo o Un ver 3Mt 3 V ntl eic sv.int EU 3Ut3U2 3Ut3 E 42.2Mt 2 ie U 1 E veri Lutz mie frills n DEIR 1 ENEL U I EVEN 2Mt 2 i n jpg certi trista i è su 5 1 7 i Possiamo quindi calcolarci la densità congiunta di LUN come funheiokfxylghe.at ldetjgluio l I antnIIts ts Là Inviamoli U2 341 3 disegni g il vettore Lun ha componenti it No fan non è fautorizzabile Est Un componente elettronica e formato da tre elementi indipendenti in serie ciascuno dei quali ha un tempo di vita esponenziale di parametro 7 0.3 Me 0.1 e pro 2 rispettivamente a Indichiamo con T il tempo di vita del componente Qual è la legge di T Abbiamo Seneca San E µ e srasr.IS 53 Ecg Dato che gli elementi sono collegati in serie l'apparecchio si rompe non appena se ne rompe uno quindi Te min si sa 53 per determinare la legge di T usiamo Es 4 foglio 6 e calcoliamo la funzione di ripartizione di T se too f f o poichè l 20 9 c se c 20 Felt 1 It Edt 1 Fsaltilli Edt I 1 e atque.pt Bin Eel ie ftp.t 1 e Htt ftp.o.toglt i e Tn E atleta ECO.co b Per aumentare l'afidabilità e ridurre gli interventi di sostituzione viene proposto di aggiungere un componente identico in 4 Qual è la legge del tempo di vita 5 del nuovo componente F tempo vita comp 1 µ e 2 Se sistema complessivo compita Tn Eco.co Un ECO 6 supponiamo TI U Dato che componente 1 2 sono in il sistema complessivo si guasta quando si guastano entrambe i e Se maxit v calcoliamo la funzione di ripartizione di S ancora con es 4 foglio g i per Eco Fs f O since 520 9 c per tzOFsltIeTzltIFulH f o.otY e Fsh µ e O 4 Leo ott Fs C Con C fsltlefsh 1.211 l o.ch e 0iotfeo ofH festa siano X Y UKO.it XIX a calcolare E vai legge di Z XtY E teta varie 112 Per calcolare la legge ricordiamo il seguente risultato vedi Es 13 fzlzt fpfxylz y. l y dy La legge congiunta di Y vedi es 9 e fai Ing filomela y Osserviamo che 2 e 0,2 9 c dunque fzlzleov.EE Ri 0,2 Per te 0,21 abbiamo fzlzt.GR o sgzlZ yiy dy In calcolare questo integrale si riconduce al calcolo dell area della figura piana ottenuta tramite una modificazione di 0,132 Infatti 2 tianya.cz y g se G y.y t e t o. n l feto o altrimenti Z y g e 10,13 O eye 0 Eyes oez.ge Z i Eyez y y. i e y 71 1 i 9 1 i i Z 1 2 ie detto 1 z g E R2 Zeta 2 degli R Z Kye E si ha che team Ley z Ietf Allora HEE 0,2 fzlztefpf o.az Z yiy dy fate g dg dy E se zelo il dy 2 E se zero Quindi O se Zeo felzi Z se OEZEt minlzf zlf.org 2 z se 1 E ZEE o se 772 d fece I 1 2 Z b si trovi la legge di F XTY fexty.is Ricordando che z ty possiamo scrivere 1 Z Ite 1 Oss In questo Neve possiamo calcolare Tt la densità di t usando il criterio di Jacobi caso variabili casuali Infant non sono soddisfatte le ipotesi Poniamo S Io 27 R z glzli Z fiz.sn Dal grafico di vediamo immediata che gfcicsi.pl Ft g E i i gilet Z 2 A HINT Calcoliamo allora la funzione di ripartire di t XTYETO 27q.c.qte o.tt 9 c Te 1 se ty 1 Allora Y se Hye se te o Filt e O se t 1 Filt 1 se teio.tl EHI c RITE ti p Hy 1 µ E PI Xt Y 1 Et HY 1 t t PI Xt Y Et t'E 1 o a 0 Esa sia assegnata una successione N Xi X2 di v e indipendenti tic Nn Glp pelo 1 Xin Ela Vii a 0 Y min Xi Xiv a Mostrare che Y e una v c Esercizio b Yo u e calcoliamo la funzione di ripartizione di Y Osserviamo che 470 9 c quindi se ycot ylyl PIYeyl o.co se go Fly e Play 1 Play Cerchiamo ora di riscrivere l'evento Y y in una forma che sappiamo gestire Per y 20 fissato Y g min Xi Xiv y abbiamo Io rione Xi y Xp g dobbiamo cercare di renderla deterministica µ y X y UHM nel Xi'y Xniy.mn Allora co PLY g PIU IX sig _kg N.nl h ics ZPlxny Xnsy N n h Xi NI Pinoy Flimsy PIN n n È f Fancy 4 Edy Pointe Io j e 4 ph.pl f ff aEiltter e tyv.ir T pe Y l4 pIe YY p e di ftp.pie tyf.pe H1 1 G ple dy serie geometrica di parametro f p e 4 Quindi per 920 Fylde 1 PLY y a pe ML 1 G piety In conclusione Frusteranno EHI Dato che Y e una v c CONTINUA e POSIT possiamo usare ES 47 foglio 5 E IN È Tidying IE jey P ffa P ah pl p ayIi.pldY afp ln 1 e 94 d foto fa Ep ldp Es 21 Le lunghezze XY dei cateti di un triangolo rettangolo sono generate a caso in modo tale che si tratti di v c esponevo I con lo stesso a 0 Sia a l'area del triangolo 2 YA il rapporto dei cateti e x l'angolo misurato in radianti opposto al cateto Y nn Ela XD a Y 2 2 I Xv Yu c c a fxlat.ae Leo.tn r fylset.ae 9 Icona Y 2 XIX f a g D e 9 Ico play 1 ETA in funzione di 7 0 Etat ENI et ETHYLENE È I 1 XIX x Y E.ca Eheheh la 2 Calcolare la funzione di ripartizione di Z notando che NON dipende da A e disegnarne il grafico 2 ie 2 h X Y con le S CIR IR se y bla g ke Osserviamo che X 70 470 9.0 Z O 9 c Quindi se 7 co Fz z e PLZ EZ O se 770 Felzi PIZ E z e PIÙ E Z PKX.DE Az Azio la g e R2 se 0 y 0 face i ma è il coefh.ci angolare se di Ye ER tI fairy d'e Leo conddy fa d'e Hathaway Aftatesi d ffee drtddyda.az Fe mfIIiMdyda AZ Quindi Fece NON dipende 7 Z O da a ritz 1 1 È i 7 3 Determinare se Z e assolutamente continua In tal caso calcolarne la densità e determinarne il grafico E e Con Z e va continua con densità felze FÈCE se ZEO Etz se 2 so d EHI E z e fpf fz.CZ dzeGfzf pfeo ooiCZIdZ È da to e calcolare la funzione di ripartizione d X notando che NON dipende da Egla a aneto Y Ora RECO quindi per te o Fact O per tal Fatti 1 per deco Fatti Plastic planato e E Pf e tg RIZE tg fzltglth.ie 0 Fatti.fi Io I t TE f Determinare se e assolutamente continua e in tal caso determinarne la densità Fa e nè a v c continua I fatti FIGI o se te E 1ttojf lftegtyasefeco.IE