Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 09-1

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FUNZIONI CARATTERISTICHE Delia sia µ una misura di probabilita su CIR BIRD si dice trasformata di Fourier di µ la funzione tela e'in pelota ftp.coslcruxdqldsdtifpnsiulca.xdtecdse Nepi Jef sia X un creatore aleatorio in R si dice Fi funzionacaratteristicadi la trasformata di Fourier della sua legge PX ie la funzione 4x R data da 4 4 ftp.eicu.xs fpneicnmdpxcse neh FUMA µ le misure di probabilita su CIR BCR t.eu nero SI Y v c s.t.qx.ch X Y 2 Dati pelati ed MEIN indicata con la funzione caratteristica di una v c X si mostri che a Xv Bcp que plinti p Bcp n X v c discreta con p se ke densità discreta Pick pp se Keo 4 4 E ein freni di einrdpxhjzjeiknp.ae X v c discreto con Ink 0,1 eionp.co ein Pds 4 p Iciap i e IX BCpi sqxhd 1 p peinv ue.IR b in Blu p qui cinta p Xv Blu p n pick f p µ p ke 0 h Sia NE IR 4 4 E feint ein xdpefpeinndpkxi.ae Ieinkpxlkl zeinkff pkf p È f lpeinkq.pt pe ti p Formula di È E è b b a Newton vale anche per numeri in C i e IXNBln.io sqxcn peintn pY V n e R c Xi Xu i i d Bip Ht Xu Blu p i f i is 4 Y È si H p R BCR SÌ a levarmi beo Ye Ax 4ycut qcatnl qfn.ie Uil Vuelta Prop Le v e reali Xi Xu sono indipendenti 4x lui Un IÌ che.lu tu e IR dove Xe Xi Xu icone corollario di e si ha che Coif siano Xi Xu v c reali indipendenti e sia y È Allora 4yhhe.tt q CnitneR Dato che X Xu i i d abbiamo che se Y Xi tu ER 4dm e II lui II la ptpeint f.pt oein ma Dal pto b sappiamo che una v c la legge Bla p la sua funzione carati e f papere dato che la fune Quindi IY Bln.to caratteristica caratterizza la legge d X Blu p I Yu Blue p XtY Blaine p X si P R Y sia p R H S HY sia p R sia HER 4 sue 4 414 4 cinti p pain 1 p Sett b ein i p Xk Y 1 questa è la fune canali di una Bice htm p S Xt Yu Bin htm p dato che la font canalteristica caratterizza la legge feste Dato una v c reale X si mostri che a in UN a a qui sino b Xv Uta b s qui e l'sin PIU b re c in Eca 4dm L a in d X sit Xv Eca s 4 121 7 I tizi si calcolino E Va i a partire dalle loro funzioni caratteristiche a Xv Vita a n fax Leo a a Allora Vuelta 4 4 e E einxf fg.int diP f qeinxdpxcaI e Lea calda Cina da ci siamo ricondoci al calcolo ch'un integrale complesso Osserviamo che i se le O allora 4 41 1 sia ora UFO possiamo scrivere cioe cosatisino ffeinseda cosina da t if sincredda O perche sins fuma dispor cosinatola 2 costui da sincrix cos four 2 sinceri par Ti i e se UFO 1 4dm 1 25in an sin 20 Ti are Sinan amie quel È in o µ 1 Neo Dato che q e continua si ha IX UH a.at sqxcrel siII Per calcolare te var Ricordiamoci Flint sia vettore aleatorio in IRI con me li per qualche MENU Allora C Cm e vale 9 41 imefx i.xaneicnxy.ee à à à XE E 4 C'e 4 a E XD E xD 4 co Per calcolare E var osserviamo che INEA 9 c i e I e 9 a limitata Xe e tapas ECP tipo 1 Thin moment Per il o si ha l lui ancoscard sinla.ru Q2l2 q'fire sina.nl 2 aerei 2am cascare QU con continuità Per neo sappiamo che è differenziabile infinite volte in 0 pertanto dobbiamo calcolare Rico efjqfcul jgancoscani s.ie arte y fino anli ff ani.ae cosse 1 It t C 1 RI n alzarti Sinn 2 2 75 c i È Utd Oberata leoni 93µs d e eo Quindi Et procedendo in maniera simile possiamo calcolare var 4 col li 4 ri e 0 ET EHI l'Ilo 95 partita b Possiamo ricondurci al caso precedente attesa È be ma i 1 io i O a alta b 2 a Tr a s l a r e di Atf 1 1 i La ba 2 2 Xv Ultra b ie Xe a b 9 c Sia y X ato allora e a Esco Siano Xi Xu v c I con Xie pcarbk i.in a mostrare che ht th art tan Lo dimostriamo utilizzando le funzioni caratteristiche Calcoliamo la funzione caratteristica di Xu PA dio sia nei qxlni Efeiny freiuxdp.fpeinndpxcsd XV.ci discreta Palk e II Kean einkpr.int einke e ftp k e aeaein eaieiu.dk o ie l È II ZEE ftp.aso sqcrei eaeiun Sia ora Y Xi allora freer ie fà Èh.int I.Teiieiu i eEiaiiein d qq.lu ldleiu dfi 1 n n le NÈ ai 1 ma questa e la funzione caratteri di una poisson di parametro D Art tan Ì T b si supponga che Xi K Xs Època Calcolare Plinth tis 231 Xi 71 Osserviamo che essendo Xi K Xs v c discrete che 9 c assumono valori in 20,1 e più immediato calcolare PIX tht Xs 31 Xi 1 questo evento infatti si riduce ai soli due casi fatta 1 tenendo conto della Xntxzt.is 2 condizione D abbiamo allora del prob Candia Pilat Kat Xs e 311171 PIXntktkc3 KZ 1 Pinza e PI Xi tratta 3 K2 1 PINZI X2 X 3 ci PIKE 1 Kt X SÌ PIN 2 Kt X e FÈ pur 1 Pilat Ts 1 Platts 0 t KitKat XD t PIN 2 Xii Xs 0 perchè Xe K Xs indip pulsi Ps https d t Patapsco 1 truppa si XHXz platd PG.la per pto a C 3 1 Inoltre PIK 71 1 pure 1 1 Plinio 1 Paulo 1 è Quindi Xi that Xs e31 Xi 71 PIXntktkc3 KZ PlXnzst e s'a 1 572 e allora 1 e a e s'a 1 572 PIX tratte 311471 1 1 C d Es Per ogni e a 0 la funzione caratteristica di una v c Xu Pla a è data da 4dm Mostrare che i a Xv Ma a I Yo u a XTY matp.ro sia sia Xt Y tenete in emani I s.x.tl tlatp a la funzione caratteristica caratterizza la legge ossa ÌÈÉ k y n T b Xi X È Ela Xun Nn a Osserviamo alle Eca ut 1,7 Questo lo si vede immediata dalle funzioni densità che caratterizzano la legge E µ µ n ggy.ae µ µ plaid PIÙ è feat cui Abbiamo allora Xi in d pls a È xintf.IS a tln N.ptoa c Zanon Enti f rifts usare la funzione di ripartizione d Q Zit ZI con Z Zu d dico 1 PIE E fin chi quadro con n gradi di libertà Sappiamo che Vie 1 h Z Tft f 241 e Z Zii indipendenti Allora per il punto a perchè lo sono Zi Zu Qui È Ii'st TIE'E Es siano Xr Ma a Yu ftp.a indipendenti con 0 B 0 e d 0 a si considerino le v c Ti t Y U XXX Y si mostri che il vettore aleatorio to ammette densita continua e la si calcoli Osserviamo che sia T che usano v c poiche funzioni misurabili di v c la prima somma la seconda quoziente Xt Y 70 9 c U e ben definito 9 c U C 0,1 9 c Per mostrare che CT v ammette densità continua e per calcolarla utilizziamo il criterio di Jacobi Prop FORMULA DI JACOBI PER trasformare DI VETTORI ALEATORI sia Xi XD un vettore aleatorio con densità i i i famigiia tianya.ph detJgly yd1 y yields O altrimenti In questo caso abbiamo che la densità congiunta di Xi Y e data da si y iI se yp.ie d'rtdfai.qacse.gs Xv Yo u r Mattino HY bday h s CIR R2 µ bday x y Mia g p tg g con S 0 too Ve r i f i c h i a m o che li soddisfi le Hype della Proposizione li è iniqua e CTS I amo È H L detjnk.gl Ig ldetjnla.pl Fay o ti g esalato Le ipotesi della Proposizione sono quindi verificate Definiamo t v e h X Y Hulk 41,124,4 Htt y e sia his tinier ala g es trekking Allora 7 g li E CINISI con detjgltirh f g.it Dobbiamo ora esplicitare g e Ics h I pass bis CIR g li 5 t.goh hog.io a Esplicitiamo g agitare n legacy b ceri G y e fin ty.IIy I f II 1 te ie lglt.nl ntt u b Esplicitiamo his Sappiamo che seco too fc2 DE R 2 0 y O Allora utilizzando le relazioni abbiamo che 1 o I c I I neo oppure impossibile Abbiamo quindi che fbcdn.pt re EiR tsoeocrec1 Udyn S n nel o se z n concludiamo quindi che TN e vettore casuale continuo con densità t.uft.nl fxylglt.nl detJgltrdl lt.uIEhls o altrimenti ut tu a 1 Et Lutenist o altri 1 1 detjgltid dctjdgu.in tutte t U ni Il i b si provi l'indipendenza delle due variabili casuali Te U Rice X Y v c continua a sono congiuntamente continua con densità congiunta fautorizzabile ie I.IE i r reaTf foss Le funzioni he la potrebbero essere le densità marg il fx fy a meno di costanti moltiplicativa opportuna introdotte È evidente che la densità congiunta fattovi.az ft u fa data gilet gola per q.o.lt a ERI con gilet fatto Ico G gola ma l UP Icon in c si provi che in Matra e da Un Batala p io u ha distribuzione beta di parametri a p la cui densità continua e data da fu lui no 4 Na'Icann urla 7 Y rcp.at Ti XtYntlatp a Es 8la e quindi ft 7 1 E e fio e 9 Plata sistemando allora le costanti si ottiene allora fpultnd _ftltIfuluIperq.o.ltiuIeiR2couftlriIcovueiu Defuhd.tlat n G UP pianta siamo Oss La distribuzione Beta e molto F importante in statistica ad esempio per modellizzava l'incertezza di parametro di successo in un esperimento di Bernoulli ha