Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 09-2

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ESSI sia la Y un vettore casuale uniformemente distribuito sul rettangolo Re Ossee 2 oey.ci a si scriva la densità continua di Y di X e di Y Le v c Xi Y sono indipendenti 1 i fxytnd 121 oidx o.dk Y R i i 2 Per calcolare la densità marginale osserviamo che Xe Io 2 9 c Ye 0,1 9 c allora V aeirfxlsdefpfxytnydyetfnf.az middy Leo a L'd y Ito.rs se V yeiRfyly fpfxyla.y dse tz1eo.nly dr 1eo.ply ie fila fatto.dk fylykleap.ly no ie Xvillariditintopisi vede immediatamente che X Y poiche fai Cry a fyly ie le densità fautorizzano b E var di laid EHM EIN EED 1 E trincea Y UU.am Va r i x y Va r i x cova y t carni rare I X ilko.tt Y nko.nl XIY covcx.in 0 c si esprima la funzione caratteristica di Xp in termini delle funzioni caratteristiche di X e di Si trovi quindi la funzione caratteristica di Y sia lui o e IR allora lui E eidnhu.ms 1EfeilnXtvYY Iei io Eté E è XI Y einxiteivy lfxlrdq.lv Oss Quello che abbiamo scritto sopra non è altra che il risultato noto vi va real x sono iiti.fi eIi 4x lui Un IÌ che.lu tu e IR dove Xe Xi Xu Allora ricordando che see EX 4 Xv Uta b s qui e l'sincere bien abbiamo 4dm ein si e que c'E si 1 punto 23 Yu r i ko. n l e quindi 4 tu ok 4 414 io 2CilntElsiY soinEI Siano ora 2 2 4 WE Y 2 d X d Il vettore casuale W J ammette densità continua ÈÈÈ Ì ÌÈÈ i Sospetto per come sono definite X.kz ci viene il sospetto che CKY z viva in un iperspazio de Rd ie un santo spazio di IRS di dimensione 3 III S sarebbe verifichiamolo Abbiamo che 2 22 y Z 2J w 2 È l tanta 7 5 Grazie a possiamo allora scrivere 2 2J W 2 9 c Quindi definito il piano Pisa z no g c IRS Z W 2J 2 si no che Z W 5 c a P q.c.ie P z W D 1 D'altra parte divulale 2 3 MIA O e quindi se esistesse una densità congiunta fz.ws per Z w J si avrebbe che plein 5 Ea e fa fiz.w.jylz.widdzdwd.jo lusca O ie plein 5 Ea o ti Zoe quindi concludiamo che NON esiste una funzione densità congiunta e quindi Z W J è un vettore casuale NON continuo c f si esprima la funzione caratteristica di Z W g in termini della funzione caratteristiche di X edit si trovi la funzione caratteristica di Z w 0 scriviamo Z W f come trasformazione alfine di XIX Z W 5 2X Y Y 2 X a C MBK ben Usiamo allora la seguente prop sia X un vettore casuale in R beh 0 e a C Mln n Definiamo Ye Ax tb Allora 4dm e'tutto Atm V UER nel caso h 2 ne 3 i e Yz.ms a e qui tata freer abbiamo re b cnn.ua Us 2h2 atni.fi dt tethII e 4cz.w.jylnIel 2iU2lf yyf2rh U3 Uz Vr É e 2in il astray siugfffj s.in kY Nz s 2 qi aa.eklsu sn.ms 1 iIsinIIq fossile si sarebbe potuto procedere anche nel seguente modo V ri cnn.hr ridete YZ.mg thiUz Us i Cicu lewis E c'Cruz turnt Usj cilindri Html Y d Nsx XIX sina.IE eill2ui nDXtCui UdY 2in 4 124 Us y Ue Ue Oss Anche se Z Wig non ammette densità congiunto continua la funzione caratteristica è ben definita n pinne è caratterizzata proprio da y z o VETTORI GAUSSIAN feb Xi Xu si dice vettore casuale gaussiano d media MEIR e matrice varianza e Ruxin e si indica con Xu Wife Q se 4 4 e un è creare Tr u e X ctlp.at fai an ER la v c È anke l'omissione eventuale degenere cor delta intrichi XK ctfk n.is PESAI vedremo dei controesempi vale se abbiano I compari Pj X Xi Xu gauss ha comp I Q e diagonale Lpg X Xi Xu gauss Xp IX i cori Xj Xi o pop X cvimqven.gaus.in R ammette densità Q è non singolare ie invertibile ie data 0 In tal caso fxini jqexpf zln ptQ.tn M per HEIR Red Xe R YER veri gauss I y e Pitt vette gauss Pope X ER veri gauss Xv ville Q AER beiRYY axtb sy cvlaqtb.AQ.at Esto siano X Y v c congiuntamente gaussiana b si mostri che i X Y ammette densità continua fa Tx 0 Ty 0 E lfx.cl CI È j Va r y vari codini TI ritiri HH vary area ri allora pH covlxxt txtyp.ie data o O tiri tripli tiri in Tiso Ty 0 pay In I pxxet i.it Pxylc1 ie il vettore gaussiano HY ammette densità so Ty 0 lay Il 1 c si mostri che quando KY ammette densità continua si ha triste pà expf.it f Hf etIII Segue da fare i conti Se WIM a veet.gaus.in R ammette densità questo é d si discuta la dipendenza del grafico di fa dai parametri Tx Ty e pay Il grafico di fan ha la seguente rappresentazione i curva di livello a e i studiamo le cene di livello Per studiare la dipendenza del grafico dai parametri cominciamo col supporre a ie ED Gaussian centrato nell'origine 1 fa.int p expfIIp GÈMITI i f Possiamo riscrivere G in maniera più compatto come fa fr Yt af expf tzcla yI Q ila.y s Studiamo le curve di livello di fry Queste si possono scrivere come Clay a Cag IÌ 2pxyff pytff.ec 6.1 In questo caso le curve di livello sono del tipo IÌ 1 e ie sono degli ellissi con assi coincidenti con gli assi cartesiani Tx Ty a 1 y x2 ya ac circonferenze a 14 txt Ty asse maggiore e fuochi sull'asse ascisse si 1 Tx Ty i Y asse maggiore e fuochi sull'asse ordinate se ay Oss Tx Ty l'ellisse si schiaccia se sull'asse dell'ascisse Oss Ragionando sulla matrice di varianza il caso yay corrisponde al caso 2 Io D Gli autovalori di Q sono TE TI e gli autoctoni sono i vettori della base canonica Cielo lato 1 che individuano proprio gli assi cartesiani Oss Graficamente se Q e una matrice diagonale l'operazione e Clay Gigli nidi I'E Int corrisponde al portale un punto del piano x y a giacere su un ellisse la fr exHC In questo caso 2 a p III natii aII ea.a.ie f u matrice ortogonale ie uiuueit.eu Ù Te o r e m a 7 D matrice diagonale s t spettrale V'DU Oss U e la matrice del cambio di base dalla Dose canonica alla base degli autoritari studiano le curve di livello in questo caso C Clay se.gl e yd ut via y Q Duke O'D 0 UTD o tuta y D lucky cosa significa Ve d i a m o cosa succede se fa g Ci no e g la 0,1 i e vediamo cosa succede agli assi cartesiani e D Coen dato che U e la matrice del cambio di base dalla Dose canonica alla base degli autoritari l'operazione Ue manda l'asse cartesiano se nell'auto vettore relativo al 10 auto valore Stessa cosa per Uea Dent quindi vi ver Ue UE gli autoritari associati a Q abbiamo vi D'or G che e della forma vista in Oss solo che rispetto ai nuovi assi cartesiani individuati dagli autoritari Come osservato in Oss l'equazione individuo con ellisse con assi dati dagli autoritari va Graficamente la 9 1 11 v Quindi se pry 0 e Y le curve di livello sono ellissi ruotate rispetto agli assi cartesiani e valgono considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso fu 0 Oss per tal 1 le ellissi tendono e a schiacciarsi lungo le rette di ca g E se ti Ricordiamo infant che Hai yefxyffxtftd p.io ED o ie C'è una dipendenza lineare in questo caso tra X e Y Ricordiamo che lpx.de 1 corrisponde al caso Q singolare vedi punto al in questo caso Y è un vettore casuale Gaussiano NON continuo il supporto della sua legge e un sottosta una tetta divide 2 di R2 a Va l g o n o tutti i ragionamenti fatti sopra ma le ellissi sono centrate nel punto Ix µ Ig di statistica se posso supporre il campione gaussiano lo scotterplot dei dati mi dà informazioni su media e matrice varianza del campione In particolare si vede bene la correlazione Est sia kN un vettore gaussiano Le densità di Xe Y sono f dal È è RER Fyi g Ife e YER Pay a Riconoscere le leggi di X e di Y Ricordiamo che se X ctlq.az allora filate 1 e ad ato Allora invito f Y Wfo.fi b Scrivere la media la matrice varianza e la densità continua di IX Y ELKA Eh Eh O p Va r i a Y vari cover Y tonni rari µ covcx.de pxytaitttzf.tt 3 Osserviamo ora che det Q O i e non singolare X Y è vettore gaussiano con matrice varianza Q e la sua densità è data da fa rete expf tzln ptoitn.ee MEIR Otteniamo c fanta g 3,1 e 142 org 9yd c calcolare la legge di 2 Xt 34 Essendo X Y gaussiano ogni combinazione lineare di Ye gaussiana utilizziamo la seguente Pope X ER veri gauss Xv ville Q AER BER yeah b you chant b a Qat scriviamo 2 4,3 Y ie A B 6 0 allora 2 vario aaah certo z I aaato e.si fqoI ffd ltsiHlIf If In maniera equivalente si sarebbe potuto procedere nel seguente modo essendo Y gaussiano ogni combinazione lineare di KY e gaussiana Bisogna quivi calcolare solamente solo media e varianza E ZI Ht 3 Ely O varlzt varfxt3YJ varlxltgvar.LY tgcovlxiy ft 91ft 78 d calcolare PIX Y scriviamo PI HY DI X Y 0 PIT 0 T X y T essendo combinazione lineare e anch'essa una v c Gaussiano con Tv vita tal da questo si ha fitti immediatamente Pitt 1 e Infant essendo pits D filt alt letto la densità di T è simmetrica con ft densità di T ma Non ci serve pertanto calcolare tt festa Dati Xv chilo 1 caso si consideri la Y X 1 1 0 esempio della situazione X 1 170 si trovi la legge a y e 7 gauss g in 1 I go.se a a g a se laica i i a se 17120 i a lai 2 a d Oss Non possiamo usare la formula di Jacobi 0 per determinare la legge di Y Infatti non sono soddisfatte le ipotesi 5 112 blu c a se laico se se 11179 e tre cibi Per determinare la legge di Y calcoliamo la sua funzione di ripartizione Osserviamo che YER 9 c quindi Ty g e definita HYER y Per calcolare Fyly Plyey ci aiutiamo col grafico PIN g ye.ae Fylyt PIYeyl tpplxzaitpfaexcyl acycalplxz.gl yea yeah faccia f in 19 go.se F in 1 I go.se a a Q o i 1 i y i Yu n n a n i i i agnosia i i n i a at Ea d i y F in y go.se Q O i i i i y i 3 i n a ie denotando con Ofir Fila PIKE a la funzione di ripartizione della gaussiana standard abbiamo che HYER yea 41 iÉÈìà.ae Olly plxz yt 1 PK g 1 offri dir ie Fly fig HYER ie pinchi Oss MOTO ALTERNATIVO DI RISOLUZIONE V yEIRFycyt PIXEyllxlcatpl Xe.gl Xlza b si stabilisca se i vettori Xix e X Y sono gaussian Per determinare se XIX e vettore gaussiano guardiamo come e'la sua funzione caratteristica ma la funzione caratteristica caratterizza la legge KLUWER 4am tuoi Efeichiudickh ftp.einxtivx e'tutt quo C invito a e È Intruoto e ftp.obacu.ob i e uol.am o con 9 f Indurvi c'È ie Ilkhnuvioio Xxi vettore casuale gaussiano Foss datore 0 ie A è singolare Lt è un vettore gaussiano non ammette densità congiunta ie la sua legge NON e assoluta continua rispetto alla misura di Lebesgue Questo lo si vede anche osservando che 1 a definito a fa g ER 2 9 PINNE a 1 E D'altra parte se esistesse una densità congiunta fa sarebbe pllxnheakfafxxla.yidadyjozdiuea.sc Le cliniche e mala O ie il supporto della legge di Xix vive in uno spazio 1 dim na PhD ma 0µg Un vettore gaussiano può essere tale pur NON 1 ammettendo densità congiunta continua ma per questo motivo lo definiamo tramite funzione caratteristica per determinare se CH 1 e gaussiano ricordiamo Hopf ter veri gauss Xv ville Q AEIRmfbeiRYY axtb sy cvlaqtb.AQ.at ie Se X fosse gaussiano allora 2 In.nl Xy XtY dovrebbe essere gaussiano ma Questo NON si verifica Infatti 2 y 2X se N'e 2 11 1 O se 1 170 z d ie ZE C 20,20 9 c I da qua si vede gia che 1 i a a se Z NON puoi essere gaussiana perchè 2 non assume I valori in tutto IR 9 c za per convincercene calcoliamo Elo La funzione di ripartizione di Z è o a 0 c c 20 p 1 l'zza Osserviamo allora che dfzid fz.IO FzCo 2 1 0LcaD O ie Z e una v c Mista ne continua ne discreta poichè Fz G non è una funzione a scala e in Zero c'e un salto Di conseguenza Z e XtY NON gaussiana X Y NON e un vettore gaussiano fossil Anche se Xe Y sono gaussiano puoi essere che Y NON lo sia es 15 sia Xe un vettore gaussiano qq.CI II io.o.nl ce È a IX Xe I Xs Sì Infatti C e diagonale a blocchi Per vederlo meglio osserviamo che fraintender 4 4 expfirls tzfuitzu.ua 2mi tris t.FI I.imn zinau exp tzlnit2rnnzt2ni exp ius Fi Ma Unita Us con Xi X2 gaussiano di Xs gaussiana Ricordando http ixsnwc.ya Prop Le v e reali Xp Xu sono indipendenti Milner vn IT4x lu ttuelR dove Xe Xi Xu concludiamo XDH b X Il X2 XD No infatti 4 4174 4 µ furia c Determinare al variare di AER la legge di µ ÌN Osserviamo che Ne tante ie v è una trasformazione lineare di un vettore gaussiano u v è un vettore gaussiano io UN vive Q infant vale Pope X ER veri gauss Xv ville Q AER beh yeah b you chart b adatti Per determinarne la legge basta quindi determinare µ e a te Ello vi A Ethyl io a a variumacate X L L 1 D ssJoodetQ 2tH 1 1ttdso Vd E I R 7lu.v ammette densità detta v.v sono correlate u fata d Quanto deve valere A attivare Pluto s È Y Utv Y e v c gaussiana perche comb Lin dive gauss EID a vai YJ varutvarvtzcovlu.li 1t2td2t2 5td ie Yo u child Std Allora P si D Pfs z nn 1 91 f sta 91 è