Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 10

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LEGGI CONDIZIONALI E VA LO R E atteso CONDIZIONALE 1 LEGGI CONDIZIONALI Del siano Y due v c a valori in CEE FI risp Una funzione ex 7 Io il µ B Qla B si dice legge condizionale di Y dato XK se 1 se Qui B e misurabile BEI 2 B Qla B e una misura di proba b v rete pylxldylsd3 PK Ax B Piea YE B e le false Qla B PYdrt fafgqla.de la free Be 7 Qcs B P Bis e PLEBI X s In particolare possiamo scrivere 3 della Def px.tl Axis Se false p BIA pilota e fa pY N dy la p cdx fa plYEdytx.se Please questa scrittura ricorda P taxi PIX EA Ye s PC VEDI Xe a PIKE a Oss se f 7 R BCR si può provare che q f sempre In tal caso essendo se una prob su IIR BIR RE E fissato tale probabilita potra ammettere densità discreta ie 04 e discreta ammettere densità continua ie OH e continua non ammettere alcuna densità Del sia see E fissato e sia lei E IR misurabile se ha o o bel E li si definisce E hlYIIX.se fahCyIQta dy fancy P C dylan plyedylx.se 2 VA LO R E atteso CONDIZIONALE gel se YE li si dice valore atteso condizionale di Y dato X la v c II YIN fa con fcat.EE lX aJ 2EE 2 e sia cara p sp di prob E YIN è l'unica v c reale in tilt AP GLI misurabile ameno di eventi trascurabili sit fa 4dB fa EILA di tactful Z i e Ellade E ftp.IEIYIN È Il valore attesa condizionato ha tutte le proprietà del valore attesa Inoltre per i i ftp.EIYIXI EIYJ 1 E YI X Y q c se Y e TA Mis E YIN EED 9 c se XIX E 42 1 7 2 E IX se Z e TIX mis e s t YE E li ef se Ye L2 si dice varianza condizionale di Y dato X la v Va r NIX ga con giri varlYIX.se EIY fEIYlX a3flX x psst a Vale la formula di decomposizione Va r 41 ET Y IN LENIN vale rucola di varianza tonale Va r l Y I EtvarlYlXDtVarlEIYlXD ssJsoprasouostah.ri portali i risultati F nel caso di condizionamenti rispetto a TN Tu t t i i risultati valgono nel caso di una generica T algebra con gente t algebra sur 3 CASO DISCRETO ALCUNE FORMULE ESPLICITE DENSITA CONDIZIONALE DISCRETA supponiamo che Xi Y sia un vettore casuale bidimensionale che ammetta densità discreta Pay siamo Px e Py la densità discrete marginali e sx si i relativi support allora Va e sx Qla è discreta con densità discreta Py C In Sy Ta r d Payer y y Pyncyla i Percy supponiamo che HY sia un vettore casuale bidimensionale che ammette densità discreta Pay sia see E fissato e sia lei E IR misuri se ha 0 0 bel e li allora si ha E hull X se hlylpyi.ly se seaesa e fancy P Layla Est La legge congiunta delle v c discrete Xe Y e parzialmente descritta da Y x 0 1 2 Px 2 0.1 4 0.1 0.6 Py 0.3 0.4 1 d completare la tabella e dire se Y o 1 2 Px X 2 0.2 0.1 0.1 0.4 4 0.1 0.3 0.2 0.6 Py 0.3 0.4 0.3 1 X Y ad esempio X 2,4 0 PIX 2 PI Ya o Px y 2,0 0.2 Parte palo 0.4 0.3 0.12 b Determinare la legge condizionale diy dato Xe 2 calcolare E lied E Ye l l e d varchi Dato che Y è un vettore casuale discreto di cui è nota la densita discreta congiunta px.yc.io e la densità marginali Pirlo Pyle n vedi pto la la legge condizionale di Y dato se o a PYIXC.ir plYE.li x è una misura discreta ed ammette una densità discreta della forma dato Retta Pay gir pxxlseid fye.si Pirla siamo interessati al caso 7 2 Osserviamo innanzitutto che Ye 0 1,2 9 c Sy 91,2 Definiamo Pnl 12 Sy 0,1 2 l0,11 Y pyixcylzl pxyls.MS xC2 Dalla tabella deduciamo allora Pym 0121 Pimpa 00 È Pym 11121 PY.IE È È Pym 212 Pxj f È e te E y IX 21 y 1dg 12 PYM o 12 e una misura di prob disco con densità py 12 y. f j y p y i x l y l d y. f i ypyn.biz 0 Py 012 spy 112 t 2 Py 212 1 z t 2 È a E 421 X 2 y P dy 12 yzpyi.ly zf.iyESy Va r l Yl X 2 tEIY4X 2J fE YIx 2 c Determinare E Y IX calcolare F ENIX Elle I XII e Va r i e YIN Ricordiamo che le Y IX definito come flyklefalconfiateletrikafrete Nel nostro caso E 2,4 Nel punto precedente abbiamo calcolato fCz E X I x D Resta quindi da calcolare fca E le 4 Eh IX 4 y P dytcd y. f y p y n . l y 4 Puffi 2 Piglia tetto Fa Dunque abbiamo costruito la funzione misurabile f 2,43 IR come Hate E i a se a e se 7 4 Pertanto ENIX f E se 2 Se X L che possiamo scrivere in maniera più compatta come EtYlXJ Z1i dt kx a E EHI XD e EHI Iy Rly 0.41 20.6 1 proprieta tabella valore atteso YEN Alterativamente ti EIETYIN Ef Epa It'È 3g Ettari tf E ftp.ai zPlX 2ltfPlX h fotZo 1 Pxl2 Parla 0.6 a 0.4 E IYHF osserviamo che Etihad se 2 7 6 se 4 allora procedendo come sopra si ottiene EIEtyHJY.az I varltE XIYD.EC Tx H D I fEtEExHIP zt4 d Determinare E EPIX si procede in maniera analoga al punto C Gia sappiamo che E 421 X 2 Calcoliamo E IHI f a Allora Ya l i In Iea e Determinare vari XIX calcolare varchi E Ivar 41 17 e vari varchi Per trovare var XIX possiamo calcolare Va r 41 2 e var 41 4 oppure osservare c 4C Va rc h i EI 44 1 ft YIN 2 v c fa fa t In al fixer t 1 Ikea a Finire per casa Es 4 siano in Xu Bcp pe com sia n 2 2 Xie me a calcolare E Katz ed E 21 Z Ricordiamo che le LX Z è definita come LIKAEFIZICOFELECHIZZIAFÉ In questo caso abbiamo 2 È Xk 3inch p zefq.in q.c.ie E 0 h Calcoliamo E Xii 2 El fine per Ze 0 n bissato E KI Z z xp date È se Ruiz selz Xin Bip KE 0,1 9 c ie sei 913 pklze mis.de.pro discreto con densità Prize 0 Ruiz 012 1 Paz 112 Xie 11 2 2 Mk r Z Z PIZ.az PHri 1 Xti.tt n Z Plz z pinterest.i.tl n Z 1 PIZZI Xi iid Il X2 tn Xi A Ya t i Xu PIXr.HR Xzt tXn Z D Plz Z Xin Bip ZNBiuln pJXzti.tt n Bin n ip P I per Cita il E f pt f pin Z h i e EHI Z.zt fczl entzefa.in Quindi E XdZJ flz Z sfg Osserviamo che per calcolare esplicitate E tilt non ci e servito calcolare T esplicitamente la legge condizionale Pkk Abbiamo sfruttato la definizione di prob condizionata e X i i d E XD Z Basta infant osservare che considerare k anziché k non cambia nulla dato che Xiii.cl Ossi In In Xk è la media campionaria sto stimando p in I2 è la miglior approx TIZI un 5 di Xs vuol dire che sto approx Xi con la media camp En In particola D Ehi IEI E.hn zD Et nJ fEIzf numero medio di successi normalizzi mi stimo f prob Sio Ora Ye Xi X2 Xi X2 successo b determinare la legge di Y e darne una interpretazione probabilistica Osserviamo che X X2 E 0,1 9 c y e 0,1 g c Yu c discreta Per determinarne la legge è sotticiente determinare la funzione densità discreta Py Sy ai tai Pilo PILO e PI Xi th Xin 0 Xr t Xa Xix o ke X o Pireo Keo Xiao Pike 0 12 KIK Xn.hn 3lpIPyln PlY 1 1 PlY o 1 4 pY 2p p2i.e.YnBCa Osserviamo che 4 1 kit Xa Xix 1 Xi 1 X 1 U Xvi Keo u Xiao Xvi quindi Y indica se c'e alimento un successo nelle due prove c calcolare E YI z LI prima di mettera a calcolare E YI Z Z vediamo se possiamo sfruttare qualche proprietà di E linearità e sfruttare qualche conto già fatto E YI Z E Izz linearità E KI Z E Xd ZI Ettari 2 determinati nel punto a dove ora determiniamo Ethel Z calcolandoci per 2 E 0 h fissato le Xd 2 2 1 fpgx.se P Eddai dadi Z sina.sn È ÉTÉ zitta Iz ho contributo non nullo solo quando sei 22 1 z Cisl Z Plan X2 4,1 I Z z PIVA 1 X2 1 I Z z PCXri 1 kz ZZ Plz z P Xi 1 X2 1 X 3 t Xu Z 21 PIZ Z pxnldpxz.cl Pxs txn E 2 Xia Pz Cz Xiv Btp Zubin pi pa te per e 2 13T Xn B.in n 2 p E PZG pin z ZCZ.hn n i Quindi E KHZ ZCZ ilh n DI ylzt ae.EE ft Ossf otteniamo uno stivatore per il parametro di successo Y tramite En ZÉ 2K In n 1 Questo perche ETHEL 2 ZIE e la miglior approssimazione Ctz Mis di Y es 7 siano Xi Xu ne IN fissato v c It e sia 2 É Xx supponiamo che tt Ken n Xanax con an 0 a trovare la legge condizionale di Xi dato 2 me ma 0 1,2 Dobbiamo trovare Qin B P Blue PCXneglz.in Be BCR Facciamo alcune osservazioni Xk Place V Ken n indipendenti AI 2 Ken PIÈ a Foglio 8 es 6 Xi Z sono v c discrete Xi Z vettore casuale discreto Allora Vine Su Qin e discreta con densità discreta Ruiz o lui Sy Ta d la In z line Pinza Pz ln sia allora me 0,1 Sz fissato Xp E 0,1 9 c quindi 0,1 Pm z lui S e 0,1 0,1 Per le 0,1 dobbiamo quindi esplicitare pxrizlllml PLX llz.in Oss Per la relazione che intercorre tra tre n E ie 2 Xix 2 Xie osserviamo le 2 Subito che se l un allora Xi 11 2 m 0 pxnizlllmt pcxn llz.in 0 Sia dunque le m Ruiz line Pixel Ht Xu in Phi L Xix Xu em P Xix them Plinefratentinami Plzen Xi 41 X2 Xu il Kat Xu PI Xi L Pilat Xuan 1 I Plan Plzen Éireann È 2 noi an e e art an an e m l g Ant tan than i e tt le m abbiamo anziani.tl a Yf TiiIiz mnBiulmiaF b calcolare EINE e Va r Elk 12 7 Ricordiamo che E fini fCZ con flmt EIHZ.nl Megan G Parliamo col determinare E Xilene sfruttando il punto a E Klein se Elda lui pxnlzfo.cn prob L separa Calm discreta resta mai È se pxiizlrlmlj F.tn questa è la media di una Bin m Ì vedi pt Ricordiamo che XNBinln.pt Efi up G avremmo potuto dire immediatamente E Xilene indiani tan dicendo che vedi pro Cal Xi'Zan è una v c Bimbi Ii e quindi la sua media è noto Grazie a G abbiamo allora che E hnlzt Y ZW a.to Va r le tinte grazie al punto precedente ed utilizzando la proprietà della varianza Va rc a i a Va rc a abbiamo varlelxnlztl varla.az I anYvarZ IZ vpfzi.de art tan Va r z i È c calcolare var Xi IZ e E Va rc h i Iz Per casa si ragiona in maniera analoga al punto b Supponiamo ora che In a K K ie Xi Xu È di Pca Definiamo Y Igneo d trovare la legge condizionale di Y dato 2 tu con me 0 1,2 Dobbiamo determinare m B P B en P YEBIZ.nu BEAR Osserviamo che Ye 0,13 9 c z Y e un vettore casuale discreto me a e una misura di probabilita discreta per caratterizzarlo completate Ci basta calcolare la densità di piolo discreto µ me 0,1 fissato Pyle a lui Sy 0,1 To . t t k Pye Klm Ricordando che n è il numero di v c Xie che sommiamo per determinare Z conviene distinguere i due casi 2 Xi 9 c I n da queste relazioni Ye 114 o Osserviamo che LEI E 9 neo f Ye s G Zen 9 c 4 11 1 03 e fan Ken Ye o µ Nel calcolo di pyizc.IM ci conviene ferivate dividere i due casi Meo in 0 se uno per ke 0,13 abbiamo pyizlklol PIY.li Z o lPlY KlY 1 1 se Ken o se Keo se uso per ke 0,13 si ha pyizlklud PCY KIZ.eu PIENI 4 0 1 se ii o Cad O se Ken Quindi se ne 1 allora Bim KIO O se Keo sseketepywqm.gg pe CI e 2 Xk nei Ye Igneo Ink 0,1 Se 0,1 i e dobbiamo determinare per me 20,1 pyiz.lt m ePyIzlolm 1 Pyiz 1lm sia me 0,1 calcoliamo Paz 11in Ply 11 Zen PCXreotz.cn 1 Y 1sxn o Xiao tot Plzen Xi 0 X2 t Xtreme Plzen a XD Xiao Pilat Xuan T Kopa plz m Infinito zupina e In.name lana i nani Feet ripeto 9k Kira Te Quindi fissato me 0,1 P. a z 1lm p prob di successo e P. a z Colui 1 pyiz.li mI 1 1 f ie e calcolare le YI Z Dal pto d sappiamo che YIZ m Bff.tn m le YIZ.eu f per me an Xv Bcp le p Ricordando che E Y le fez con flmt.EE Z mJ Megan abbiamo senssanoiae YIZJ f fffossfsicc.me Y e una Bernoulli e Zenit otteniamo uno stimatore per il parametro di successo di Y tramite µ ln htt Per questo caso ci conviene sfruttare la proprieta del valore attesa condizionato EIYIZJj E.LY XnJ EtfcxdlXil se ne 1 Z Xi 9 c Ye ftp.o ie Ye fan con fin Igino ie Ye una fune luis di Xi I fan Y proprietà ENIX Y 9 c se Ye di mis aaanaatEIYIZJ.tl Es supponiamo che il numero di raffredda contratti da una persona in che anno sia una v c Poisson de media 3 Un nuovo tipo di farmaco quando risulta efficace sulla persona abbassa la media di tale v c E 2 Sfortunatamente il farmaco è efficace solo con l 80 della popolazione Si calcolino legge e media del numero di rattraddoti contrari da chi assume il farmaco Introduciamo le v c X efficacia del farmaco in Btp con p 0.8 ie X descrive il faceto che il farmaco possa essere efficace o meno e la prob di successo è pari a 0.8 Y 4 numero di raffreddori contratti in un anno solare dalla persona che assume il farmaco Sappiamo che YIK o Plaid ie se il farmaco NON e 4 70 3 elficace il numero medio d raffreddori NON si abbassa A rimane 3 YIX.in Plait ie se il farmaco e epica L il numero medio di raffreddori si abbassa a 2 ie 7 2 Vo g l i a m o determinare Yu EHI Dato che Y è una v c discreta determinarne la distribuzione di probabilita equivale a determinarne la densità discreta Py 0 e Io 1 y Py y Le informazione che abbiamo sono Xv Bcp i e E nota Px 0 e con a notaia con pxcrkffpsesfa.IO YI Xe o PG ie e noto Py 10 0,1 To n K pyixlk.to pyixlk.to PCY kIX o ÈK 41 X 1 Plan i e e noto pyixc.IN 0,1 3 0,1 K Py KM con pyixlk.fr Peya KIKO dite te Ricordando che ti mesi 0 e pyixc.IM Sy 0,1 Te d k Py Klm p ylm Phon possiamo determinare la densità congiunta di NY come 5 Sy Pancho 0,13 0,1 Eat Kim Panchine RIMINI Klm fossi una volta trovato la densità congiunta o possiamo poi ricavarci la densità marginale Pilo che ci interessa calcoliamo pe o Per Cui K e 0,13 10,1 lissati Pay milite lui Py Klm a Ne se pe di se mai te 11 0,1 calcoliamo la densità marginale Pyle Per ke 0,1 fissato 1 Py K 2 Pay mi play Cock Pay hike mio 4 p e io o pe 2 0.2 e 33ft 0.8 È piqi.o.ze ssofa.to 8 ee k K Q1 T calcoliamo E Y Potremmo calcolare co le Y KP.dk Keo oppure usando le proprieta del valore attesa condizionato dato che Y E YI E E YI xD Infatti abbiamo che linear E YIN E d In tantum e sappiamo che YIX.io ipad ELY IX D do 41k 1 Pedi E 41 1 1 iì E YIN fine ho 1 oytdihfx.ee Io E 14 031 t di te In Io Pileo di PIX 1 Aol p t dip 2.2 3 CASO CONTINUO ALCUNE FORMULE ESPLICITE DENSITA CONDIZONALE CONTINUA Supponiamo che Y sia un vertano aleatorio bidimensionale che aumenta densità congiunta continua fry Sia f la densità marginale di X allora tre IR se e continua con densità fyixl.IR P Di data da faxighe p se firmi o kg se film eo ove K IR a IR e un arbitraria densità di probabilita Se h R R è una funzione misurabile sit Kao oppure lily e l allora Axe REILLY Ikea hlytfyn.ly sddy 16 sia IX Y un vettore aleatorio continuo con distribuzione uniforme su T x g ERA Ocre yen a scrivere la densità continua del vettore Y XI Y ya area G È a È Con il se La densità congiunta fa NON e fotorizzabile Y b scrivere la densità marginale di X calcolare EHI var X Osserviamo che Xe 0,1 9 c quindi fin 0 Ha 60,1 Ha eco e fila ftp.fxycacy dy fp2Ico.nCR 1ka.ply dy R 21ha dy 24 a Iconica ie fxlai 24 xtfco.dk le ma Oss e'l'ascissa del baricentro del farti triangolo c Determinare la densità condizionale di Y dato Xena e riconoscerla Dato che Xi'Y ammette densità congiunta continua allora Hae IR se e continua con densità fyixl.IR P Di data da fangirl p se firmi o kg se film eo n Poichè Xe 0,1 e quindi fila o su D possiamo assegnare una densità arbitraria per famiglia Ha car Per zelo 1 avremo invece fyixiybd fxjfq.se 21canbd14a.dd 211 a fico 1cm y densità di una distribuzione uniforme su Csf 1 Rai mi dice qual è l'estrema sx dell'intervallo ytx se UHR.nl ttxecqe d calcolare PLYZIIX.az 41k NUKE 1 Si vede quindi immediatamente che PI Y Zz IX f 1 Oss per convincersene possiamo scrivere plyztzlk zt IEIIcyzi.dk tz r1q yPldylr ta 241k 9114 dy dglr Ifate.ahdyk.fitldt.nl 2 dy 2 È 1 e calcolare ETNIA Elena IX varchi Per calcolare ELY IX ricordiamo che se si dice valore atteso condizionale di Y dato X la v c E YIN fax con fcat.EE lX aJ aEE reco 1 abbiamo XIX a Udr 1 E ytx.se 1 fin E 41 1 51 1 i.e.EE lXIe1 Ricordiamo che E CH 1 IX ENIX ENIX dove È II EIH.mx Hit Va r 41 Ye n K 2 fin YIX.n rlka.nl varuixt.li f Utilizzando il punto precedente calcolare ETA YEA 9 c ie Y limitata Ye t i insanie fetida Iterare Porta Isi Allora abbiamo E YI E ETNA E 1 fatta EH EHI il 1 tatto Ig 2 es 17 sia Y Y un vettore aleatorio gaussiano con teso Ty 0 e lpxylc.it a Determinare la legge condizionale di 4 dato X D tre R Sotto le ipotesi data X Y ammette densità congiunta vedi Foglio 8 es 10 data da f a g 1 2ttxtyi.pt 2 expf.jp fIIt 2anmIYdtlyo IY Inoltre fila expf.tk I ZITTI Oss La densità marginale di X le omologate di la si può calcolare facilmente considerano la trasformazione affine X 1,0 ie Xe a f tb con A Co beo allora X ctlamtb.ae at Winx tè Mattei My tè txtypxyftxtypx.fi da cui si ottiene Poiche fila o Krak possiamo definire V aelRfyixc.tn come fyixlylal fx.name PIE fila a pa Its expf tacn f f.pe d 2ttxtyi px7 eu a f 2Pxxm IIfY tIf 1 2ittiln pxy expf.gg f apxila txk2pxYfln mia b ty.my 1 p expfj.pe tequila text listed ditty la Ti f ytpytfzca.mil ifly ry feca txI ao e y Intenda up V se È ylkanctlpytsepxylx.mn Ty 4 i piyl commento abbiamo dimostrato che b E YI X KM netti gouss.cat XIX and the e ne abbiamo determinato e vai V reiRE YIX aJ Mytfpxycr.mx fin YIK nnctfpyttjpxylze nx.tt h pxI Ely IN fix EIYIXI.int pxyCX tex c Qual è la legge d E IX Osserviamo che E IX e una trasformata alfine di X v c gaussiana E IX gaussiana.no è sotticiente determinarne media e varianza E E YIN EED 9g Ye t i Yu m m y tè perche Y v c gaussiana varcetYHD varfmytfjpxycx.mx TIPI VA R I tipa 2 ridico 1 i e EIYIXInctlny.to pxy Es 19 sia Xi.ir Xs dille C con O pxytxtyq.co 2 a c'fa a determinare E FI 1 3 b Determinare e 1 3 fossi Il vettore aleatorio Xi Xe XD ammette densità congiunta dato che details 0 Potremmo quindi calcolate le densità condizioni richieste e scoprire che sono ancora gaussiana ma in realtà non serve possiamo sfruttare es 17 b il fe.IO II esEtYtxI ntpxxEcx nxGT ma In questo caso abbiamo Xn WIM.tn chilo 3 X2 chi 1µs tè vita 5 Xs Wipes tè chi 4,2 per cofff.FI pas È 1 Pro È allora E kills Mi t As Xs 93 X 4 È Xd Xd Ma Pas È b Ms 2 LE Xs IXs Xs Quindi a E Xp CECHI XD E Xd Xd e µ 4 b Eff Xp 1 3 4 3 Es 22 una ditta produce un certo componente elettronico utilizzando alla linea di produzione La prima linea produce il 40 dei pezzi i quali hanno un tempo di vita EC di si 1.5 La seconda invece produce il 60 dei pezzi i quali hanno tempo di vita Pcaa 22 2 Qual è la legge del tempo di vita Td un componente elettronica Le informazioni che abbiamo sono i tempi di vita di un componente elettronico sapendo che proviene da una delle due linee di produzione io Fissiamo il nostro componente elettronico ca chiamiamo a l'evento A il componente proviene dalla linea di produzione 1 a 0.4 p Introduciamo le v c che traducano in un framework astratto le informazioni del problema X La ns Xv Bcp T tempo di vita del componente ctsoq.cl elettronico TIX 1 Ela TIX O no Elda Oss siamo nel caso MISTO X Y vettore aleatorio co no X v e discreto con densità Pda stesse 0,13 Y v c di legge condizionato da X se continua di densità fax gir tires In questo caso 1 la legge congiunta di HY e data da PK la B P tea Ye B 2 fyylybdpxbddyka.BE BIR regna B Oss NON ho però una densità congiunta 2 la legge marginale di Y e data da P CB e PA E 3 pxtaifyi.ly se dyV BEBGR densità Y vettore casuale continuo con densità marginale fylgi.se s Pxlsdfyixlylse Usando questa formula possiamo calcolarci la densità di T ftlyljzpxca.fi lym Sx sqngae1Qn3 pxlO ftixlylo tPx 1 frulghe a p dal rt pane dit fa It Xv Btp tlks.ru Elda TI X o Elda ma siamo nella situazione ft vettore misto tt exit ha immagine i 1 X D Senza passare dalla formula possiamo ricavarci la distribuzione di T passando per la funzione di ripartizione ma Per capire come è distribuito T ci calcoliamo la sua funzione di ripartizione per te o Filt PITE f IO perche T o g c per too Fitti MITE e PITEtlx DPCX.co t tpltetlx NPCX.it formula Prob totali Pete ti Pitt UK K P Te t X 1 PCTEtlx olk.no ii evento certo pltetlx NPCX NI PLTEtlx.co PlX o li e th pt Ci e Ip TI X D Ects Plettro Felt 1 e art stessa cosa per TIX 1 ie Filt per e 4 4 PIU e 4 fico la Ft C Con è A Ff che fit e T e una v c continua con densità ftp.yae.neptpze.aaeg.pyqg.to Sst a posteriori osserviamo quindi che X disco T continua XI è un vettore casuale misto ma NOI ammette densità congiunta Is 25 un sacchetto viene riempito con 3 monete esame 1 d'argento e 2 color oro Le monete color oro non sono però necessariamente di oro puro ciascuna contiene una quantità d'oro Gu casuale con distribuzione Uniform fra e 1 e possiamo supporre GI Ga Sia dunque W la quantita d'oro totale contenuta nel sacchetto Gu NICK 1 K 1,2 mi fa.ca fGacrl 2fq ffeGrIGzW GntGz a E w 3 E WI E Gilt E f 2 32 GKNUKE.tl K 1,2 b Determinare la distribuzione di W si mostri che e continua se ne determini la densità fwiw e se ne tracci un grafico qualitativo W e la somma di 2 v c continue per calcolarne la distribuzione usiamo il Prodotto di convoluzione Sia Who Galicia Fwiw fa lui ftp.fq w y y dy Ossiffagliaffatta g glynn falco g fa dy flyigia.ydy 41kz.pk g 14 g dyh E Fa.rs Riscriviamo 14,1 w y in maniera più conveniente III a in g 1 se w yelt.ee o se w yflz.li è cu yes s u 1cg a cu è i e III a In g Y Allora fwlwie4fp.tw g 14 dy GR kw neii 91dg 4 fa dy con A lui g Epp cu icy cui ta Icy ci Ora Wz 0 9 c quindi consideriamo cuIo fissato e capiamo come integrare kw i w E re Y e w s you ta è a y ci Y i a È A cu i I I w E 2 I ie Se ne 11,2 fwiw L f dy 4 Cui 1 se ne II al fwiw 4 µ dy 412 ah Quindi Ifniwielidenzilwkw dtatissigludir tuy pesca due monete dal sacchetto senza reinnissione Sia X il numero di monete color oro pescate da Ruy X Gr Gz c Determinare la distribuzione di X trovando esplicitamente i possibili valori se di X e le corrispondenti probabilità Xe 1,2 9 c dato che delle 3 monete 2 sono d'oro e Ruy ne pesca 2 almeno una sara Xe una v c sempre d'oro discreta e per determinare la distribuzione di X e quindi su diciente determinare la densità di probabilita discreta Px 0,13 To 1 te Pkk ho un solo modo ch'pescate l'cieca moneta d'argento 1 7 2 3 P si PIX 1 g modi in cui posso pescare una moneta modi d'oro su 2 che ho possibili in disposi cui posso pescare a monete da un'urna che ne contiene 3 Pila e PIX L 2 1 3 2 3paUiuel2orqiargd ssfgXvffI3.2 zX 2 estrazioni 2 Oro Infatti ricordiamo che la distribuzione ipergeometrica della toto n è la distribuzione di probabilita associato alla v c Y che conta il numero di palline oro in un urna contenente 0 palline oro e a d'argento estraete tense reimmissione in estrazioni 0 a P Ya k n c n A minigolf a kefma.io Sia infine Y la quantita d'oro totale pescata da Ruy d determinare la distribuzione di Yd a t o X . s e si mostri che e continua se ne determini la densità fyi.ly sDY quantita d'oro totale pescato da Ruy Xe numero di monete d'oro pescate se 1 Ye n eh i e We Get Ga se X 2 Y Gr Igea WICK 2 allora YIX.sn Gr NUCE 1 41 1 è cont con densità fyixlyldefg.ly YIX 2vW sY l X 2 e continua con densità fy gi 2 e fully e Determinare la densità di Y si mostri che è continua se ne determini la densità filly Come nell esercizio 22 X e v c discreta e le leggi condizionali sono continue ma non sappiamo nulla su un eventuale densità congiunta del vettore Xi Y ma passiamo per la funzione di ripartizione Oss In alternativa si può usare la formula Ye 2 9 c quindi fylgi.at Pxtdfyixlylse se yo ta Fy ly PLY E g O se y 2 Fy y PI YE y e 1 se E YE 2 Ty g PI YE y PIYEytx DPIX.at Formula tPCYE.ly X 2 PCx 2 Probabilita totali f PIG E g Pixar tpcweyIPCX.ae YIX.hn Ga Fancy Perla t tw G Pila YIK 2 W 2g Fancy 13 Fw Y Poiche fqctl fwltl.no per c z e Feriti Fw Lt L Per te 2 possiamo scrivere FyCtle2jTGncyItjFwCyI tAbbiounoFg.EConcT WEG nè questo lo si deduce da come e fatto fu Fy E Conci 7 fye.FI i e Y è v c continua coudensitaifylyl sjfg.ly tjSwly f EHI linearità E Y EIGndtx.jtwtsx.az te Galaxy t E WIcx.rs T 1 Gr Ga X Ind C il 1 Grillini Etait Effy 131 tetti E ftp rs wa1ix a3 EIGnIPlX NtEIw PlX z SI Zz t II 1 Oss es 25 esempio in cui Ye l l EHI ma a FIEND In particolare NON vale EED.IE ETNA