Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 11

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CONVERGENZA DI VA R I A B I L I CASUALI CONVERGENZA DI SUCCESSIONI DI VA R I A B I L I casuali DA Sio si ca P uno spazio di probabilità Sia Xu new d IR una succi di v a Sia d IR v c 0 Xu converge a se Hwan Xuan Xiv 1 tu converge g o a se Xu f NE CA con PIN O S t Hwa Min Xuan Xiii 2 Xu converge in LP depots a X se Nu XI'dip 0 in 3 Xu converge in probabilita a X se qu KE o Pll Xu XI E 0 n co Oss Per questi tipi di convergenze Xu new devono essere definite sullo stesso spazio di probabilita er P Prop sia f IR R continua Xu fan fax Xu X fan fa Del siano Xu n can Pn CIR BUR variabili casuali di leggi Phi Sia X dica P R BUR v c di legge 4 Diciamo che Xu X in legge Idiseribuzi per n too Xu IX se piu p debolmente i e h IR R continua e limitata fa feriali a fa sciatica Oslo In questo caso gli spazi di probabilita Possono essere studiamo la convergenza a livello della legge che e una misura di prob Sullo spazio di arrivo CIR BUR ALCUNI RISULTATI sulla CONVERGENZA IN LEGG Prop sia f R R continua e limitata EX Effani E fai Prop caso DISCRETO siano X Hulme V c reali discrete con dens discrete Px new e supporti sx Hetman Sia 5 Sx o USK Allora KEN pack pick likes Xu E X se SEI o sfinito Puck pick fires a Xu IX drop caso CONTINUO siamo X 3in new v c reali continua con densità fx in new L false I fila per q.ci seep Xu X drop siano Xu new v c con f d r I 3N si sia C l'insieme dei Phi di continuità chef i e RER FIN Fca Allora Xu 7 X Fa Fis V sec E se te continua allora Xu 7 Pixel PIXEI I intervallo su R Prop TEOREMA DI LÉVY d Siano X fin new c reali e siamo intreau le rispettive funzioni caratteri 1 E 4inch 4 4 time R 2 Claire 4 14 Vuelta con µ continua in Zero a v c reale con font caratteristica e Xu 7 X cor Xu E 4µm fin freer Xu converge in legge Un que the e 4 continua in 0 LEGAMI TRA CONVERGENZE 9 prop g e P L Lp E p E a è invertibile solo nel seguente caso particolare prop in IX con X CER Xu g e invertibile a meno di sotto successioni PIXnI.X a pena ee si Xun X 9 e m e invertibile sorto ipotesi di limitatezza drop in X 1hr1 E Y tu YELP Xe e e in Es 2 cd cap con de co n d BRONX D no misura di Lebesgue su COD Knew si considerino Xu Ya Zu D IR definite ti were 0,1 come Xaludie Yu ko Znlndi.tn log1w studiare la converge 9 c delle successioni Hutu ein Ya j n a fa new Determinare la legge delle v c limite Ricordiamo che Xu X 9 c se l'insieme a wed fino Xun Xiv EH è tale che Pca 1 Nel nostro caso specifico dimostrare per A weco.it figo Xuan Xiv EA esercizio è tic Manca 1 Dato che le v c sono definite esplicitamente in termini di cu possiamo studiare cosa succede al limite W per cu Sia WE 0,1 fissato i e sto fissando una 2 realizzazione del mio esperimento Yu k i fu O Xiv per n t Yu a n i fa Yin per n ta Zulu log fu log fu Zhi per n zoo Oss Le v c Hulu Hutu fu e i loro limiti sono ben definiti tt wed C Per l'arbitrarietà di West le convergenze Haier ne otteniamo mostrate in valgono in particolare la convergenza 9 c Infatti PC wed II Xuan Xlvii Pisa 1 in X i PC wed live Yu a n Ye a h Pisa 1 n too y y PC wed line Zucco Zevi Pisa 1 n too 9 c zu Z b Le leggi delle v c limite sono date da X O 9 c i e Xu of no per calcolare la distribuzione di Ye Z possiamo determinarne la funzione di ripartizione vedi ES 1 foglio 5 00 Y e una v c continua la cui f d t E Fy g f trenta Zu Ecs mieloide Lele.to e sloglE eco too 1 Infatti ZE Oita 9 c Fatto per Zoo per 220 T zlzt.BIZ Ez P wed Zen E p wear log E ez phaeton tweet e 2 non cieco 1 W 2 È i nulla.hn e too È X mimma a 1 Z 1 Z FzlzI 1 Z1 loitqlZ ma questa e la f d r di un esponenziale di parametro 7 1 Zu Eia es sia 3 Xu new una successione di v c ciascuna di legge iper geometrica Più precisamente Xun 2h Rut B Rn ne ove need è un parametro fissato Ruben Bn new sono successioni valor in 1N Supponiamo che Rn_ pecora IIII asn.to Mostrare che Xu E X dove XNBCM.pl Dare un'interpretazione probabilistica del risultato Oss INTERPRETAZIONE DEL Risultato Per ciascun re di fissato l'esperimento casuale descrive l estrazione di me palline senza reimmissione da un uomo 2 contenente Rn Palline rosse e Bu palline Bianche Xu numero di palline rosse estratte e quindi Xu all But Rn Rn ln stiamo supponendo che il numero totale di palline tant Bn cresca illimitatamente al crescere di n ma la proporzione delle rosse sulla totali tenda a pe co 1 o È n iii là ha 1 ne 2 n as Rn 2 Rn 5 Bn 4 Bn g Rut Bn to RnrAnt Bn PELO Ci aspettiamo che l esperimento limite sia equivalente dal punto di vista probabilistico ad in estrazioni equiprob e con probabilita di successo P e avere un'urna con palline dove il rapporto tra rosse e total è p e fare in estrazioni Iza reimmissionacuartandole rosse è equivalente in legge a considerare un'urna con un numero finito di dementi dove la propone tra rosse e totali è p e fare in estrazioni ce reimmissione contando le rosse ci aspettiamo amo la v c limite X abbia legge data dal numero di successi su µ estrazioni Formalmente 2 fissato new in 2 Rut Bue Rn m Ricordiamo che il supporto di Xu e sin max lo m Bn min m Rn Dalle ipotesi ricaviamo che Rn too Bu too Dato che µ e fissato per n suit grande sin 0 in Tu t t i gli altri supporti sono loro sottoinsiemi quindi sin 0 ne foss Ricordando che siamo nel caso discreto Hulme N X v c discrete e avendo che s sxuusx.ee 0 in finito KEN abbiamo la seguente caratterizzazione della convergenza in legge Pack pick fires a Xu IX Per dimostrare che Xu IX ci basta quindi mostrare che P Xm K IP X K V KC 40 r. m e Oss Per quanto osservato sui supporti si ha che line pt Xu K o Kevin tuta h too e PHn aki.CI IIn RntmBy 0,1 eu Mostriamo sia ke 20,1 in fissato PHn.kt.CI IIn RntmBn Rn Bu Can KI K Bn a KDI.cn K CRntbull.vn Cnn ibn m f CRNXRn d e CRn ktd.in lBu d Bn lm k ti RntBn Rut Bn i ni Bn.mn F CRnkrn di CRn.ie RntbnXRntbn D.io RntBn ktt CBDCBu D.ir Bn lm ktD RntBn K lRntBn k i tant Bn cuti Ita f pkq.hn K 1 Rn n Raton p mÈ p B à a ingiunge Quindi Xu E Blue p Es 11 Data una successione di v e Infine con Xu g Jin e a 0 studiare il limite in legge delle successioni a Xu b Xm cc Xuan d XIE qssf LXn3n.cn e ben definito per quegli neon s.tv µ E 1 n almeno definitivamente i e per n suit grande questa condizione vale Ricordiamo che studiare la convergenza della funzione caratteristica può essere di aiuto nello studiare la convergenza in legge grazie al coito io di Lévy e in particolar grazie a far Xu 7 e 4µm fin freer Xu converge in legge Un que the e 4 continua in 0 Ricordiamo che la funzione caratteristica al Yo u gap è yen pe 1 ci_p in a Per capire se Antin converge in legge a qualcosa studiano il limite delle funzioni caratteristiche Vuelta 1 ne 0 quinte I o a o 1 f E ein Osserviamo allora che la funzione limite NON e continua in Zero non può essere una funzione caratteristica X non converge in L c Possiamo procedere in Calvino due diversi modi f d r O f carat CONVERGENZA TRAMITE FUNZONE CARAT Osserviamo che terre IR qq.int Eté I Élite 4 12 allora II mail.ee axnHI fi teim 1 In.fr eirz limf 1tiI nato 1 µ fflatine eisen str 1 stia iI iI tè idf.fr 1 cjntiI line at if h it a It È fin ie qq.lu 2 Vuelta e a in riconosciamo nel limite la funzione caratteristica di un esponenziale di parametro a E in Ela n b Yu in Tn Ragioniamo ancora in termini d funzioni caratteristiche tree IR per casa Oss supponiamo per assurdo che Xian IT 0 2 Allora Xj fu 7 Onda perche da c sappiano che ÈÌÌ tslutzkyxz.IE d Xp non converge d Ricordiamo il seguente risultato f.TW TEOREMA Di SLUTS KY Siano in new 3 Yu new che succession di v c reali tute definite sullo stesso sp di prob se Xu e Yu È CER allora int Yu X te Xu Yu E ci 2 È 7 purché CIO fossi Il teorema funziona anche se prendiamo una successione 3K new di v c uguale 9 c ad una costante ie considera una successione numerica Scriviamo Xena E Ponendo Yu En EN abbiano Yn j o q .c .e s Yu O L Dal punto c sappiano che Xi Eca Allora dal Thin di Stutsky concludiamo che Ya E X 0 0 ie Xu O ha Z ndo E 0 significa k h IR cont limitata Gaffe Frase ftp.Z leggi indotta su R da ZIO PZ a o se 770 1 se o te a dividere per funzioni di n e come e cambiare scala temporale Facendo line per m too si passa al continuo Il giusto riscalamento per ottenere un limite non banale e e si ottiene la versione continua della geometrica ie l esponenziale ES 14 sia data 3dm new una successione e valori in 0 to Studiare la convergenza in legge di una successione 3in new di v c con Xun Elan nei seguenti casi i a an 0 b an 7 0 c In too Possiamo procedere in due modi studiandola f d r oppure la funzione caratteristica 1 STUDIO Della CONVERG MEDIANTE f d r Studiamo la convergenza delle funzioni di ripartizione delle Xu HEIN knew O se TEO Inch 1 e int se t 0 Allora per TE O In f o as h too per t.oeua aqe.ae IIII È 1 Se an too c analizziamo separatamente i 3 casi a fan aoi.e.fxnltl ookt.IR Da questo deduciamo che la succession Kuhn NON converge in legge perchè alcuna funzione di ripartizione f 5 E Fette O ti te e insieme dei punti d continuità di F Per dimostrarlo ragioniamo per assurdo supponiamo che f una tale f d r i e una f d rettale che tu sia nulla su tout i suoi punti di continuità Ciò significa che Fit puoi essere O solo sui suoi punti di discontinuità i e FAI o te D Cc TER OFA Fit Fled o puoi essere al più numerabile Dato che F e una f d r deve volere live Fit 1 e c co ciò significa per del oh limite e fissato ke co 1 a te IN ns.t Fit a K E Ztl ie V te 5 too Ma allora si dovrebbe avere ht too c D perche D e numerabile ma abbiamo mostrato che una funzione di ripartizione F t c FG o ti c EC Quindi in lnesto caso Finch sta tendendo a qualcosa che NON è una f d r se non o Xun Elton non converge in legge b tmall.tk o 1 e tt 1co ooi In questo caso riconosciamo in Filt la e it Ilo G la f d r al Una distribuzione esponenziale EH Quindi se ansioso Xu E X Eca c anortasietulti sfosseete 1 t se consideriamo XE O 9 c allora Kudo e EHI o se te o a 1 se t 70 o a fxltkfjd.cat o se c co 1 se E 70 Ve d i a m o allora che tu f Filt te C oro o u o too C punti di continuità d'Fx se tu too Xu È XEON di STUDIO Della CONVERG MEDIANTE FUNZ.CA 2at 2 VnEIN time R chimi è non_in a ftp.oasn st 9xncni fIire 1 se neo n o se UFO discontinua in Zero se an o Xu non converge.in legge I b an aaasn stooq.ae ge qui con in se non a o Xu 7 Xv Ela c Anastoasn st quini È 1 quel gu Xiao 4 4 E te in fa cinse della ciao Xv d'o III e xp log e log III e xp logli log f in 1 Es 17 sul medesimo spazio di probabilità siano date le successioni che v c Xu new Mutue con Xn rllt n.nl Yu 42 Studiarne le convergenze 9 c b in LP p 21 c in P d in 2 1 successione Intuitivamente mi aspetto che Xu NON sconvenga in legge per n t.co Infatti per me too il supporto della densità c si spalma su tutto Pi e l altezza della densità tende progressivamente a zero Formalmente la funzione caratteristica di X ULI n.nl per new fissato e l 4 4 si in o sin in nn n s reo µ Ora sincere tue e fu Finire o se ne O non 1 se ne 0 continua in in ree o Xu NON converge in legge Xu 9.0 l P 2 successione Oss Ya e f I 9 c Il candidato limite e 4 0 b sia Pz 1 E IM YIP Ellyn IIII al pettini È KIEL.mn laida 2h ftp eFdx n'da fuma pari 1 in reato i e Yu È YV pznas.ir C Per la convergenza in probabilita dobbiamo provare che VE o PC 1 Xu XI E o as n too ie VE o PC lXml E o as n zoo Possiamo usare Markov pillai E PC Hnl's E PCIyulpe.ee e KIP ZE 2 Nntp E E Elini ET I per b Oss Questa non e altro che la dimostrazione in in IX d Usiamo la funzione caratteristica AUER 4ynlnkqz.cn EIeiEY qn sin Er sin 1 nel 4 U2 in Sinn Hq 1 7 I n n too O sine e chance I 1 4 ri con Onda their Quindi Vn X O do as not Oss Bastava provare conti 9 c e in LP Infanti 9 c P 2 E Ca Dobbiamo provare che fa c it con Pla 1 s t Yu k i O A we a Yu k i Xuan V nEINXu UCE n.us ferimenti ie e 1,1 9 c ie PI I les 1 sia we A c wed l'Inter Plates Yu k i finito E 0 e questo vale area s t.PH 1 i e Yu e n È 0 Intuizioni euristiche Xn UEh.nl afxniakffcn.name per a too Xu 9 i 1 I 1 i i n N n n n Intuitivamente Yu e him ma per n to Xu invade tutto IR ma su R la d'str uniforme e sost.la misura d'Lebesgue MIR too n non posso avere una probabilità Xu non converge poi lo verifico formalmente Yu nnfl hit.it per n to Xu E di d finale 2h1 Eh n 1 I In In te se non se Intuitivamente sono nella situazione oppa a prima ma per µ sta Xu E di te 2 n In MI 1,1 n possiamo pensarlo come al riscalarnato in cui altezza e ampie supporto si bilanciano