Mathematical Engineering - Probabilità

Lezione 12

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LEGGE DEI GRANDI NUMERI E TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE 1 LEGGE DEI GRANDI NUMERI Thug sia infine una successione diva reali LT T tutte definite sul medesimo sp di prob i i d Sia MEIR Allora tu Eli E XD µ XT 41 a c In questo caso vale anche XT µ in Oss Xu i id inept µ EHI Te v a r a m in µ a c e in E 2 TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE Thug sia 3in ne una successione d'v c reali i i d con Xu El E XD µ varchi T Allora sn j.FI I z ott ONE con 2 urlo 1 Foss cosa ci DICONO LEN e TLC se LXnbnsucc.ci v c i id inflitta allora IGN XI µ 9 c e in li i e la successione delle medie camp tende ad una costante µ END per 9.0 West ie per 9.0 realizzare Te l Tn Xu µ E dico Ta Xu µ Edito con tre Va r u n il TCL ci dice a la velocità di convergenza di XT a µ µ b che la legge di XI µ per n too è una gaussiana In 1 Intuir i i i i I µ I µ ii 1 I Inter l l i 1 se 1 2 3 4 n n Per 9.0 realizzazione nel XIV I µ L rnfn nl octlo.tt CONVERGENZA ASINTOTICA Del sia In new una successione d'v c real sia ER Sia Lui una sua reale E c Un to as n too Diciamo che Xu a con velocita di convergenza on se 7 una v c T di S t Julia a IT as n too Oss sotto le condizioni dette sopra Fa G La successione Xu new di v c E asintoticamente normale ai parametri Q e 9hr2 9 0 Un too se online a chilo g scriveremo in ANCA OSI Xun Anca Eri Xu a con Ju nel dicono per result grande inedita 9hr2 ma non è automatico che tetti e a varchi e Es 1 consideriamo a prove di Bernoulli con probabilita di successo 0C pc 1 siamo quindi se 0,13N lo spazio campionario we pwn è Ed il generico esito d NEK K 1 la T algebra generata dagli eventi Eh wed Un 13 successo alla provati e sia P s t En µ risulti una famiglia di eventi 1 con Pier p A KEN chiniamo le v c Xu r IR co Xviii Un NEW 1 studiare al variare di p la convergenza 9.0 P Ln di a XI Xx media campionaria ke b Un E ci Tn sii È.ae tale Eletti varianza campionaria Osserviamo innanzitutto che in Bip Infatti pcxneakplfwerixucwf.is P En 1 Knew ma in particolare Xu e Len ne µ e una famiglia di v c indipendenti si infatti en e'una fan di eventi indipie da Xue then l'attenuare sull'indi di tu segue immediatamente Xs Xa Bip Ocp ci sappiamo allora anche che knew Xue Ehr V ps.se E ftp.p.vadxnt ph p Allora a Le ipotesi della LG N sono soddisfatte Quindi µ g c ie la media zampionaria tende 9 e In I µ e in 7 µ anomalia della distribuzione nei i m Sia f R R 7h flat sein z f è una funzione continua e si ha FLI Enti XI Grazie al punto la abbiamo allora che In È µ flirt Juli XI ftp ph p Fulmini I pin p XTG.it 7 per p c Ricordiamo che à as Abbiamo si Tn k XII dove io la varianza campionaria 9 c tende 9 c alla varianza XI 1 XI pin p della distribuzione 9 C I 1 Oss in realta 1 ht 1 certamente perche è una successione numerica allora si Inuit Iii pin p SI È pia p SI 7 ph p 2 Per le successioni sopraelencate convergent in legge ad una qualche costante studiare anche asintotica normalità e velocità di convergenza Per b c supporre p È a Le ipotesi del TCL sono soddisfatto quindi È 7 cercasi rn e NE p 7 chilo pin pl con velocità Fi b utilizziamo il METODO Delta sia Intime µ una sua di v c reali i i d con Xue L Ehm 1 Va r Xi T Sia go.IR R C e s t g µ 0 allora gltni OI.z cvco.is io T nANqnÈ Abbiamo fi.IR IR sin fin sein n no f a 1 22 e ftp 1 2P 70 p È Allora abbiamo che L Fi Xiii Fn pin pt dico ph plh.hr con velocita Tn c In questo caso usiamo la definizione di asintotica normalita con velocità di convergenza on e cerchiamo di sfruttare i risultati del punto b abbiamo info dal punto b SI n4 X successione numerica 9 c piu facile da sappiamo che sn pin p trattare ma studiamo il comportamento asintotica Liu legge di on sì pin pl cerchiamo di far comparire in Calì di cui conosci il comport a sintonico Poniamo Wu Xiii XI valsi pin d Julien Wu pin pt vinta Wu wntwn plr.pl e on 1 Un ton Wn pin pl on Wu ton Wu pin pt dico ph.pl r 2pl4 con velocità di conti È on Tu vediamo cosa succede al limite in legge dell'altro termine con Un Nn MI wnt f.tw So che Wu Juli sì 7 pin p Nn P 0 h 1 i FY Wn Io slot sky Quindi Vu si pin pt dico pin p n ap 52 Data una successioni di v c Xu new definite sul medesimo spazio di prob i i d e in tl si definisco Yu è Si mostri che la media geometrica delle Yu data da Yu t converge g c Ad una costante e se ne determini il valore Quando Xu e la V n.CN si studi asintotica normalita e velocità di convergenza Abbiamo che 1 II KY.fi e4teeteEY ext Siamo nelle ipotesi della IGN quindi E µ E Poiche f R R è una fune continua si ha arafia ex exit e Siamo nelle ipotesi di TCL quindi XI µ I cuori con te voiced Fa Essendo feci con film e o tre 0 S S possiamo usare il metodo di ex e I zndro.de re ie Tiff er Matera con velocità di convergenza ph Es 4 Dato una successione di v c Giu new indipendenti identicamente distribuite e in tl con ETÀ var Xu 1 studiare la convergenza in legge di Cai ÈY Èi Ein n ÈÈ Cominciamo con l osservare che siamo nelle ipotesi del TCL con µ 1 Thug sia 3in ne una successione d'v e reali a i i d con Xu El E XD µ varchi T Allora sn j.FI I z ott ONE con 2 urlo 1 Posto sui Xu abbiamo allora che sn ze.ci a si fa SÌ dove per n es Sir 7 dico 1 per Te l fa o fa o su D a feste Io Stutz lei b Sn n è urlo n per TCL Tu c Su R non converge Infatti supponiamo per assurdo che sn n IT allora 2 In sn n fu O z perche da via b sappiano che stutsky sn n Sn n 7T Tu Zullo fa o d Osserviamo che ti k KIEV since Xke ti e Ethel Va rc h e t t e t t i sta 2 inoltre XI 3k sono una successione di v c i i d perchè funzioni misurabili di v c iii al Quindi XE e µ sua dive iii d in l con Ethel L KK ma siamo quindi nella Hypo della LEN e quindi abbiamo E Ìn a E xie.sn Inoltre se consideriamo f Rt R amo fin 1 continua abbiamo che ti t.IE sia p Exit È asma Allora possiamo scrivere ke a È r Yu Zu sappiano che in If Zu I zu chilo pt b Yu Zu 7 Z nodo E stutski i e Xu n È euro fesa Si consideri la funzione reale di variabile reale false stoa 1h a con GEIR parametro a Determinare le R sit fa e una densità continua fol è una funzione misurabile foca citar fa a continua misurabile e misurabile falsetto tariffe r 70 1 torso tre C 1,1 0 2 2 l Oo il y. i t 02 O n 1 Y y 1in i y gente g sta 1 i i gestori gentler it can e 11 i A i I e E i a i z 0 0 ma funziona crescente ci c e 1 0220 V nefi.it Ocone fune decrescente i 04 jj Of 1 1 0 20 ti Xe End by Ea Oz 1 Infine per 0 0 la condizione e automaticamente soddisfatta v foto zo OEI 1 it sia OEI 1 it deve essere 1 fa folata atea da If da 1 E 1 Orfana dispari Quindi foto è una funzione di densità letti b calcolare te var della distribuzione con densità fa O µ fjkfolsddr tzf.irlttoxldr zf.ir dn se fune dispari L II Il'st'st e È vailxt EIXI E.IN 2 2 T 9 tfprfolnlda.Itff.in lrtOzdda 9 9 2 È rada t 41 3 1 si fuma pari 023 fune dispari i e.fi 03 Ta 3 Sia tu new una successione di v e definite sul medesimo spazio di probabilita i i d con densità fa c studiare la convergenza in E li q.c.PL di tua 3kt In L È ke dove Hutu iii d ftp.i.i.cl Hk Xue 1,11 9 c Xe limitate XKELPV pz.tk E XD 93 Va r u n 3 Per IGN abbiamo che in sì o 3K IO 3kt 70 Inoltre dato che Xu i i d e Keel KK vale anche in 4 3in o 3 7 40 d studiare asintotica normalità e velocita d convergenza di the 3kt Abbiamo che Alternativa si sarebbe potuto usare in 3 Fu zèfiro tu 3k III Esse dove posto Yu 3 Xu si ha Yu l i n iii d in LP Hp 71 con tre le Yu 0 Va r u n 3.0 Allora tu LÌ ha Tu siamo nelle ipotesi del TCL quindi II E dico 1 3 IN n ie Tu O 7 dico 3 à e i e Tu Tn 0 chilo 3 04 n Tu converge asintoticamente a 0 con velocita di convergenza mi iii d Cesti X K Xs PIO O o Un e In Yu LÌ Asino Zu E ftp az Xnt tXnI Supponiamo che tali v c siamo tutte definite sul medesimo spazio di prob a studiare la convergenza 9 c di Wu new 3hr3min Eh new Osserviamo innanzitutto che Knew Xue E con Elka O Va r u n ma possiamo applicare sia LEN che TLC per LEN In Iii 0 e In 40 sia f R IR sen è continua Allora Nn e in e o Osserviamo che ttkeiNIsxx.org Blei9Pl1sxu og 1 PlXn o e o Xun PIO Pulse cio Xu O ne µ sono v c indip Igneo µ Bce 9 e stanno in LP Hp 71 è la media campionaria allora Yu In Illinois di v c i i d Bce 9 dalla IGN segue allora cio Ricordiamo che in Es 7 e foglio 9 avevamo trovato che Zni E hqi.q.nl sn El fete Dalla IGN sappiamo che XT 0 cerchiamo di scriverci Zn in una forma migliore per studiare him n to f E ne expeogfn ffnt explkeogp.LY Per M too logli f 1 e In O E q.ci egli fine O soprietà con i f la a e 7 foto Zu e 9 fin l'Tout Zu b studiare asintotica normalità e velocità di convergenza delle successioni Wnlnein.LY neiN Eh neon Osserviamo che piano nelle ipotesi del TCL quindi È I chan i.e.vn o Iwio Ol velocità di convergenza rt ie In ANCO Per la successione 4Wh usiamo il METODO Delta sia Intime µ una succi di v c reali i i d con Xue L Ehm p w Va r Xi T Sia gi R R C e s t gi µ 7 0 allora gjyg znao.ae Consideriamo f IR IR se fise e se Abbiamo fila e a 7 o tre R e E_e d dico A in ie L vu Wu e dito ae 9 con velocità di convergenza Vu Yu è la media campionaria di v c i i d Bce 9 yn.ci TCL e.euotTErcon ie Mi Nn e 9 Euro e 91 e 91 con velocita di convergenza fà Abbiamo za Eulogia Oss Idea sappiamo Te l XT.jp E dico 1 Facciano un guess sul limite in legge di Tn XI log 1 fr e dimostriamolo Usiamo il metodo Detto su f Tn con fise è Definiamo quindi Tu XI logli fi e mostriamo che L trita a NO 0 Abbiamo rnltn d.vn xieogln hl 0 noi sappiamo il comportamento asini d XI O 1 cerchiamo di far apparire questo termine Tu t t i log f Il Tu t t i 0 rnf xifogp.fr haItrnlK I te In rnfeogp.edu mad IL T O 1ft slutty O NI Tn a I VIO 0 a questo punto possiamo scrivere za etnegli Il e Tn fltnlflsel e.si ed usiamo il metodo Delta fly e o film e 20 Zu e ti e We a h e vien e a Ino ae 9 con velocita di convergenza Nn