Mathematical Engineering - Probabilità

0 - Esercizi di ripasso

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizi ¶ 0 Esercizio 1.La legge congiunta delle variabili aleatorie discreteXedYe parzialmente descritta dalla seguente tabellaY = 2Y= 4X = 00 :10 :3 X= 10 :10 :4 X= 20 :6¬ Completare la tabella, dire seXedYsono indipendenti. ­Calcolare la legge, il valore atteso e la varianza condizionali diYdatoX= 0. ®Calcolare la legge, il valore atteso e la varianza condizionali diXdatoY= 2. ¯CalcolareE[XjY]. Esercizio 2.Sia(X; Y)un vettore aleatorio continuo con distribuzione uniforme sull'insieme V=n (x; y)2R2 :x0; y0; x2 +y2 9o : ¬Scrivere la densita congiunta di(X; Y). Le variabiliXedYsono indipendenti? ­CalcolareE[XjY](nota: evitare conti inutili). Esercizio 3.Si calcoliE[YjX]nel caso che la densita congiunta di(X; Y)sia f(x; y) =8 < :45 ( x+ 3y) e x2y x; y >0; 0altrimenti: Esercizio 4.Si consideri un vettore aleatorio(X; Y)tale cheXabbia distribuzione uniforme sul- l'intervallo[0;1]e, condizionatamente adX=x,Yabbia legge gaussiana di mediaxe varianza x2 . ¬Scrivere esplicitamente la densita condizionataf (YjX)( yjx). ­Scrivere esplicitamente la densita congiuntaf (X;Y)( x; y). ®CalcolareE[YjX]. ¯CalcolareE[Y]. °CalcolareVar [YjX]. ±CalcolareVar [Y]. Esercizio 5.Sia(X; Y)un vettore aleatorio continuo con fY( y) =8 < :(1 =2)1 =2 y 1=2 e y =2(1 =2)y > 0; 0y0;f XjY( xjy) = (2) 1=2 y1 =2 e y x2 =2 ; x2R: ¬Mostrare che per ogniy >0esisteE[XjY=y]; ­ mostrare che esisteE[E[XjY]]e se ne calcoli il valore; ®mostrare che tuttavia non esisteE[X]. Esercizio 6.Datenvariabili i.i.d.X 1; : : : ; X n, ove ciascuna di esse e una variabile d Bernoulli di parametrop, siaZla loro somma e siaY=X 1+ X 2 X 1X 2la variabile che indica se c'e stato almeno un successo nelle prime due prove. ¬CalcolareE[X 1j Z]eE[X 2j Z]ed i loro limiti pern! 1. ­Determinare la legge diY, calcolareE[YjZ]ed il suo limite pern! 1. Esercizio 7.SiaX nuna successione di variabili aleatorie i.i.d tali che, per ogni i P(X i> x )=( 1x1 x  x >1: dove >1 ¬Calcolare la densita della v.a.X i. ­Calcolare la media della v.a.X i. ®Determinare la legge della v.a.Y i= ln( X i) . ¯Studiare la convergenza della successione di v.a. (X 1X 2: : : X n)1 =n . Esercizio 8.SiaX 1; : : : ; X n; : : : un successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite di legge uniforme nell'intervallo[0; #], con# >0. ¬Calcolare, per ognin, la funzione di ripartizione della variabile aleatoriaT n= nmin(X 1; : : : ; X n) . ­Dimostrare che la successione di variabili aleatorieT 1; : : : ; T n; : : : converge in legge ad una variabileYe riconoscere la legge diY. Esercizio 9.Sia fX ng n2N una successione di variabili aleatorie tali che X n 2 (n)per ognin2N . La successioneX nn ammette limite? In quale senso? Esercizio 10.Sia(X; Y)un vettore aleatorio, discreto o continuo. Sianog(X)eh(Y)due variabili aleatorie funzioni diXedYrispettivamente. Mostrare che, quando esistono tutti i valori attesi coinvolti, ¬E[g(X)h(Y)jX] =g(X)E[h(Y)jX]; ­seXedYsono indipendenti, alloraE[h(Y)jX] =E[h(Y)]. Esercizio 11.Esibire un esempio di successione di variabili aleatorie per cui sussista convergenza in probabilita, ma non quasi certa. Esercizio 12.Esibire un esempio di successione di variabili aleatorie per cui sussista convergenza in legge, ma non in probabilita. Esercizio 13.La concentrazioneXdi una certa sostanza inquinante in un dato volume del gas di scarico di un processo industriale e uniformemente distribuita tra 0 e 1 mg/m3 . E stato elaborato un procedimento di depurazione che consente di ridurre la concentrazione di quella sostanza: sexe la concentrazione di inquinante in un dato volume di gas sottoposto a depurazione, la concentrazione Ydopo la depurazione e uniformemente distribuita tra 0 epxmg/m3 , dovep2(0;1)e un dato parametro. ¬Determinare la distribuzione congiunta diXeY. ­Determinare la distribuzione diY. ®Le due variabili sono indipendenti? ¯ Se e nota la concentrazioneYdi inquinante dopo la depurazione, qual e il valore atteso per la corrispondente concentrazioneXprecedente alla depurazione? Esercizio 14.Durante la stesura di un libro, una versione preliminare dell'opera viene riletta dal- l'autore. Sapendo che il numero di errori in una pagina e una variabile casuale con distribuzione di Poisson di parametro= 3, e che ogni errore viene scoperto (in una lettura) con probabilita p= 0:7, calcolare: ¬la legge del numero di errori scoperti in una singola pagina; ­il numero atteso di errori scoperti in una pagina; ®la probabilita che vengano scoperti due errori nella prima pagina, sapendo che ce ne sono al pi u tre. Esercizio 15.A due caselli autostradali, tra di loro indipendenti, il numero di automobili che arrivano ogni minuto, e descritto da due variabili aleatorieXeYche hanno legge di Poisson, rispettivamente di parametrie. ¬Calcolare la legge diN=X+Y. ­Calcolare la legge diXcondizionata aN=n. ®CalcolareE[XjN]. ¯Vericare cheE[X] =E[E[XjN]]. °CalcolareVar [XjN]. ±Vericare cheVar [X] =E[Var [XjN]] + Var [E[XjN]]. Esercizio 16.SianoXedYdue variabili di Bernoulli indipendenti di parametrop. SiaZ=1 (X+Y=0) l'indicatrice dell'eventoX+Y= 0. DeterminareU=E[XjZ]eV=E[YjZ]. Le variabiliUeVsono indipendenti? Esercizio 17.Sia(X n) una successione di variabili aleatorie indipendenti tutte di legge Poisson di parametro. Determinare, al variare di, il limite lim n!1P (X 1+


+X n< n ):