Mathematical Engineering - Probabilità

3 - Esercizi su UMVUE

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenzialiE(), >0, e siaX 1; : : : ; X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. (a) Si calcoli il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto diE [ X] = 1=basato sul campione. (b) Si mostri cheX ne un UMVUE per E [ X] = 1=. (c) A partire dalla statistica minfX 1; : : : ; X ng si costruisca un altro stimatore corretto perE [ X] = 1= e se ne calcoli l'errore quadratico medio. (d) Si confrontino i due stimatori. Esercizio 2.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [0 ; ], >0. (a) Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza die se ne calcoli la distorsione. (b) Si deduca da (a) uno stimatore corretto pere se ne calcoli l'errore quadratico medio. (c) La statistica trovata in (b) e un UMVUE per? (d) Soddisfa la disuguaglianza di Cramer-Rao? Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge normale N(; 2 ) di parametri sconosciuti. Si mostri che gli UMVUE per i seguenti parametri sono proprio gli stimatori indicati in tabella:ParametroUMVUE X n=1n n X i=1X i 2S 2 n=1n 1n X i=1( X iX n)2r n 12 [( n1)=2][ n=2]S nQuantile di ordine z rn 12 [( n1)=2][ n=2]S n+X nEsercizio 4. Dato un campione casualeX 1; : : : ; X n( n1) estratto da una popolazioneB(p),p2[0;1], si trovino gli UMVUE perpep2 . Esercizio 5. Dato un campione casualeX 1; :::; X nda una distribuzione N(;1), si vuole stimare() = 2 . (a) TrovareT nstimatore di massima verosimiglianza per 2 . (b) Trovare ^ n, stimatore corretto a varianza uniformemente minima per 2 . (c) Calcolare la varianza di ^ n. (Puo essere utile ricordare che il momento quarto di una variabile aleatoriaY N(m; s2 ) valeE[Y4 ] =m4 + 6m2 s2 + 3s4 :) (d) Mostrare che la varianza di ^ ne strettamente maggiore del limite di Cramer{Rao. Esercizio 6.Dato un campione casualeX 1; : : : ; X n, n2, estratto da una popolazioneN(; 2 ), si trovi lo stimatore di2 della formaS2 diminimoerrore quadratico medio. [T=n 1n +1S2 ] Esercizio 7.DatoX P(), >0, si consideri lo stimatore di() =P ( X= 0) = e  denito da T=I f0g( X). (a) Si mostri cheTe l'UMVUE di e  . (b) Si mostri cheTe addirittura l'unico stimatore corretto di e  . (c) Si mostri che l'errore quadratico medio diTnon raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao. [MSE( T) = e  (1e  )> e 2 per ogni >0] Esercizio 8.SiaXuna variabile aleatoria discreta che puo assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilita p(2) =12 ; p(0) = 2; p(2) =12 : (a) Per qualila funzioneprisulta una densita? [01=2] SiaX 1; : : : ; X nun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densita p. (b) Determinare l'espressione della funzioneftale che la funzione di verosimiglianza si scriva (2)n f(x 1;:::;x n) 12  f(x 1;:::;x n) . [f(x 1; : : : ; x n) =12 n X i=1j x ij ] (c) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per. [^ n=2 nP n i=1j X ij4 n] (d) E l'UMVUE?[S ] Esercizio 9.SiaX 1; : : : ; X nun campione di rango ndi variabili aleatorie indipendenti di densita f( x) =x 1 1(0;1)( x);  >0: (a) Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza^ ndi e se ne calcoli la distorsione. [^ n= nP n i=1log X i, di distorsione n 1] (b) Si deduca da (b) uno stimatore corretto pere se ne calcoli l'errore quadratico medio. [^ n= n 1P n i=1log X i, di MSE (^ n) = 2n 2] (c) Soddisfa la disuguaglianza di Cramer-Rao? [S ma non raggiunge il limite inferiore di FCR] (d) E' l'UMVUE?[S ] Esercizio 10.Sia (X 1; :::; X n) un campione casuale estratto da una distribuzione con densita: f(xj) =(1 +x) (1+) I(0;+1)( x); x2R;  >0: (a) Nel caso in cui >1;si stimicon il metodo dei momenti e se ne deduca uno stimatore di 1=: [^ = 1 + 1=X n,[ (1=) =X n= (1 +X n)] (b) Si trovino, se esistono, gli stimatori di massima verosimiglianza die di 1=: [MLE di=n=P log(1 +X i), MLE di 1 ==P log(1 +X i) =n] (c) Si trovi, se esiste, una statistica suciente e completa e se ne determini la distribuzione.[T=P log(1 +X i) (n; )] (d) Si trovino, se esitono, gli UMVUE die di 1=: [UMVUE di= (n1)=P log(1 +X i), UMVUE di 1 ==P log(1 +X i) =n] (e) Si determini il limite inferiore di Cramer-Rao per stimatori non distorti di 1=:[1=(n2 )] Si confronti questa quantita con l'errore quadratico medio dello UMVUE per 1=: Esercizio 11.Sia (X 1; :::; X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro  >0:Sia() =e  (1 +): (a) Trovare uno stimatore di massima verosimiglianza per():[(1 +X n)eX n ] (b) Trovare uno stimatore non distorto di():[P I[0;1]( X i) =n] (c) Trovare lo UMVUE di():[(1 +nn 1X n) 11n  nX n ] Esercizio 12.SiaX 1; :::; X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ) con >0. Si ha quindi f(xj) = 2 xe x= I(0;+1)( x): (a) Determinate una statistica suciente e completa per:[P Xi] (b) Determinate lo stimatore^ ndi massima verosimiglianza per . [X n= 2] (c) Mostrate che^ ncoincide con lo stimatore nottenuto col metodo dei momenti. (d) Qual e la legge di^ n? [(2 n;2n=)] (e)^ ne distorto? [No] (f )^ ne UMVUE? [S ] (g) Determinate lo stimatore ^2 ndi massima verosimiglianza per la varianza di X 1: [(X n)2 =2] Esercizio 13. SiaXuna variabile aleatoria a valori in (0;1) tale che log(X) abbia distribuzioneN(;1) conparametro reale incognito. OvveroXha distribuzione log-normale. Pern1;siaX 1; :::; X nun campione casuale dalla distribuzione diX: (a) Si calcoli la mediadiX:[= exp(+ 1=2)] (b) Si determini lo stimatoreT n= T n( X 1; :::; X n) di massima verosimiglianza per : [T n= exp(P logX i=n + 1=2)] (c) Si calcoli la distorsione diT nper stimare :[e +1=2 (e1 =(2n) 1)] (d) A partire daT n; si determini uno stimatoreW nche sia UMVUE per :[e 1=(2n) Tn] (e) Si calcoli l'informazione di FisherI():[I() =n=2 ] N.B. Puo essere d'aiuto ricordare la funzione generatrice dei momenti di unaN(; 2 ): per ognitreale m(t) = exp(t+ 2 t22 ) : Esercizio 14.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale di ampiezza n3 estratto da una popolazione bernoulliana di parametrop2[0;1]. SiaTil prodotto delle sole prime tre osservazioni, ovvero T=X 1X 2X 3: (a) Si mostri cheTe uno stimatore corretto dip3 . (b) Si calcoli l'errore quadratico medio diTe lo si confronti col limite inferiore di Cramer-Rao per gli stimatori corretti dip3 basati su un campione di ampiezzan3. (c) A partire daTsi trovi l'UMVUE perp3 basato su un campione di ampiezzan3. Esercizio 15.Dato un campione casualeX 1; : : : ; X nda una distribuzione di Bernoulli B(p), si consideri la statistica T(X 1; : : : ; X n) =( 1;seX 1= 1 ; X 2= 0 ; 0;altrimenti: (a) Vericare cheT(X 1; : : : ; X n) e uno stimatore non distorto della varianza 2 della distribuzione. (b) Giudicate interessanti le stime fornite daT(X 1; : : : ; X n)? (c) A partire daT(X 1; : : : ; X n), costruire l'UMVUE V(X 1; : : : ; X n) per 2 :