Mathematical Engineering - Probabilità

5 - Esercizi su test _28II parte_29

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Data la famiglia di leggi f(x;) =2 2 x
I(0;)( x); si vuole sottoporre a vericaH 0: = 0contro H 1: = 1, con 0 <  1<  0. Trovare un test piu potente di livellobasato su un campione di ampiezza 1 e calcolarne la potenza contro 1. Esercizio 2.Si trovi un test piu potente di livellobasato su un campione di ampiezza 1 per vericare H0: XN(0;1) controH 1: X C(1;0), ovveroXvariabile di Cauchy di mediana 0. Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una popolazione N(; 2 0), con 2Rincognito e 2 0> 0 noto. (a) Trovare un test piu potente di livelloperH 0: = 0contro H 1: = 1, con  1>  0. (b) Dedurre da (a) un test uniformemente piu potente di livelloperH 0: = 0contro H 1:  >  0. Esercizio 4.Per una variabileXsi consideri il modello statistico denito da f(x;) = x 1 ;0< x 1. (b) Il test trovato in (a) e distorto? (c) Per le ipotesi statistiche del punto (a), ssato 1> 1, si calcoli la potenza massima che puo avere un arbitrario test di livello. (d) Dedurre da (a) un test uniformemente piu potente di livelloperH 0: = 1 controH 1:  >1. Esercizio 5.Si trovi un test piu potente di livellobasato su un campione di ampiezza 1 per vericare H0: Xf 0contro H 1: Xf 1, dove f0( x) =e x2 =2p 2 ; f 1( x) =e j xj2 : Esercizio 6.Mostrare che un test basato sul rapporto di verosimiglianza per due ipotesi semplici e sempre un test di Neyman-Pearson. Esercizio 7.Si mostri che il modello statistico denito da f(x;) =1 [1 + (x)2 ];  2R; non ha rapporto di verosimiglianza monotono inX. Esercizio 8.Fissati due numeri naturalin < N, si mostri che il modello statistico ipergeometrico G(N ; M ; n), 0MN, ha rapporto di verosimiglianza monotono. Esercizio 9. Data la famiglia di leggi esponenzialiE(), >0, trovare un test uniformemente piu potente di livelloperH 0:  0contro H 1:  >  0basato su un campione di ampiezza n. Esercizio 10.Si consideri un campione casualeX 1; : : : ; X nda una popolazione U [0; ]
, >0. Per sottoporre a vericaH 0:  0contro H 1:  >  0, si consideri la regione critica R=n x(n)> (1)1 =n 0o : (a) Si verichi cheR ha dimensione e se ne calcoli la funzione potenza. (b) Il test dato daR e distorto? (c) Si mostri che il modello ha rapporto di verosimiglianza monotono rispetto aT=X (n). (d) Si deduca da (c) cheR denisce un test uniformemente piu potente di ogni test di livello per H0:  0contro H 1:  >  0. Per sottoporre a verica l'ipotesiH 0: = 0contro H 1: 6 = 0, si consideri la regione critica R0 =n x(n)< 1 =n 0o [n x(n)>  0o (e) Mostrare cheR0 denisce un test uniformemente piu potente di livello perH 0: = 0contro H1: 6 = 0. (f ) Il test dato daR0 e distorto? Esercizio 11.SiaRla regione critica di un test UMP di livelloperH 0: 2 0contro H 1: 2 1. Cosa accade di dimensione, livello e proprieta UMP se, ssato R, allarghiamo o restringiamo 1? Esercizio 12.SiaXun campione di ampiezza unitaria da una distribuzione con densita: f(xj) =2 2( x)I (0;)( x) con2(0;1):Si consideri il problema di prova delle ipotesi: H0: = 1 vs.H 1:  >1: (c) Fissato2(0;1);si costruisca la regione critica del test 1uniformemente piu potente di livello  e se ne calcoli la funzione potenza. Esercizio 13. Si consideri un'unica variabileXdescritta dal modello statistico f(x;) =e x  1 +ex 
2; 1< x 0. (e) Calcolare la potenza del test in (a) nel caso= 0:3. Esercizio 14.Si consideri un campioneXdi ampiezza 1 dal modello statistico f(x;) =12 e j xj ;1< x > < > > :1 mx m 1 e x m sex >0; 0 altrimenti oveme un numero naturale noto eun parametro positivo ignoto. Dato 0> 0;si determini la regione critica del test di livello2(0;1) uniformemente piu potente per vericare le ipotesiH0: = 0contro H 1:  >  0: