Mathematical Engineering - Probabilità

6 - Esercizi su IC

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenzialiE(), >0, e siaX 1; : : : ; X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare gli intervalli di condenza perdi livello = 1costruiti sulla base di: (a) test LR per= 0contro 6 = 0; (b) quantita pivotaleQ= 2P n i=1X i. Esercizio 2.Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;) =2 2( x);0< x < ; si trovino gli intervalli di condenza perdi livello = 1costruiti tramite: (a) test LR per= 0contro 6 = 0; (b) quantita pivotaleF ( X); (c) quantita pivotaleX=, scegliendo quello del tipo x; b(x)
. Quale intervallo scegliereste per una stima diad un livello = 0:95? Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [0 ; ], >0. Trovare gli intervalli di condenza perdi livello = 1costruiti tramite: (a) test UMP per= 0contro 6 = 0;h [x (n);  1=n x(n))i (b) quantita pivotaleX (n)= , scegliendo quello di ampiezza minima.h (x (n);  1=n x(n))i Esercizio 4.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una popolazione N(; 2 ). Si trovi un intervallo di condenza per2 di livello = 1nei casi (a)noto; (b)incognito. Esercizio 5.Si considerino i campioni casualiX 1; : : : ; X nda una popolazione N( 1; 2 ) eY 1; : : : ; Y mda una popolazioneN( 2; 2 ). Si trovi un intervallo di condenza per 1  2di livello = 1nei casi (a)noto; (b)incognito. Esercizio 6. SiaXuna singola osservazione da una beta(,1), f(x;) = x 1 I(0;1)( x);  >0: (a) Si trovi la legge diY=1log Xe si calcoli il livello di condenza dell'intervallo Y2 ; Y
per. (b) Si mostri cheX e una quantita pivotale e la si usi per costruire un intervallo di condenza per di livello arbitrario 2(0;1), scegliendo quello di ampiezza minima. (c) Si confronti l'intervallo Y2 ; Y
con l'intervallo trovato in (b) di pari livello. Esercizio 7.SiaX 1; :::; X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ) con >0. Si ha quindi f(x;) = 2 xe x= I(0;+1)( x): (a) Determinate una statistica suciente e completa per: (b) Determinate lo stimatore^ ndi massima verosimiglianza per . [^ n=X n= 2] (c) Mostrate che^ ncoincide con lo stimatore nottenuto col metodo dei momenti. (d) Qual e la legge di^ n? [^ n (2n;2n=)] (e)^ ne distorto? [No] (f )^ ne UMVUE? [S ] (g) Proponete un intervallo di condenza perdi livello 0.99. (continua ...) Esercizio 8.Si consideri il modello statistico f(x;) =12 e j xj ;1< x