Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 22/6/2018 COGNOME:______________________ NOME: ______________________ MATRICOLA o CODICE PERSONA: ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza espositiva. 1) In una popolazione di molluschi ciascun individuo vive 3 mesi, dopodiché si riproduce (deponendo in media 1728 uova) subito prima di morire. Le probabilità di sopravvivenza nei tre mesi di vita approssimativamente coincidono e valgono ������������ ������������=������������ 1=������������ 2=������������. a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere la stabilità del sistema per tutti i valori di ������������>0. c) Nel caso di asintotica stabilità, discutere il tempo di estinzione della popolazione e l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. d) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso che descriva l'immigrazione di adulti (seconda e terza classe d'età) dall'esterno, supponendo gli adulti immigrati si distribuiscano alla pari nelle due classi d'età relative, e una variabile di uscita che rappresenti il numero complessivo di adulti nella popolazione. e) Determinare la funzione di trasferimento e il modello ingresso/uscita in forma di equazione alle differenze. f) Utilizzando la funzione di trasferimento, determinare il numero di adulti a regime se ������������( ������������) =�������������=2500 e ������������=0.05. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 2) Si consideri il sistema seguente, avente stato 2 ) , (R y x∈ := =������������̇=������������( 1−������������) −������������ ������������̇=−2������������ a) Determinare gli stati di equilibrio al variare di ) , ( +∞ −∞ ∈p .= b) Studiare, per ogni p=per cui sia possibile, la stabilit� degli equilibri sopra determinati= mediante il metodo di linearizzazione.== c) Nei due casi 0=p =e 1=p , discutere il quadro delle traiettorie descrivendone gli elementi= fondamentali (eventuali equilibri e loro variet� stabili/instabili, alcune traiettorie non= rettilinee).= _________________________________________________________________________= Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 3) I diagrammi di Bode in figura (modulo e fase) sono stati ricavati mediante una serie di prove effettuate su un'apparecchiatura per trasmissione dati. L'apparecchiatura è utilizzata per la trasmissione di segnali digitali (sequenze di bit 0 o 1), un esempio dei quali (sequenza alternata ...101010...) è in figura. La durata di un bit (vedi figura) è pari a ������������ secondi, per cui la frequenza di trasmissione (bit/secondo) è pari a ������������=1/������������. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con le prove sperimentali sopra riportate. b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta allo scalino del sistema. c) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente il segnale di uscita dell'apparecchiatura quando l'ingresso è la sequenza ...101010... in figura, nei casi in cui ������������=100, 1000, e 10000 (bit/secondo). _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: -40 -30 -20 -10 0 Magnitude (dB) 101 102 103 104 105 106 107 -90 -45 0 45 90 Phas e (deg) Frequenc y (rad/s ec ) c) 4) La risposta allo scalino rilevata sperimentalmente su un sistema è quella riportata in figura. Si sono inoltre effettuate tre rilevazioni sperimentali applicando un ingresso sinusoidale del tipo ������������( ������������) = ������������ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: ≤ 0 | --3π/4 | = π/4 > 0 5) ATTENZIONE: per questo quesito, discutere e motivare (sinteticamente ma rigorosamente) le SOLE risposte corrette, rifacendosi agli opportuni risultati teorici. I due sistemi A e B a tempo discreto, descritti dalle funzioni di trasferimento: ) 5 . 0 )( 5 . 0 () 1 . 0 ( 2 + −− = z zz G A = )5.0 )(5.0 ( )2.0 (2 i z i z z GB + − − = = =[1]=sono entrambi esternamente stabili== =[2]=sono entrambi instabili= =[3]=uno � instabile e l�altro esternamente stabile= =[4]=non vi � sufficiente informazione per discutere la stabilit�= = Il movimento libero dell�uscita= =[1]=� monotono per entrambi= =[2]=presenta oscillazioni per entrambi= =[3]=presenta oscillazioni per l�uno ma non per l�altro= =[4]=tende per entrambi al valore 2= = = 6)== Per il sistema=������������̇=������������ Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro]: 5) 6) 7)