Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 11/1/2019 COGNOME:______________________ NOME: ______________________ MATRICOLA o CODICE PERSONA: ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza espositiva. 1) In una popolazione di insetti ciascun individuo vive esattamente 3 settimane. Alla fine della seconda settimana di vita avviene la riproduzione, durante la quale ogni individuo depone in media ������������ uova. La probabilità di sopravvivenza nella prima settimana di vita vale 0.001, nelle successive due settimane vale 0.1. a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di ������������>0. c) Discutere l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. d) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso che descriva l'immigrazione di adulti (seconda e terza classe d'età) dall'esterno, supponendo gli adulti immigrati si distribuiscano alla pari nelle due classi d'età relative, e una variabile di uscita che rappresenti il numero di uova deposte. e) Determinare la funzione di trasferimento e il modello ingresso/uscita in forma di predizione. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 2) Si consideri il sistema in figura, in cui il blocco B ha funzione di trasferimento ������������( ������������) = 1/(������������+2), il blocco C è un integratore, e il blocco A moltiplica per 2 il segnale d'ingresso. a) Determinare le funzioni di trasferimento tra i due ingressi ������������ e ������������ e l'uscita ������������. b) Discutere la stabilità delle funzioni di trasferimento determinate al punto precedente. c) Determinare (qualitativamente) l'andamento dell'uscita a fronte degli ingressi ������������( ������������) = ������������������������������������(������������) e ������������( ������������) =−������������������������������������(������������−15). _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 3) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore ed il blocco B è descritto dal modello I/O ������������̈ ������������+2������������̇ ������������+11������������ ������������=������������̇ ������������. Si consideri dapprima il sistema SENZA il collegamento tratteggiato: a) Verificare che il sistema è asintoticamente stabile. b) Determinare il tempo di risposta e discutere l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. Si consideri ora il sistema CON il collegamento tratteggiato: c) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema, esprimendola in funzione delle funzioni di trasferimento ������������ ������������ e ������������ ������������ dei blocchi A e B. d) Discutere la stabilità del sistema. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui s s C 1.0 )( = = 1 10 )( + = s s G = = a) Discutere la stabilit� del sistema di controllo, determinando il valore della pulsazione critica e del margine di fase.= b) Determinare (anche in modo approssimato) la banda passante ed il tempo di risposta del sistema di controllo.= c) Determinare l�errore a regime quando ) ( ) (t sca t w=, ) 1 . 0 sin( 1 . 0 ) ( 5 . 0 ) (t t sca t d+ =.= _________________________________________________________________________= Soluzione [se necessario proseguire sul retro]: 5) Con riferimento al sistema dinamico lineare (������������,������������, 3 = dT secondi. Se al sistema viene applicato l�ingresso ) 2 sin( 10 ) (t t u=, a regime [1] l�uscita vale 0, qualunque sia il sistema [2] l�uscita vale 0, se e solo se il sistema ha guadagno 0 = µ [3] l�uscita � una sinusoide di pulsazione 2 = ω , per ogni )0(x [4] l�uscita � una sinusoide di pulsazione 2 / 2π = ω, per ogni )0(x (scegliere - e motivare - la risposta corretta) 7) Illustrare i comandi Matlab per simulare l'andamento dell'uscita del sistema dinamico ������������( ������������+1) =�− 11 20.5� ������������( ������������) +�1 0� ������������( ������������) ������������( ������������) =[ 2−1] ������������( ������������) +3������������(������������) partendo dalla condizione iniziale ������������( 0) =[ −12] ������������, su un orizzonte di ������������=10 unità di tempo, con ingresso costante ������������=2. Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro]: 5) 6) 7)