Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 8/5/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In una popolazione di insetti ciascun individuo vive esattamente 3 settimane, dopodiché si riproduce (deponendo in media f uova) subito prima di morire. Le probabilità di sopravvivenza nelle 3 settimane di vita valgono: 001. 0 0 = s, 1 . 0 2 1= =s s . a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di 0 > f . c) Nel caso di asintotica stabilità, discutere il tempo di estinzione della popolazione e l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. d) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso che descriva l’immissione di uova dall’esterno e una variabile di uscita che rappresenti il numero di insetti della 3° classe d’età. e) Determinare la funzione di trasferimento. f) Utilizzando la funzione di trasferimento, determinare il numero di insetti della 3° classe d’età a regime se 6 10 ) (= =u t u e 3 10 = f . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore, il blocco B è descritto dal modello I/O B B B B B u u y y y5 11 2− = + + & & & & , ed il blocco C è descritto da [] 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 4 31 1 2 10 0 4 00 0 1 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = c b A a) Verificare che il sistema è asintoticamente stabile. b) Determinare il tempo di risposta e discutere la presenza di oscillazioni nel movimento libero. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema non lineare 1 2 1 )) 2 exp( 1 ( 2x x x− − − = & , 2 1 2 2x x x− = & . a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione. c) Tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno di uno (a scelta) degli stati di equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Enunciare il criterio di stabilità di Hurwitz. 5) Per il sistema )( x f x = & , definire i concetti di equilibrio asintoticamente stabile, di bacino di attrazione e di equilibrio globalmente stabile. 6) Specificare le finalità del comando Matlab lsim , fornendo un esempio di istruzione in cui è utilizzato. Risposte ai quesiti 4-5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: