Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 2° prova parziale, 3/7/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOL A: ________________________ AVVERTENZ A In base al la norm ativa in vi gore, i n assenza di rinunci a espl icita una votaz ione posi tiva sarà regi strata d’uffi cio senz a la firma dello studente e non sarà pi ù m odi ficabi le dal docent e. I risultati della prova, così com e le m odalità pe r la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Gi ovedì 9/ 7 (sito web del docent e). I candi dat i pot ranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito com plessivo dell’esam e: Venerdì 10/ 7 ore 10-12, uffi cio del docente (DE I, 2 pi ano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere ripor tate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Il diagram ma di Bode del m odulo di un sistem a lineare è riportato nella figura seguente. Si è rilevato, inoltre, che lo sfasam ento introdotto dal sistem a tende a ) 2 ( π − per ∞ → ω . a) Determ inare la funzione di trasferim ento del sistem a. )(s G b) Determ inare (qualitativam ente) la risposta all’im pulso e rappresentarla graficam ente, discutendo in particolare il tem po di risposta e la presenza di oscillazioni o estrem i. c) Discutere la stabilità del sistem a della f igura a lato, in cui è la funzione di trasferim ento ricavata al punto a). )(s G ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 2) Un segnale digitale viene trasm esso attraverso un am plificatore che ha funzione di trasferim ento ) 002.0 exp( 10 5 2000 10 )( 6 2 9 s s s s G − × + + = . Il segnale trasm esso, applicato all’ingresso dell’am plif icatore, è costante per tratti di durata 0.01[ s], al valore [V] se si vuole trasm ettere un bit 1, al valore 0 se si vuole trasm ettere un bit 0. 3 10 5 − × Determ inare qualitativam ente e rappresentare graf icam ente il segnale in uscita al dispositivo, qualora la sequenza di bit trasm essa sia la seguente: [infiniti zeri] …00000 1011 00000… [infiniti zeri] ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 3) Si consideri il sistem a di controllo in figura, in cui ) 1)( 10 1)( 100 1( 1.0 )( +s s. + s =s G + . a) Determ inare un controllore , con esattam ente 1 polo e 1 zero, tale che: )(s C • il sistem a di controllo sia esternam ente stabile; • l’errore a transitorio esaurito dovuto al riferim ento costante sia nullo; • il tem po di risposta sia (approssim ativam ente) pari a 5. b) Per il sistem a di controllo così ottenuto, calcolare il m argine di fase e la banda passante. c) Determ inare l’errore a transitorio esaurito dovuto al disturbo ) 01.0 sin( 10 )( t t d + = . ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 4) Per il sistem a , definire le nozioni di stato raggiungibile, sottospazio di raggiungibi\ lità e sistem a com pletam ente raggiungibile. bu Ax x + =& 5) Teorem a di assegnam ento degli autovalori per la ricostruzione dello stato. 6) Specificare le finalità del com ando Matlab step , fornendo un esem pio di istruzione in cui è utilizzato. Ri sposte ai quesi ti 4-5-6 [se necessari o prosegui re sul retro ]: