Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 15/9/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOL A: ________________________ AVVERTENZ A In base al la norm ativa in vi gore, i n assenza di rinunci a espl icita una votaz ione posi tiva sarà regi strata d’uffi cio senz a la firma dello studente e non sarà pi ù m odi ficabi le dal docent e. I risultati della prova, così com e le m odalità pe r la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro L unedì 21/ 9 (sito web del docent e). I candi dat i pot ranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito com plessivo dell’esam e: Gi ovedì 24/ 9 ore 10-12, uffi cio del docente (DE I, 2 pi ano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere ripor tate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Conto Lim one è un’azienda di credito che concede finanziam enti ad im prese. I f inanziam enti in essere sono classificati in due categorie: 1 = elevata af fidabilità; 2 = scarsa af fidabilità Ogni m ese, in base alle inform azioni su lla solidità delle im prese, una f razione ijα dei finanziam enti di categoria i viene riclassificata in categoria j, m entre un’ulteriore frazione iβ diviene parte delle “sofferenze” (finanziam enti “non più riscuotibili”). Infine, ogni m ese Conto Lim one concede nuovi finanziam enti per un am montare com plessivo , di cui il 90% di categoria 1. I dati del problem a sono i seguenti: )(t u 8.0 11 = α - 1.0 12 = α - 2.0 21 = α - 7.0 22 = α - 0 1= β - 1.0 2= β a) Descrivere il fenom eno in esam e m ediante le e quazioni di stato di un sistem a dinam ico a tem po discreto. b) Discutere la stabilità del sistem a, il suo tem po di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. Definendo l’uscita com e l’am montare delle nuove sofferenze m aturate nel m ese t: )(ty c) Determ inare il m odello ingresso/uscita (equazione alle differenze o funzione di trasfer\ im ento). d) Utilizzando tale m odello, determ inare l’am montare totale delle nuove sofferenze all’equilibrio se ogni m ese vengono erogati prestiti per 100000 euro com plessivi. ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 2) Si consideri il sistem a a tem po continuo Σ descritto da [] 0 0 1 1 0 0 2 5 0 1 0 0 0 2 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = Σ Σ Σ c b A a) Studiare la stabilità del sistem a Σ, discutendo anche la presenza di oscillazioni nel m ovim ento libero. b) Determ inare le costanti di tem po ed il tem po di risposta del sistem a Σ. c) Determ inare la funzione di trasferim ento del sistem a Σ. d) Determ inare la f unzione di trasf erim ento e la terna di m atrici che descrivono il sistem a descritto in f igura. ),, ( c b A ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistem a a tem po discreto, in cui viene m isurata (=uscita) la seconda variabile di stato. )( )( 3 )1 ( )( )( 2 )1 ( 2 1 2 1 1 t x t x t x t u t x t x − = + + −= + a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilit\ à. b) Se possibile, progettare un regolatore (ricostruttore asintotico dello stato + legge di controllo) in cui, a f ronte di ingresso costante, lo stato di e quilibrio venga raggiunto in circa 5 istanti di tem po. ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 4) Si consideri il sistem a di controllo in f igura, in cui s s C µ =)( , ) 1.0 1)( 1( ) 10 1( 10 )( s s s s G + + + = . a) Determ inare un valore del coefficiente µ che garantisca la stabilità del sistem a del controllo, con r il valore di un m argine di fase di circa 45°. b) Pe µ determ inato al punto precedente, specificare la pulsazione critica e stim are il tem po di risposta del sistem a di controllo. c) Sem pre per lo stesso valore di µ , determinare l’errore a transitorio esaurito quando il riferim ento ________________________________________ __________________________________ w è costante e il disturbo vale )1.0 sin( ( t d = . )t Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 5) Teorem a di sovrapposizione delle cause e degli effetti. 6) Teorem a di separazione nella sintesi del regolatore. 7) Specificare le finalità del com ando Matlab margin , fornendo un esem pio di istruzione in cui è utilizzato.