Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 4/5/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un’azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchine tra loro uguali. Sono note le probabilità che una macchina incorra in un guasto nel corso di un anno, in relazione alla sua età. età da 0 a 1 anno da 1 a 2 anni da 2 a 3 anni da 3 a 4 anni Prob. guasto 0 0.1 0.2 0.3 In caso di guasto, la macchina viene eliminata poiché la riparazione non è conveniente. Ogni macchina viene comunque eliminata al compimento del quarto anno di attività, in quanto obsoleta. a) Descrivere l’evoluzione nel tempo dell’insieme delle macchine mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui Q:P; indichi il numero di nuove macchine acquistate e U:P; il totale di macchine in servizio. b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. d) Si ipotizzi ora che l’attività di ciascuna macchina frutti un profitto annuo L e che il costo per l’acquisto di una nuova macchina sia ?. Modificare il modello precedente, assumendo che l’azienda spenda ogni anno per l’acquisto di nuovi macchinari esattamente la frazione 0 O� O1 del profitto ottenuto. e) Studiare la stabilità del sistema ottenuto al punto c), ponendo ? LL e � L0.1. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore ed il blocco B è descritto dal modello I/O U7$ E2U 6$ E 11U $ LQ 6$. Si consideri dapprima il sistema SENZA il collegamento tratteggiato: a) Verificare che il sistema è asintoticamente stabile. b) Determinare il tempo di risposta e discutere l’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. Si consideri ora il sistema CON il collegamento tratteggiato: c) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema, esprimendola in funzione delle funzioni di trasferimento ) � e ) � dei blocchi A e B. d) Discutere la stabilità del sistema. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema non lineare a tempo continuo di ordine J L2: T6 5 L2exp: FT 5; F2 ET 6 T6 6 LT 66 F4T 6 E3 a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione. b) Tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno degli stati di equilibrio. c) Esistono traiettorie rettilinee per questo sistema non lineare? Che comportamento asintotico hanno le traiettorie con T 6: 0; P3 ? __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Discutere il concetto di guadagno in un sistema lineare :#, >, ?; (o ):O;) a tempo continuo: definizione, calcolo dal modello interno ed esterno, casi critici. 5) Specificare la relazione, esistente in un sistema lineare con ingresso costante, tra stabilità, esistenza ed unicità dell’equilibrio, e comportamento asintotico. 6) In ambiente Matlab, sono state definite le matrici :#,>,?,@; relative ad un sistema a tempo discreto di ordine J L3. Scrivere la sequenza di istruzioni che permette di calcolare lo stato e l’uscita di equilibrio quando l’ingresso Q è costante e vale Q L F2. Risposte ai quesiti 4-5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: