Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 2° prova parziale, 6/7/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un sistema meccanico è descritto dal seguente modello di stato, in cui :T 5,T 6; rappresentano, rispettivamente posizione e velocità. T6 5 LT 6 T6 6 L FT 5 FT 6 EQ U LT 5 a) Studiare la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità del sistema. b) Progettare un ricostruttore dello stato il cui errore di stima si annulli in circa 0.1 secondi. c) Progettare una legge di controllo che porti il sistema a regime in circa 1 secondo. d) Verificare se è possibile controllare il sistema con una retroazione diretta (statica) dall’uscita, cioè Q LGU, verificando se esistono valori di G per cui il sistema è asintoticamente stabile. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema in figura, in cui ) 5: O; L6:O F 0.5; :O F 2; 6 , ) 6: O; L1 1 EO a) Studiare la stabilità del sistema da ciascuno dei due ingressi. b) Determinare (qualitativamente) l’andamento di U:P; se Q 5: P; L O?=:P; e Q 6: P; L O?=:P F 5; (=scalino applicato all’istante 5). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui ): O; L1000 : 1 E 100O; :1 E O; , %: O; L=:1 E >O; :1 E 0.1O; a) Determinare la coppia di coefficienti =, > in modo tale che il sistema di controllo sia esternamente stabile, con margine di fase di circa 45° e tempo di risposta di circa 0.5. b) Determinare la banda passante del sistema di controllo. c) Si supponga ora che S sia costante al valore 10, e che @ sia costante ma di valore non noto (positivo o negativo). Determinare il massimo valore di |@| sopportabile dal sistema qualora si voglia garantire un errore a regime in modulo non superiore a 1. d) Calcolare (anche in modo approssimato) l’errore a regime dovuto al disturbo @: P; L sin :0.01P;. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Sistema esternamente stabile: definizione. 5) Dato un sistema di controllo, discutere, in funzione del tipo D della funzione di trasferimento d’anello .:O;, l’errore a regime dovuto a un disturbo additivo in uscita costante. 6) Illustrare la sequenza di comandi da digitare, una volta avviato Matlab, per visualizzare la risposta allo scalino del sistema ): O; L10:1 F 10O; : 1 EO; :1 E 2O; 6 Risposte ai quesiti 4-5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: