Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 13/7/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Sabato 17/7 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Lunedì 19/7 ore 14.30-16, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 4 FdA1 4 FdA1 4 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) I sottoscrittori di polizze RC auto “bonus/malus” stipulate da una compagnia di assicurazione sono suddivisi in 4 categorie. Ad ogni rinnovo annuale, un cliente che non abbia causato sinistri passa nella categoria inferiore (resta nella 1 se già lo era), mentre un cliente che abbia causato sinistri passa nella categoria superiore (resta nella 4 se già lo era). Tutti i nuovi clienti sono comunque inquadrati nella categoria 4. In base alle statistiche relative agli ultimi anni, è noto che ogni anno il 10% dei clienti di ogni categoria causa un sinistro. Inoltre, un ulteriore 5% dei clienti di ogni categoria disdetta la polizza per passare a un’altra compagnia. a) Descrivere il fenomeno in esame mediante un sistema dinamico nel quale l’uscita y rappresenti il numero di clienti di categoria 1 e l’ingresso u il numero di nuovi clienti. b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore, il blocco B è descritto dal modello ingresso/uscita: U7 � E2U6 � E 11U � LQ6 � F5Q � , e il blocco C è descritto dal modello interno: # L f F2 1 0 0 0 F40 0 12 F11 340 F2 j > L f1 0 0 0 j ? L> 0001? . a) Discutere la stabilità di ciascuno dei blocchi A, B, C (nota bene: è lecito confondere poli ed autovalori). b) Discutere (motivatamente) la stabilità del sistema complessivo in figura. ________________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema: T6 5 LT 5 FT 66 T6 6 L FT 5 F2T 6 a) Determinare gli stati di equilibrio. b) Studiarne la stabilità, classificando la tipologia (p.e.: nodo stabile, sella, …) di ciascun equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Mediante esperimenti su un circuito elettrico si sono ricavati i seguenti diagrammi di Bode del modulo e della fase (nota bene: la scala usata per la fase è del tutto equivalente a quella usuale: 360°=0°, 270°= - 90°, …). a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i diagrammi di Bode. b) Determinare, ricavando dai diagrammi di Bode le informazioni necessarie, l’uscita a transitorio esaurito quando Q: P; L F10 Esin: 0.3P; E sin :100P F� 8 ; c) Determinare, in modo qualitativo, la risposta allo scalino e la risposta all’impulso, discutendo anche il tempo di risposta del sistema. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequenc y (rad/s ec ) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 0 90 180 270 360 Phas e (deg) 5) Si consid e blocchi A trasferime n A(s) = 10/ ( a) Determ i sistema. b) Discute r c) Determ i l’ingresso u _______ _ Soluzione [s eri il siste m A e B nto (1+s) 2 B(s ) inare la fu n re la stabili t inare (qual i u(t) è la fu n _________ _ e necessario p ma in figu r hanno f u ) = exp(-5s) nzione di t tà esterna d e itativament e nzione rapp r ________ _ proseguire sul ra, in cui i unzione d i trasferimen t el sistema. e) l’andam e resentata in ________ _ retro ]: i i to comples s ento di y(t) figura. ________ _ siva del quando _________ _________ _________ _________ __ 6) Enunciare il criterio di Hurwitz per la stabilità di T6 L#T. 7) Enunciare il criterio di Bode per la stabilità di un sistema di controllo. 8) In Matlab, si vogliono tracciare i diagrammi di Bode del sistema definito da # LB F1 2 0 F2C > L B0 1C ? L> 10? Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 6) 7) 8)