Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 3/9/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 6/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 7/9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) All’inizio di ogni anno la Milano Express (“consegna rapida di documenti”) acquista una certa quantità di ciclomotori per dotarne i propri addetti alle consegne. La probabilità che un ciclomotore subisca un guasto grave è funzione della sua età, secondo la tabella seguente. anno di vita 1° 2° 3° 4° prob. 0.1 0.2 0.4 0.5 I ciclomotori guasti vengono rottamati, poiché la riparazione non è conveniente, così come quelli che compiono quattro anni. a) Descrivere il fenomeno in esame mediante un modello di stato, in cui u(t) indica il numero di nuovi ciclomotori acquistati all’inizio dell’anno t e y(t) indica il numero totale di ciclomotori in dotazione alla Milano Express. b) Determinare il numero totale di ciclomotori in dotazione a regime se, ogni anno, ne vengono acquistati 10 nuovi. c) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e la possibile esistenza di oscillazioni. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il seguente sistema non lineare: 2 2 1 3 1 2 1 22 1x x x px x xx x + + + − = = & & Per ogni valore di p ( +∞ < < ∞ − p ): a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità mediante linearizzazione. c) Preso un valore di p a piacere che rende uno degli equilibri asintoticamente stabile, disegnare il quadro delle traiettorie nell’intorno di tale equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si conside blocchi B e a) Determ i b) Deter m risposta e l c) Determ i unitario (r i _______ _ Soluzione [s ri il sistem a e C hanno, r inare la fun z minare qual i l’esistenza d inare la ri s ispettivame n _________ _ e necessario p a rapprese n rispettivam zione di tra s itativament e di oscillazi o sposta all’i n nte positiv o ________ _ proseguire sul ntato in fig u ente, funzi o sferimento c e la rispo s oni. ngresso in f o o negativ o ________ _ retro ]: ura, in cui i one di trasf e complessiv a sta all’imp u figura, in c o). ________ _ il blocco A erimento (B a del siste m ulso, discu t cui ciascun a _________ _ contiene u 1 /( 10 ) (s + = ma. tendo in p a a freccia r a ________ _ un integrat o 2) s + e s C( articolare i l appresenta u ________ _ ore mentre i s e− = ). l tempo d i un impuls o ________ _ i i o _ 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui µ= ) (s C ) 1 . 0 1 () 1 ( 10 ) ( s ss s G +− = a) Determinare un valore del coefficiente 0 > µ che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, specificando i valori ottenuti per il margine di fase, la pulsazione critica ed il tempo di risposta del sistema di controllo. Utilizzando il valore di µ determinanto al punto precedente: b) Determinare l’errore a transitorio esaurito dovuto a un riferimento w costante. c) Determinare l’errore a transitorio esaurito dovuto a un disturbo )100 sin( ) (t D t d = . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) I due sistemi S1: ) , , (1 1 1c b A e S2: ) , , (2 2 2c b A sono asintoticamente stabili. Discutere la stabilità dei tre sistemi ottenuti aggregando S1 e S2, rispettivamente, in cascata, parallelo e retroazione, motivando i risultati. 6) Enunciare le definizioni di stato raggiungibile, di insieme di raggiungibilità e di sistema completamente raggiungibile. 7) In Matlab, si vogliono tracciare i diagrammi di Bode del sistema definito da [] 0 1 10 2 02 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − =c b A. Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)