Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 4/2/2011 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Martedì 8/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Mercoledì 9/2 ore 15-16, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA1 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un fondo di previdenza integrativa offre ai propri aderenti tre diversi profili di accumulazione: (1) aggressivo, (2) bilanciato, (3) prudente. All’atto della sottoscrizione, ciascun aderente deve scegliere uno di questi profili e, una volta l’anno, ha la possibilità di cambiare profilo oppure di abbandonare il fondo. Negli anni passati, le percentuali iα di nuovi aderenti che hanno scelto il profilo i (i=1,2,3) e le percentuali ijβ di aderenti al profilo i che ogni anno sono passati al profilo j sono state mediamente le seguenti: [] [] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 50 0 010 50 010 20 70 20 40 40 ij iβ α a) Descrivere il fondo previdenziale attraverso un sistema dinamico, nel quale l’uscita y rappresenta il numero totale di aderenti al fondo, mentre l’ingresso u indica il numero di nuovi aderenti. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico ottenuto al punto 1). c) Determinare il tempo di risposta del sistema. d) Supponendo 1500 ) (= =u t u, determinare il numero totale di aderenti al fondo nel lungo periodo. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura: I blocchi A e B hanno funzione di trasferimento s s G A + = 110 ) (, ss s G B 10 11 . 0 1 ) ( + + =, il modello ingresso/uscita relativo al blocco C è dato da C C Cu y y& &1 . 0 2 = + , mentre il blocco D è descritto dalla terna di matrici [] 0 1 032 1 2 0 00 1 02 3 1 =⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = DD Dcb A . a) Discutere la stabilità del sistema aggregato. b) Determinarne il tempo di risposta. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Il seguente sistema dinamico modellizza la diffusione nel mercato di un prodotto di largo consumo. In particolare, 1x rappresenta il numero di acquirenti potenziali mentre 2x è il numero di acquirenti effettivi all’istante t. 2 2 2 1 22 2 2 1 1 2 1 x x x xx x x x − α =+ α − = & & a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema, in funzione di α , verificando che esiste un unico equilibrio per ogni 0 > α. b) Studiare la stabilità di tale equilibrio, mediante linearizzazione, al variare di 0 > α. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Il diagramma di Bode in figura è stato ricavato mediante una serie di esperimenti su un sistema lineare, consistenti nell’applicare ingressi ) sin( ) (t U t u ω = a diversa frequenza e nel rilevare, a transitorio esaurito, le caratteristiche dell’uscita ) sin( ) (ϕ + ω =t Y t y. Si è rilevato, inoltre, che lo sfasamento π − → ϕ2 quando ∞ → ω . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati degli esperimenti. b) Determinare (qualitativamente) la risposta all’impulso del sistema avente la funzione di trasferimento determinata al punto a). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Nota la funzione di trasferimento )(z G di un sistema a tempo discreto, come si può studiare il funzionamento all’equilibrio e verificare l’asintotica stabilità del sistema? (Si supponga sia lecito confondere poli con autovalori.) 6) Enunciare la definizione di sistema esternamente stabile. Data una funzione di trasferimento, qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in questione sia esternamente stabile? 7) A cosa serve la funzione Matlab acker ? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)