Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 6/5/2011 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un dipartimento amministrativo gli impiegati sono inquadrati in quattro livelli stipendiali (1,2,3,4). Ogni anno, una frazione ia )10(< < ia di impiegati di livello 3,2,1 =i viene promossa al livello ( i+1), mentre una frazione ib )10(< < ib di impiegati di livello 4,3,2,1 =i lascia la struttura. Ogni anno viene inoltre assunto un numero u di nuovi impiegati, tutti inquadrati al livello 1. a) Descrivere la struttura del personale del dipartimento mediante un sistema dinamico, in cui l’uscita y indichi il numero di impiegati al livello più alto (livello 4). Specificare, in particolare, le matrici ),,,( dcb A . b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche la possibile esistenza di oscillazioni. Si pongano ora (NON PRIMA) 1.0= = i ib a per ogni i. c) Determinare il modello ingresso/uscita del sistema. d) UTILIZZANDO IL MODELLO INGRESSO/USCITA, determinare l’uscita di equilibrio corrispondente ad un numero costante 10 )(= =u tu di assunzioni. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui
  =1  − 1    =1  +  − 2    =1  +  +  − 1 mentre   γ sono coefficienti reali. a) Determinare, motivando adeguatamente la risposta, per quali valori della terna (   γ ) il sistema in figura è asintoticamente stabile. b) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema, esprimendola in funzione di terna
     γ . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema a tempo continuo di ordine  = 2 , che rappresenta la dinamica di due popolazioni caratterizzate da competizione intraspecifica e cooperazione interspecifica ("simbiosi"): =  −   +    =  −  +   a) Determinare gli stati di equilibrio non negativi del sistema. b) Studiarne la stabilità con il metodo di linearizzazione, classificando inoltre gli equilibri come nodo, fuoco, o sella. c) Determinare il quadro delle traiettorie nell'intorno degli stati di equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Enunciare i criteri di asintotica stabilità, semplice stabilità e instabilità per sistemi lineari a tempo discreto , specificando se si tratta di condizioni necessarie e/o sufficienti. 5) Esprimere il guadagno in funzione delle matrici ,    che definiscono il modello di stato, sia per sistemi a tempo continuo che discreto. 6) Dato lo schema Simulink in figura, determinare la funzione di trasferimento tra l'ingresso u e l'uscita y (si ignori l'ingresso di disturbo d). Risposte ai quesiti 4-5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: [tracce di soluzione nella prossima pagina] 4) X (-t ...1 ) = A)( (r) ) 0-' ( A ) = i ~ 11 ~ Z I " " 'A~ J A o..~'r)-to-r,·~~Te.. staJo;Le.. ~) 1 ').~ I< -1 if,' A i""sta....b .. Le.. ~ 3i: 11)..~l~1 A in~toJo .. ~ ~ I~~l~1 v: a.. I~~I =1 bi :> -1 ret" a..lme.no un G COn ~: I= "1 A s~r~·veme..t'\-te ~t"o..-b;Le.. ~ I'A~ l'" -1 "dl: 3~:I"~l=1 6,'=-1 v : : It.X~ I:: 1 d,w'e,.. b; e" I~ mo(tl~·e;.,·-t'cC J,.; ~I' rvaA r0l...noh-vt.·o ~I·I\I·""'O. G(~) = c (~I-A)-16i"d JA= G(O) ,:=-cA--fb+ d Gel!') = C Car- A)-1 b T J .1""= G(-i) =c.(r-A)-"b+d G (.s ) -~----~--- --- ~-~--~ ----- ~--~------