Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 13/7/2011 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Martedì 19/7 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Mercoledì 20/7 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - E' vietato l'uso di qualunque strumento di calcolo. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un processo produttivo è composto da 4 stadi in cascata, in cui ciascun pezzo rimane esattamente 6 ore. I flussi di materiale sono rappresentati nello schema seguente: La frazione di pezzi che riciclano in ogni stadio è
= 2 , la frazione di pezzi scartati  = 1 . IGNORARE MOMENTANEAMENTE I COLLEGAMENTI TRATTEGGIATI a) Rappresentare il processo produttivo mediante un sistema dinamico a tempo discreto (specificando anche le matrici    ), in cui  rappresenti il numero di nuovi pezzi in lavorazione e  il numero di pezzi finiti con successo. b) Discutere la stabilità del sistema. c) Dal momento in cui si interrompe l'alimentazione di nuovi pezzi, dopo quante ore il processo produttivo si svuota? INSERIRE ORA I COLLEGAMENTI TRATTEGGIATI I collegamenti tratteggiati portano una frazione  = 1 dei pezzi uscenti dagli stadi 3 e 4, rispettivamente. d) Specificare le matrici    del nuovo processo produttivo così ottenuto. e) Discutere la stabilità del sistema. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Il sistema  =  possiede 4 stati di equilibrio, le cui matrici Jacobiane sono le seguenti: = 1  2    =  1 1 0 0   =  0  2 0   =  0 2 2 0 a) Discutere la stabilità dei 4 equilibri. b) Nei casi in cui ciò è possibile, tracciare il quadro locale delle traiettorie nell'intorno dello stato di equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Mediante una serie di esperimenti su un sistema lineare a tempo continuo, asintoticamente stabile, si sono ricavati i diagrammi di Bode (modulo e fase) riportati in figura. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati degli esperimenti. b) Determinare (in modo qualitativo) la risposta del sistema all'ingresso rappresentato nella figura seguente (la linea verticale con freccia simboleggia un impulso unitario). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -30 -20 -10 0 10 20 Magnitude (dB) 10-2 10-1 100 101 102 103 -180 -90 0 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequenc y (rad/s ec ) 4) Si consideri il sistema lineare a tempo continuo rappresentato in figura, in cui ( ) =1 1 +  "( ) = #$%  a) Determinare le 4 funzioni di trasferimento tra i 2 ingressi ,  e le 2 uscite ,   e discuterne la stabilità esterna. b) Determinare l'espressione a transitorio esaurito delle 2 uscite ,   quando vengono simultaneamente applicati gli ingressi = &'( ) , = ( (per la componente sinusoidale, specificare esplicitamente la modalità di calcolo di modulo e fase). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Con riferimento a un sistema lineare a tempo discreto, definire il guadagno, fornire la sua espressione in funzione di ,   , discutere in quali casi non è ben definito. 6) Dato un sistema di controllo con funzione di trasferimento d'anello )  , enunciare il criterio di stabilità di Bode. 7) Stai studiando, con l'aiuto di Matlab, il sistema definito dalle matrici ,  . Hai digitato i comandi >> A=[10 5; 0 –2]; >> b=[0; 1]; >> det(ctrb(A,b)) e ottieni come risultato -5 Quale conclusione puoi trarre? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: