Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 5/9/2011 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Giovedì 8/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Venerdì 9/9 ore 14.30-16, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - E' vietato l'uso di qualunque strumento di calcolo. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Conto Limone è un’azienda di credito che concede finanziamenti ad imprese. I finanziamenti in essere sono classificati in due categorie: 1 = elevata affidabilità; 2 = scarsa affidabilità. Ogni mese, in base alle informazioni sulla solidità delle imprese, una frazione ijα dei finanziamenti di categoria i viene riclassificata in categoria j, mentre un’ulteriore frazione iβ diviene parte delle “sofferenze” (finanziamenti “non più riscuotibili”). Infine, ogni mese Conto Limone concede nuovi finanziamenti per un ammontare complessivo , di cui il 90% di categoria 1. I dati del problema sono i seguenti: )( tu 8.0 11 = α - 1.0 12 = α - 2.0 21 = α - 7.0 22 = α - 0 1= β - 1.0 2= β a) Descrivere il fenomeno in esame mediante le equazioni di stato di un sistema dinamico a tempo discreto. b) Discutere la stabilità del sistema, il suo tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. Definendo l’uscita come l’ammontare delle nuove sofferenze maturate nel mese t: )( ty c) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione alle differenze o funzione di trasferimento). d) Utilizzando tale modello, determinare l’ammontare totale delle nuove sofferenze all’equilibrio se ogni mese vengono erogati prestiti per 100000 euro complessivi. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. Il blocco A ha funzione di trasferimento 1 1 )( − = s sG A , il blocco D è descritto dal modello ingresso/uscita , il blocco C dal modello di stato seguente: DDDuyy& & −=+ 2 [] 111 1 1 1 110 110 321 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − =cb A a) Proporre, per il blocco B, una qualunque funzione di trasferimento di ordine 1 che renda il sistema aggregato asintoticamente stabile (spiegando con cura perché l’aggregato risulta asintoticamente stabile). c) Con il blocco B prima proposto, determinare TUTTE le costanti di tempo del sistema aggregato e quindi il suo tempo di risposta. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Una serie di prove effettuate su un sistema esternamente stabile ha permesso di determinarne il diagramma di Bode del modulo, riportato in figura. Si è rilevato inoltre che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a per . π2 − ∞→ ω a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati delle prove sperimentali. )( sG b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta del sistema all’ingresso in figura, prestando particolare attenzione ai tempi di risposta e all’esistenza o meno di oscillazioni. ________________________________________________________________________\ ________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Il sistema di controllo in figura ha la seguente funzione di trasferimento d’anello: ) 10 1 )( 1(100 )( sss sL ++ = μ a) Studiare la stabilità del sistema di controllo nel caso , verificando che è instabile. 1 = μ b) Determinare un valore del coefficiente che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase di circa 45 gradi. 0 > μ Con il valore di proposto al punto b): μ c) Determinare la banda passante del sistema di controllo e stimare il tempo di risposta. d) Calcolare l’errore a regime complessivo dovuto ai tre ingressi , , . 100 )(= tw ) 01 .0 sin( 10 )( 1 t td = 5)( 2 = td ________________________________________________________________________\ ________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) E’ dato il sistema non lineare a tempo discreto ))(()1( txftx = + ed è noto un suo equilibrio x. Illustrare il metodo di linearizzazione per l'analisi della stabilità dell’equilibrio, specificando con precisione quali informazioni possono essere ricavate utilizzando tale metodo. 6) Enunciare la definizione di sistema esternamente stabile. Data una funzione di trasferimento di un sistema a tempo continuo o discreto, qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in questione sia esternamente stabile? 7) Dopo aver aperto Matlab, qual è la sequenza di comandi da digitare per visualizzare la risposta allo scalino del sistema 2)1()101(10 )( ss sG +− = ? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)