Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 20/9/2011 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Martedì 27/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Giovedì 29/9 ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un fondo previdenziale suddivide i propri aderenti in tre classi, in base alla loro età: (1) da 20 a 40 anni, (2) da 40 a 60 anni, (3) oltre 60 anni. Gli aderenti di classe (1) e (2) versano ogni anno al fondo, rispettivamente, 2000 e 3000 euro, mentre quelli di classe (3) percepiscono dal fondo β euro all’anno. Ogni anno, una certa frazione ijα di aderenti di classe i passa, per ragioni anagrafiche, alla classe j ( iiα è quindi la frazione che rimane nella classe i). I coefficienti ijα sono riportati nella tabella seguente. [] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 6.0001.08.00 005.09.0 ijα Infine, ogni anno il fondo recluta un certo numero di nuovi aderenti, esclusivamente di classe (1). a) Descrivere l’evoluzione nel tempo della popolazione degli aderenti al fondo previdenziale mediante un sistema a tempo discreto, in cui u(t) sia il numero di nuovi aderenti nell’anno t e y(t) sia il numero complessivo di aderenti al fondo. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico proposto al punto 1. c) Determinare, per ciascuna classe anagrafica, il numero di aderenti al fondo nel lungo periodo, nell’ipotesi che il numero di nuovi aderenti sia pari a 1000 ogni anno. d) Aggiungere al modello un’ulteriore equazione di stato, la quale rappresenti l’evoluzione nel tempo della cassa del fondo previdenziale (nell’ipotesi che il capitale in cassa ad inizio anno benefici di un interesse bancario del 5%). e) Determinare la quota β erogabile annualmente agli aderenti di classe (3) nell’ipotesi che la popolazione sia nelle condizioni di equilibrio determinate al punto c), e si voglia mantenere costante la cassa del fondo previdenziale al valore di 1.000.000 euro. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Il seguente sistema modellizza la relazione tra due gruppi sociali (di consistenza e ), il primo dei quali, nell’acquisizione delle proprie risorse, beneficia dell’interazione con l’altro gruppo (simbiosi). La quantità rappresenta il flusso di risorse dall’esterno (). 1x 2x p 0 > p )2(1211xxxx −= & , )(2222xpxx −= & . a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema in funzione di . p b) Studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione. c) Posto , tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno di uno (a scelta) degli stati di equilibrio. 2 = p __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento seguente: 100 1.010 )( 2 ++ + = ss s s sG a) Determinare la risposta all’impulso e rappresentarla graficamente. b) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Supponendo che l’ingresso applicato al sistema valga )10sin(2)( t tu = , determinare l’andamento dell’uscita a transitorio esaurito. ________________________________________________________________________\ ________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui μ = )( sC )1001)(101)(1( 1000 )( sss sG +++ = a) Determinare un valore del coefficiente μ che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase pari a circa 45°. Utilizzando il valore di ricavato al punto a): μ b) Determinare l’errore a regime dovuto al riferimento costante. w c) Determinare (anche in modo approssimato) la banda passante e il tempo di risposta del sistema di controllo. c) Determinare (anche in modo approssimato) l’errore a regime dovuto al disturbo )10sin(5)( t td = . ________________________________________________________________________\ ________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Definizione di sistema "a memoria finita". 6) Teorema di assegnamento degli autovalori per la ricostruzione dello stato. 7) Si vuole discutere la completa raggiungibilità del sistema descritto da ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =6 5 43 21 b A . Una volta aperto Matlab, quali sono i comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)