Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 4/5/20 12 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 7 7 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un processo produttivo composto da 3 stadi in cascata, ogni pezzo rimane in lavorazione in ciascuno stadio per 1 ora . Al termine, la frazione dei pezzi lavorati passa allo stadio successivo (o termina la lavorazione se al 3 ° stadio), la frazione deve ripetere la lavorazione dello stadio corrente, la rimanente frazione viene scartata. a) Descrivere il processo produttivo m ediante un sistema dinamico, in cui l’uscita y indichi il numero di pezzi terminati mentre l'ingresso u indichi il numero di pezzi messi in lavorazione . b) Studiare la stabilità del sistema , determinando anche il tempo di risposta . c) Determinare lo stato e l'uscita all'equilibrio in funzione dell'ingresso (costante) . d) Proporre una legge di controllo lineare (controllore) che stabilisca il numero di pezzi da mettere in lavorazione in funzione del numero di pezzi t erminati, allo scopo di mantenere costante il flusso in uscita determinato al punto (c) rispetto a possibili disturbi di processo (non modellizzati). e) Posti e , d eterminare almeno un valore (diverso da zero) del parametro della legge di cont rollo che renda il sistema (processo produttivo + controllore) asintoticamente stabile [Attenzione! Verificare la stabilità con un qualunque criterio formale: determinare gli autovalori con una calcolatrice non è sufficiente...] ___________________________ _______________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco è descritto dalla terna di matrici dove è un parametro reale. a) Studiare la stabilità del sistema in figura al variare di , sia con interruttore aperto che chiuso . b) Tracciare il quadro delle traiettorie (con ingresso nullo) per , sia con interruttore aperto che chiuso . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema a tempo continuo di ordine : , dove è un parametro reale. a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema in funzione di e rappresentarli nel piano . b) Studiare la stabilità degli equilibri per ogni valore di , utilizzando quando possibile il metodo di linearizzazione. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri un sistema in cui ha polinomio caratteristico . Quali informazioni , riguardanti le proprietà di stabilità del sistema, si possono dedurre dalla sola conoscenza de l segno (o al più del valore nullo) dei coefficienti ? 5) Definire il concetto di sistema "a memoria finita", specificandone le proprietà del movimento libero e dello spettro della matrice . E' possibile estendere il concetto di sistema "a memoria finita" al caso a tempo continuo? 6) In ambiente Simulink si vu ole simulare un sistema del tipo , . Completare lo schema seguent e con i collegamenti opportuni. Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: 6)