Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 11/ 9/2012 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Venerdì 14/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Lunedì 17/9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un fondo previdenziale suddivide i propri aderenti in tre classi, in base alla loro età: (1) da 20 a 40 anni, (2) da 40 a 60 anni, (3) oltre 60 anni. Gli aderenti di classe (1) e (2) versano ogni anno al fondo, rispettivamente, 2000 e 3000 euro, mentre que lli di classe (3) percepiscono dal fondo  euro all’anno. Ogni anno, una certa frazione di aderenti di classe i passa, per ragioni anagrafiche, alla classe j ( è quindi la frazione che rimane nella classe i). I coefficienti sono riportati nella tabella seguente. Infine, ogni anno il fondo recluta un certo numero di nuovi aderenti, esclusivamente di classe (1). a) Descrivere l’evoluzione nel tempo della popolazione degli aderenti al fondo previdenziale mediante un sistema a tempo discreto, in cui u(t) sia il numero di nuovi aderenti nell’anno e y(t) sia il numero complessivo di aderenti al fondo. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico proposto al punto 1. c) Determinare, per ciascuna classe anagrafica, il numero di aderenti al fondo nel lungo periodo, nell’ipotesi che il numero di nuovi aderenti sia pari a 1000 ogni anno. d) Aggiungere al m odello un’ulteriore equazione di stato, la quale rappresenti l’evoluzione nel tempo della cassa del fondo previdenziale (nell’ipotesi che il capitale in cassa ad inizio anno benefici di un interesse bancario del 5%). e) Determinare la quota  erogabile ann ualmente agli aderenti di classe (3) nell’ipotesi che la popolazione sia nelle condizioni di equilibrio determinate al punto c), e si voglia mantenere costante la cassa del fondo previdenziale al valore di 1.000.000 euro. __________________________________ ________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ij ii ij              6.0 0 0 1.0 8.0 0 0 05.0 9.0 ij t 2) Il seguente sistema modellizza la relazione tra due gruppi sociali (di consistenza e ), il primo dei quali, nell’acquisizione delle proprie risorse, beneficia dell’interazione con l’altro gruppo: , . La quantità rappresenta il flusso di risorse dall’esterno ( ). a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema in funzione di . b) Studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione. c) Posto , tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno di uno (a scelta) degli stati di equilibrio. _______________ ______ ______________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1x 2x ) 2 ( 1 2 1 1 x x x x    ) ( 2 2 2 2 x p x x    p 0p p 2 p 3) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento seguente: a) Determinare la risposta all’impulso e rappresentarla graficamente. b) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Supponendo che l’ingresso applicato al sistema valga , determinare l’andamento dell’uscita a transitorio esaurito. _________________________________________________________ ________ _______________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 100 1.0 10 )( 2     s s s s s G ) 10 sin(2 )( t t u  4) Il sistema di controllo in figura ha la seguente funzione di trasferimento d’anello: a) Studiare la stabilità del sistema di controllo nel caso , verificando che è instabile. b) Determinare un valore del coefficiente che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase di circa 45 gradi. Con il valore di proposto al punto b): c) Determinare la banda passante del sistema di controllo e stimare il tempo di risposta. d) Calcolare l’errore a regime complessivo dovuto ai tre ingressi , , . ______________________________________ ______ ______________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 10 1)( 1( 100 )( s s s s L     1  0   100 )(  t w ) 01.0 sin( 10 )(1 t t d  5 )(2  t d 5) Enunciare le definizioni di stato raggiungibile, di insieme di raggiungibilità e di sistema completamente raggiungibile. 6) Teorema di assegnamento degli autovalori per la ricostruzione dello stato. 7) In ambiente Matlab, a cosa serv e il comando lsim e quali argomenti richiede? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) Serve a calcolare il movimento dello stato e/o dell'uscita di un sistema lineare , a fronte di ingresso specificato. Gli argomenti richiesti sono: il sistema dinamico (definito come modello interno o esterno), l'orizzonte di tempo in cui realizzare la simulazione, la funzione d'ingresso e lo stato iniziale .