Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 17/9/2012 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Venerdì 21 /9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Lunedì 24 /9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Conto Limone è un’azienda di credito che concede finanziamenti ad imprese. I finanziamenti in essere sono classificati in due categorie: 1 = elevata affidabilità; 2 = scarsa affidabilità Ogni mese, in base alle informazioni sulla solidità delle imprese, una frazione dei finanziamenti di categoria i viene riclassificata in categoria j, mentre un’ulteriore frazione diviene parte delle “sofferenze” (finanziamenti “non più riscuotibili”). Infine, ogni mese Conto Limone concede nuovi finanziamenti p er un ammontare complessivo , di cui il 90% di categoria 1. I dati del problema sono i seguenti: - - - - - a) Descrivere il fenomeno in esame mediante le equazioni di stato di un sistema dinamico a tempo discreto. b) Discutere la stabilità del sistema, il suo tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. Definendo l’uscita come l’ammontare delle nuove sofferenze maturate nel mese t: c) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione alle differenze o funzione di trasferimento). d) Utilizzando tale modello, determinare l’ammontare totale delle nuove sof ferenze all’equilibrio se ogni mese vengono erogati prestiti per 100000 euro complessivi. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ij i )(t u 8.0 11   1.0 12   2.0 21   7.0 22   0 1  1.0 2  )(t y 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. I blocchi A e B sono descritti dalle funzioni di trasferimento , , il blocco C è descritto dal modello ingresso/uscita , il blocco E è descritto dal modello di stato a) Proporre arbitrariamente un blocco D di ordine 2 tale che il sistema aggregato sia asintoticamente stabile. b) Utilizzando il blocco D proposto, determinare il tempo di risposta del sistema aggregato, discutendo anche l’eventuale presenza di oscillazioni nelle risposte ad ingresso costante. c) Utilizzando il blocco D proposto, discutere la stabilità del sistema aggregato nel caso il modello ingresso/uscita del blocco C venga sostituito dal seguente: _______________ ______ ______________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1 10 )(   s s GA 2 )(   s s s GB C C C C C u u y y y 2 4 4         1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 4 1 1 0 3 2 1 2 2 0 0 0 1                                    c b A C C C C C C u u y y y y 2 4 4          3) Una serie di prove effettuate su un sistema esternamente stabile ha permesso di determinarne il diagramma di Bode del modulo, riportato in figura. Si è rilevato inoltre che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a per . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati delle prove sperimentali. b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta del sistema all’ingresso in figura, prestando particolare attenzione ai tempi di risposta e all’esistenza o meno di oscillazioni. ________________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2    )(s G 4) Si consideri il seguente sistema a tempo continuo: a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Progettare un ricostruttore asintotico dello stato tale che l’errore di stima vada a zero (approssimativamente) in 0.1 unità di tempo. c) Progettare una legge di controllo tale che il sistema controllato (sistema + ricostruttore dello stato progettato al punto precedente + legge di controllo) abbia un tempo di risposta pari (approssimativamente) a 1 unità di tempo. ______ ___________________________ ____ _____________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2 2 1 2 2 1 1 2 2 x y x x x u x x x         5) E’ dato il sistema non lineare a tempo discreto ed è noto un suo equilibrio . Illustrare il metodo di linearizzazione per l'analisi della stabilità dell’equilibrio, specificando con precisione quali informazioni (e come) possono essere ricavate utilizzando tale metodo. 6) Quanto vale il margine di fase di un sistema di controllo con funzione di trasferimento d’anello (con ) ? 7) In Matlab, si vuole tracciare il grafico della risposta all’impulso del sistema definito da . Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) ))( ( )1 ( tx f tx   x s s L / )(   0   0 1 1 0 2 0 2 1             c b A