Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 8/2/2013 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un commerciante all’ingrosso acquista in grande quantità forme di Parmigiano Reggiano all’inizio di ogni anno per poi rivenderle dopo esattamente tre anni di stagionatura, nel corso dei quali il formaggio perde ogni anno circa il 10% del proprio peso. I prezzi (€/kg) di acquisto e di vendita sono c e p. a) Descrivere l’attività in esame mediante un sistema lineare a tempo discreto (specificando chiaramente il significato delle variabili di stato), in cui u sia la spesa per l’acquisto e y il ricavo della vendita. b) Calcolare l’equilibrio in funzione di u e discutere la stabilità del sistema, la possibilità di oscillazioni ed il tempo di risposta. c) Determinare il modello ingresso-uscita del sistema. d) Determinare il rapporto p/c tra prezzo di vendita e di acquisto tale per cui, all’equilibrio, ogni anno il ricavo è pari al doppio della spesa. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il seguente sistema non lineare: 2 2 1 3 1 2 1 22 1x x x px x xx x + + + − = = & & Per ogni valore di p ( +∞ < < ∞ − p ): a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità mediante linearizzazione. c) Preso un valore di p a piacere che rende uno degli equilibri asintoticamente stabile, disegnare il quadro delle traiettorie nell’intorno di tale equilibrio. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Mediante una serie di esperimenti su un sistema lineare a tempo continuo, asintoticamente stabile, si sono ricavati i diagrammi di Bode (modulo e fase) riportati in figura. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati degli esperimenti. b) Determinare (in modo qualitativo) la risposta del sistema all'ingresso rappresentato nella figura seguente (la linea verticale con freccia simboleggia un impulso unitario). __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -30 -20 -10 0 10 20 Magnitude (dB) 10-2 10-1 100 101 102 103 -180 -90 0 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequenc y (rad/s ec ) 4) Si consideri il sistem a di controllo in f igura, in cui s s C µ =)( , ) 1.0 1)( 1( ) 10 1( 10 )( s s s s G + + + = . a) Determ inare un valore del coefficiente µ che garantisca la stabilità del sistem a del controllo, con r il valore di un m argine di fase di circa 45°. b) Pe µ determ inato al punto precedente, specificare la pulsazione critica e stim are il tem po di risposta del sistem a di controllo. c) Sem pre per lo stesso valore di µ , determinare l’errore a transitorio esaurito quando il riferim ento ________________________________________ __________________________________ w è costante e il disturbo vale )1.0 sin( ( t d = . )t Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 6) Enunciare il criterio di Hurwitz per la stabilità di T6 L#T. 7) Enunciare il criterio di Bode per la stabilità di un sistema di controllo. 8) In Matlab, si vogliono tracciare i diagrammi di Bode del sistema definito da # LB F1 2 0 F2C > L B0 1C ? L> 10? Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5-6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 6) 7) 8)