Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 17/7 /201 3 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 22 /7 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 23/7 ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 5 6 5 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Si consideri la rete elettrica in figura, in cui e . a) Scrivere le equazioni di stato e di uscita, considerando come variabile di uscita la corrente nell'induttore. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di . c) Alla rete elettrica a riposo viene applicato l'ingresso costante a partire da . Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema, nei due casi e . d) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. e) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta allo scalino e la risposta all'impulso del sistema nel caso . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. Il blocco A ha funzione di trasferimento , il blocco D è descritto dal modello ingresso/uscita , il blocco C dal modello di stato seguente: a) Proporre, per il blocco B, una qualunque funzione di trasferimento di ordine 1 che renda il sistema aggregato asintoticamente stabile (spiegando con cura perché l’aggregato risulta asintoticamente stabile). c) Con il blocco B prima proposto, determinare TUTTE le costanti di tempo del sistema aggregato e quindi il suo tempo di risposta. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1 1 )(   s s GA D D D u y y    2  1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 3 2 1                        c b A 3) In figura è rappresentata la risposta allo scalino unitario (applicato in ) rilevata sperimentalmente su un sistema. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con la rilevazione sperimentale. b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta all'impulso del sistema ottenuto mettendo in cascata a il sistema con funzione di trasferimento __________________________________________________ _______ ________ _______________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) I diagrammi di Bode in figura (modulo e fase) sono stati ricavati mediante una serie di prove effettuate su un'apparecchiatura per trasmissione dati. L'apparecchiatura è utilizzata per la trasmissione di segnali digitali (sequenze di bit 0 o 1), un esempio dei quali (sequenza alternata ...101010...) è in figura. La durata di un bit (vedi figura) è pari a secondi, per cui la frequenza di trasmissione (bit/secondo) è pari a . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con le prove sperimentali sopra riportate. b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente il segnale di uscita dell'apparecchiatura quando l'ingresso è la sequenza ...101010... in figura, nei casi in cui , 1000, e 10000 (bit/ secondo) . ____________________________________ ___ ___________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -40 -30 -20 -10 0 Magnitude (dB) 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 -90 -45 0 45 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 5) Dato un sistema di controllo con funzione di trasferimento d'anello , enunciare il criterio di stabilità di Bode. 6) Enunciare la definizione di sistema esternamente stabile. Data una funzione di trasferimento di un sistema a tempo continuo o discreto, qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in questione sia esternamente stabile? 7) Dopo aver aperto Matlab, qual è la sequ enza di comandi da digitare per visualizzare la risposta allo scalino del sistema ? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) 2) 1( ) 10 1( 10 )( s s s G   