Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 5/9/ 201 3 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 9/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 10/9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) I telefoni cellulari diffusi tra la popolazione si possono suddividere in “Ultima Generazione (UG)” (immessi sul mercato da meno di 1 anno), “Penultima Generazione (PG)” (da 1 a 2 anni) e “Altre Generazioni (AG)” (oltre 2 anni). Ogni anno, una nuova generazione compare sul mercato, il 30% dei cellulari UG, il 50% dei PG, e l’80% dei AG si guasta e viene eliminat o. Tutti i nuovi cellulari venduti sono UG. a) Descrivere l’evoluzione nel tempo dell’insieme dei telefoni cellulari mediante un sistema dinamico a tempo discreto (modello di stato) , in cui rappresenta il numero di nuovi cellulari venduti nell’anno e il numero complessivo di cellulari esistenti (specificare chiaramente il significato delle variabili di stato scelte ). b) Discutere la stabilità asintotica del sistema. c) Discutere la raggiungibilità e l'osservabilità del sistema. d) Determinare il modello ingresso/uscita. e) Discutere la stabilità esterna del sistema. f) Determinare il numero complessivo di cellulari a regime, nell’ipotesi che ogni anno vengano venduti complessivamente 100000 nuovi cellulari. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t u t )(t y 2) Si consider i il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. Il blocco A contiene un integratore ( ) mentre il blocco B è descritto dal modello ingresso/uscita Il blocco C è descritto dal modello di stato a) Studiare la stabilità del sistema aggregato al variare di ( ), discutendo anche l’eventuale esistenza di oscillazioni nelle risposte a ingresso costante. b) Per i valori di per cui il sistema è asintoticamente stabile, determinare tutte le costanti di tempo e il tempo di risposta. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: A A u y   B B B B B u u y y y 6 4 12          1 1 2 1 1 1              C C C c b p p A p     p p 3) Si consideri il sistema in figura. a) Discutere la stabilità del sistema. b) Tracciarne i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Determinare (in maniera qualitativa) la risposta allo scalino del sistema e rappresentarla graficamente. d) Deter minare (NON utilizzando il diagramma di Bode ma il calcolo esplicito) l’ampiezza dell’uscita a regime quando . Confrontare il risultato ottenuto con quello (approssimato) ricavabile utilizzando il diagramma di Bode. __________________________________________________ _______ ________ _______________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 10 sin( )( t t u  4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui a) Determinare un valore del coefficiente che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase pari a circa 45°. Utilizzando il valore di ricavato al punto a): b) Determinare l’errore a regime dovuto al riferimento costante. c) Determinare (anche in modo approssimato) la banda passante e il tempo di risposta del sistema di controllo. c) Determinare (anche in modo approssimato) l’errore a regime dovuto al disturbo . ____________________________________ ___ ___________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]:  ) (s C ) 100 1)( 10 1)( 1( 1000 ) ( s s s s G       w ) 10 sin(5 )( t t d  5) Nota la funzione di trasferimento di un sistema a tempo discreto, come si può studiare il funzionamento all’equilibrio e verificare l’asintotica stabilità d el sistema? (Si supponga sia lecito confondere poli con autovalori.) 6) Un sistema di ordine 3 possiede 2 stati di equilib rio. Il quadro degli autovalori del sistema linearizzato, nell’intorno dei 2 equilibri, è riportato in figura. Discutere la stabilità degli stati di equilibrio. 7) Dopo aver aperto Matlab, hai digitato i comandi >>A=[10 5; 0 –2]; >>b=[0; 1]; >> x= det(ctrb(A,b)) Cosa contiene la variabile x ? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) ) (z G ))( ( )1 ( tx f tx  