Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 19 /9/ 201 3 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 23 /9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 24/9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FI RMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Co nto Limone è un’azienda di credito che concede finanziamenti a lle imprese. I finanziamenti in essere sono classificati in due categorie: 1 = elevata affidabilità; 2 = scarsa affidabilità Ogni mese, in base alle informazioni sulla solidità delle imprese, un a frazione dei finanziamenti di categoria i viene riclassificata in categoria j, mentre un’ulteriore frazione diviene parte delle “sofferenze” (finanziamenti “non più riscuotibili”). Infine, ogni mese Conto L imone concede nuovi finanziamenti per un ammontare complessivo , di cui il 90% di categoria 1. I dati del problema sono i seguenti: - - - - - a) Descrivere il fenomeno in esame mediante le equazioni di stato di un si stema dinamico a tempo discreto, specificando chiaramente il significato delle variabili di stato scelte. b) Discutere la stabilità del sistema, il suo tempo di risposta e l’eventuale presenza di osci llazioni. Definendo l’uscita come l’ammontare delle nuove sofferenze maturate nel mese t: c) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione alle differenze o funzione di trasferimento). d) Utilizzando tale modello, determinare l ’ammontare totale delle nuove sofferenze all’equilibrio se ogni mese sono erogati prestiti per 100000 euro complessivi. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ij i )(t u 8.0 11   1.0 12   2.0 21   7.0 22   0 1  1.0 2  )(t y 2) Il seguente sistema modellizza la relazione tra due gruppi sociali (di consistenza e ), il primo dei quali, nell’acquisizione delle proprie risorse, beneficia dell’interazione con l’altr o gruppo: , . La quantità rappresenta il flusso di risorse dall’esterno ( ). a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema in funzione di . b) Studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione. c) Posto , tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno di uno (a sce lta) degli stati di equilibrio. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1x 2x ) 2 ( 1 2 1 1 x x x x    ) ( 2 2 2 2 x p x x    p 0p p 2 p 3) Si consideri il seguente sistema a tempo continuo: a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Progettare un ricostruttore asintotico dello stato tale che l’errore d i stima vada a zero (approssimativamente) in 0.1 unità di tempo. c) Progettare una legge di controllo tale che il sistema controllato (sistema + ricostruttore dello stato progettato al punto precedente + legge di controllo) abbia un tempo di risposta pari (approssimativamente) a 1 unità di tempo. __________ _______________________________________________ ________ _______________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2 2 1 2 2 1 1 2 2 x y x x x u x x x         4) Il diagramma di Bode del modulo di un sistema lineare è stato ricavato mediante una serie di esperimenti, ed è riportato nella figura seguente. Si è rilevato, inoltre, che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a per . a) Det erminare la funzione di trasferimento del sistema. b) Determinare (qualitativamente) la risposta all’impulso e rappresentarla graficamente, discutendo in particolare tempo di risposta , presenza di oscillazioni ed estremi. c) Discutere ( mediante il criterio di Bode) la stabilità del sistema della figura seguente. ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) (     ) (s G 5) Per il sistema , definire la nozione di equilibrio asintoticamente stabile. 6) Dato un sistema di controllo, discutere, in funzione del tipo della funzione di trasferimento d’anello , l’errore a regime dovuto a un disturbo additivo in uscita costante. 7) In Matlab si vuole tracciare il grafico della risposta all’impulso del sistema definito da . Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) ) (x f x  0 1 1 0 2 0 2 1             c b A