Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 10/2/2014 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rin uncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 17/2 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 18/2 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In una popolazione di molluschi ciascun individuo vive esattamente 3 mesi , dopodiché si riproduce (deponendo in media 1728 uova) subito prima di morire. Le probabilità di sopravvivenza ne i tre mesi di vita approssimativ amente coincidono e valgono . a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere l a stabilità del sistema al variare di . c) Nel caso di asintotica stabilità, discutere il tempo di estinzione della popolazione e l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. d) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso ch e descriva l'im migrazione di adulti (seconda e terza classe d'età) dall'esterno , supponendo gli adulti immigrati si distribuiscano alla pari nelle due classi d'età relative, e una variabile di uscita che rappresenti il numero complessivo di adulti nella popolazione . e) Determinare la funzione di trasferimento e il modello ingresso/uscita in forma di predizion e. f) Utilizzando la funzione di trasferimento, determinare il numero di adulti a regime se e . __________________________________________________________________________ Soluzione [se neces sario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il seguente sistema non lineare: Per ogni valore di p ( ): a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità mediante linearizzazione. c) Fissato , tracciare il quadro locale delle traiettorie nell'intorno di ciascun equilibrio . d) Sempre nel caso , tracciare un plausib ile quadro globale delle traiettorie, evidenziando il bacino di attrazione degli equilibri asintoticamente stabili. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2 21 31 2 1 2 2 1 x x x px x x x x           p 3) Il seguente diagramma di Bode del modulo, relativo ad un sistema asintoticamente stabile, è stato ricavato sperime ntalmente. a) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. b) Tracciare il diagramma di Bode (approssimato) della fase. c) Determinare l'uscita a transitorio esaurito corrispondente all'ingresso: . d) Discutere la stabilità del sistema ottenuto ponendo in retr oazione unitaria. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) (s G ) 001.0 sin(8 5. 12 )(    t t u ) (s G 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui a) Determinare il coefficiente del controllore affinché il sistema di controllo sia asintoticamente stabile, con un margine di fase di circa 45°. b) Determinare (anche in modo approssimato) la banda passante e il tempo di risposta del sistema di controllo. c) Deter minare l’errore a regime qualora il riferimento sia costante e il disturbo sia del tipo . ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: s s C  ) ( ) 1.0 1)( 01.0 1( 1000 ) ( s s s G     w d ATTENZIONE : per i quesiti 5) e 6), specificare la risposta corretta e MOTIVAR LA (sinteticamente ma rigorosamente) rifacendosi agli opp ortuni risultati teorici. 5) Il sistema lineare a tempo discreto è instabile. Per poterlo stabilizzare mediante una legge di controllo del tipo è sufficien te che [1] il sistema non sia improprio [2] sia completamente raggiungibile [3] non abbia autovalori nulli [4] non sia un vettore nullo 6) Ad un sistema lineare a tempo discreto, asintoticamente stabile, viene applicato un ingresso che in ogni istante è estr atto casualmente tra e . L’uscita del sistema [1] è limitata per ogni [2] è limitata, ma solo se [3] è limitata, e inoltre tende a 0 per ogni qualunque sia il sistema [4] è illimitata per qualche 7) Dopo il comando Matlab >> x=det(ctrb([ -1 1 ; 0 -5],[1 ; 0])) cosa contiene la variabile x ? Qual e conclusion e è possibile trarre ? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: ) , , , ( d c b A )( )( t kx t u  ) , ( b A A b )(t u 1 1 )0(x 0 )0(  x )0(x )0(x