Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 7/3 /2014 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rin uncia al voto, saranno pubblicati entro Martedì 11/3 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Giove dì 13/3 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un processo produttivo è composto da 4 stadi in cascata, in cui ciascun pezzo rimane esattamente 6 ore. I flussi di materiale sono rappresentati nello schema seguente: La frazione di pezzi che riciclano in ogni stadio è , la frazione di pezzi scartati . IGNORARE MOMENTANEAMENTE I COLLEGAMENTI TRATTEGGIATI a) Rappresentare il processo produttivo mediante un sistema dinamico a tempo discreto (specificando anche le matrici ), in cui rappresenti il numero di nuovi pezzi in lavorazione e il numero di pezzi finiti con successo. b) Discutere la stabilità del sistema. c) Dal momento in cui si interrompe l'alimentazione di nuovi pezzi, dopo quante ore il processo produttivo si svuota? INSERIRE ORA I COLLEGAMENTI TRATTEGGIATI I collegamenti tratteggiati portano una frazione dei pezzi uscenti dagli stadi 3 e 4, rispettivamente. d) Specificare le matrici del nuovo processo produttivo c osì ottenuto. e) Discutere la stabilità del sistema. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. I blocchi A e B sono descritti dalle funzioni di trasferimento , , il blocco C è descritto dal modello ingresso/uscita , il blocco E è descritto dal modello di stato a) Proporre arbitrariamente un blocco D di ordine 2 tale che il sistema aggreg ato sia asintoticamente stabile, motivando adeguatamente il risultato. b) Utilizzando il blocco D proposto, determinare il tempo di risposta del sistema aggregato, discutendo anche l’eventuale presenza di oscillazioni nelle risposte ad ingresso costante. c) Utilizzando il blocco D proposto, discutere la stabilità del sistema aggregato nel caso il modello ingresso/uscita del blocco C venga sostituito dal seguente: ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1 10 )(   s s GA 2 )(   s s s GB C C C C C u u y y y 2 4 4         1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 4 1 1 0 3 2 1 2 2 0 0 0 1                                    c b A C C C C C C u u y y y y 2 4 4          3) Si consideri il sistema rappresentato in figura, in cui il blocco A contiene un integratore mentre i blocchi B e C hanno, rispettivamente, funzione di trasferimento e . a) Determinare la funzione di trasferime nto complessiva del sistema. b) Determinare qualitativamente la risposta all’impulso, discutendo in particolare il tempo di risposta e l’esistenza di oscillazioni. c) Determinare la risposta all’ingresso in figura, in cui ciascuna freccia rappresenta un im pulso unitario (rispettivamente positivo o negativo). ______________________ ____________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) 1/( 10 )( s s B   s e s C  )( 4) Il sistema di controllo in figura ha la seguente funzione di trasferimento d’anello: a) Studiare la stabilità del sistema di controllo nel caso , verificando che è instabile. b) Determinare un valore del coefficiente che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase di circa 45 gradi. Con il valore di proposto al punto b): c) Determinare la banda passante del sistema di controllo e stimare il te mpo di risposta. d) Calcolare l’errore a regime complessivo dovuto ai tre ingressi , , . ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 10 1)( 1( 100 )( s s s s L     1  0   100 )(  t w ) 01.0 sin( 10 )(1 t t d  5 )(2  t d ATTENZIONE : per i quesiti 5) e 6), specificare la risposta corretta e MOTIVARLA (sinteticamente ma rigorosamente) rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 5) Un sistema lineare si dice esternamente stabile se [1] è limitata pe r almeno qualche limitato, qualunque sia [2] è limitata per ogni , quando [3] è limitata per ogni limitato, qualunque sia [4] è limitata per ogni limitato, quando 6) Ad un sistema lineare, completamente raggiungibile ed osservabile, esternamente st abile, viene applicato un ingresso costante . [1] l’uscita tende a un valore costante, per ogni [2] l’uscita non tende ad alcun limite [3] l’uscita tende a un valore costante, ma solo per [4] i dati sono insufficienti per studiare il comportamento asintotico dell’uscita 7) In Matlab sono stati digitati i seguenti comandi: >> sys=tf([1],[1 0]) >> [Gm,Pm,Wg,Wp] = margin(sys) Dopo la loro esecuzione, quanto valgono le variabili Pm e Wp ? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 7) )(t y )(t u )0(x )(t y )(t u 0 )0(  x )(t y )(t u )0(x )(t y )(t u 0 )0(  x 0 )(   u t u )0(x 0 )0(  x