Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 7/5/20 14 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 8 8 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un processo produttivo, ciascun pezzo deve attraversare tre stadi di lavorazione in cascata, in ciascuno d ei quali resta 1 ora. Al termine di ciascuno stadio, un controllo di qualità verifica se il pezzo può passare allo stadio successivo (o terminare la lavorazione, nel caso dell'ultimo stadio) o deve invece essere scartato (non vi sono ricicli). Mediamente, in tutti gli stadi il 90% dei pezzi supera positivamente il controllo. a) Scrivere un modello matematico del processo produttivo, in cui sia il numero di pezzi messi in lavorazione nell'ora e il numero di pezzi che terminano con successo il processo produttivo. b) Discutere la stabilità, il tempo di risposta, e l'eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Calcolare stato e uscita all'equilibrio , corrispondenti a ingresso costante pari a 100. Si supponga ora che il numero di nuovi pezzi messi in lavorazione sia fissato in modo proporzionale al numero di pezzi prodotti ( ). d) Discutere , al variare di , le proprietà (equilibrio e st abilità) del sistema in questa nuova situazione. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui mentre sono coefficienti reali. a) Discutere la asintotica stabilità dei singoli blocchi . b) Determinare, motivando adeguatamente la risposta, per quali valori della terna ( ) il sistema aggregato in figura è asintoticamente stabile. c) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema, esprimendola in funzione di . _______________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema non lineare a tempo continuo di ordine : a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione , classificando inoltre gli equilibri (nodo, fuoco, ecc.) . b) Tracciare il quadro delle traiettorie nell’intorno degli stati di equilibrio. c) Tracciare un plausibile quadro delle traiettorie globale. ______ ____________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ATTENZIONE : per i quesiti 4) e 5) specificare la risposta corretta e MOTIVARLA (sinteticamente ma rigorosamente) rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 4) Un sistema lineare a tempo discreto ha tutti gli autovalori nulli. Applicando un ingresso costante quando il sistema ha stato iniziale [1] l’uscita rimane limitata ma non tende ad alcun valore costante [2] l’uscita raggiunge un valore costante in tempo infinito [3] l’uscita raggiunge un valore costante in tempo finito [4] l’uscita raggiunge in tempo finito un valore costante positivo 5) La matrice Jacobiana di un sistema di ordine 3, a tempo continuo, non lineare, valutata in un equilibrio , ha autovalori , , . [1] L’equilibrio è asintoticamente stabile. [2] L’equilibrio è stabile ma non asintoticamente stabile. [3] L’equilibrio è instabile. [4] Non si può affermare nulla. 6) Utilizzando Matlab, si vuole calcol are e visualizzare l'uscita del sistema , , quando e gli ingressi sono costanti e valgono e . Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: 6) A= -1; b= [1,1]; c=1; d=[0,0]; sys=ss(A,b,c,d); t=linspace(0,5,100); u=[ones(1,100);2*ones(1,100)]; lsim(sys,u,t) 0 )(   u t u 0 )0(  x x 5.0 1    0 2   1 3 