Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 22/7 /2014 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 28/7 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 29/7 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un braccio meccanico ruota nel piano orizzontale sotto l'azione di una coppia proporzionale allo scostamento tra posizione angolare desiderata ed effettiva : Il braccio ha momento d'inerzia ed è inoltre soggetto ad attrito viscoso con coefficiente d'attrito . a) Scrivere le equazioni di stato e di uscita, considerando come variabile di uscita la posizione angolare del braccio meccanico. b) Posti , , discutere la stabilità del sistema al variare di ( ). c) Al sistema a riposo ( ) viene app licato l'ingresso costante a partire da . Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema nei due casi e . d) Al sistema a riposo ( ) viene applicato l'ingresso in figura. Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema nel caso . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo con Al variare di p ( ), discutere a) la stabilità del sistema; b) il tempo di risposta; c) l’esistenza di oscillazioni. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]:               2 1 0 1 2 0 2 1 p A    p 3) La ri sposta allo scalino rilevata sperimentalmente su un sistema è quella riportata in figura. Si sono inoltre effettuate tre rilevazioni sperim entali applicando ingresso sinusoidale del tipo alle frequenze , ottenendo rispettivamente i valori 1; 10; 0. 01 del rapporto di ampiezza uscita/ingresso a regime . a) Determinare una funzione di trasferimento compat ibile con le prove sperimentali, tracciandone inoltre i diagrammi di Bode di modulo e fase. b) Determinare in modo qualitativo, e rappresentare graficamente, la risposta all'impulso del sistema. c) Discutere la stabilità del sistema ottenuto con retroazi one (negativa) unitaria di . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri il sistema in figura, in cui il blocco A contiene un integratore mentre il blocco B ha funzione di trasferim ento: Determinare (qualitativamente) l’andamento dell’uscita se al sistema vengono applicati gli ingressi e (scalino unitario applicato in ). In particolare, valutare stabil ità, tempi di risposta e oscillazioni. ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 100 10 ) 1( 100 )( 2     s s s s B )(t y )( )(1 t sca t u  )5 ( )(2   t sca t u 5 t ATTENZIONE : per i l quesit o 5), discutere e motivare (sinteticamente ma rigorosamente) la risposta (po sitiva o negativa) a TUTTE le affermazioni proposte, rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 5) Un sis tema di ordine ha uno stato di equilibrio il cui Jacobiano ha autovalori . Sulla base di queste sole informazioni, è possibi le affermare con certezza che: [1] Qualunque traiettoria del sistema diverge ( per og ni ). [2] Esist e un intorno di da cui partono traiettorie divergenti ( ). [3] Esist e un intorno di da cui partono traiettorie che escono da . [4] Esist e un intorno di da cui tutte le traiettorie tendono a . 6) Enunciare il criterio di Bode per la stabilità di un sistema di controllo. 7) Si vuole controllare un sistema a tempo discreto mediante un regolatore (ricostruttore asintotico + legge di controllo) allo scopo di riprodurre in uscita il valore di un set point. Completare lo schema Simulink proposto collegando opportunamente i blocc hi (non è richiesta alcuna discussione o motivazione) . Si supponga per il sistema in esame . Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 7)